Dòng điện hình sin
Dòng điện hình sin là dòng điện xoay chiều có trị số biến thiên phục thuộc thời gian theo một hàm số hình sin.
- Trị số của đại lượng hình sin ở một sin điểm t gọi là trị số tức thời và được biểu diễn dưới dạng tổng quát là:
1
Âaûi Hoüc Âaì Nàông - Træåìng Âaûi hoüc Baïch Khoa
Khoa Âiãûn - Nhoïm Chuyãn män Âiãûn Cäng Nghiãûp
Giaïo trçnh Kyî thuáût Âiãûn
Biãn soaûn: Nguyãùn Häöng Anh, Buìi Táún Låüi, Nguyãùn Vàn Táún, Voî Quang Sån
Chæång 2
DOÌNG ÂIÃÛN HÇNH SIN
2.1. KHAÏI NIÃÛM CHUNG
Doìng âiãûn hçnh sin laì doìng âiãûn xoay chiãöu coï trë säú biãún thiãn phuû thuäüc thåìi
gian theo mäüt haìm säú hçnh sin.
2.1.1. Daûng täøng quaït cuía âaûi læåüng hçnh sin
Trë säú cuía âaûi læåüng hçnh sin åí mäüt thåìi x
âiãøm t goüi laì trë säú tæïc thåìi vaì âæåüc bãøu diãùn dæåïi
daûng täøng quaït laì :
Xm
x = X m sin(ωt + Ψx ) (2.1) ψx= 0
π 2π ωt
0
Vê duû, âaûi læåüng hçnh sin laì :
Doìng âiãûn: i = I m sin(ωt + Ψi ) (2.1a)
Âiãûn aïp : u = U m sin(ωt + Ψu ) (2.1b) ωT= 2π
Sââ : e = E m sin(ωt + Ψe ) (2.1c)
Hçnh 2.1 Âaûi læåüng hçnh sin
2.1.2. Caïc thäng säú âàûc træng cuía âaûi
læåüng hçnh sin.
1. Biãn âäü cuía âaûi læåüng hçnh sin Xm : Giaï trë cæûc âaûi cuía âaûi læåüng hçnh sin, noï
noïi lãn âaûi læåüng hçnh sin âoï låïn hay beï. Âãø phán biãût, trë säú tæïc thåìi âæåüc kyï hiãûu
bàòng chæî in thæåìng x (i, u, ...), biãn âäü âæåüc kyï hiãûu bàòng chæî in hoa Xm(Im, Um ...)
2. Goïc pha (ωt + Ψx) (hay coìn goüi laì pha) laì xaïc âënh chiãöu vaì trë säú cuía âaûi
læåüng hçnh sin åí thåìi âiãøm t naìo âoï.
3. Pha ban âáöuΨx : xaïc âënh chiãöu vaì trë säú cuía âaûi læåüng hçnh sin åí thåìi âiãøm t
= 0. Hçnh 2.1 veî âaûi læåüng hçnh sin våïi pha ban âáöu bàòng 0.
2
4. Chu kyì T cuía âaûi læåüng hçnh sin laì khoaíng thåìi gian ngàõn nháút âãø âaûi læåüng
hçnh sin làûp laûi vãö chiãöu vaì tri säú. Tæì hçnh 2.1, ta coï : ωT = 2π. Váûy chu kyì T laì :
2π
T= (s) (2.2)
ω
+ Táön säú f : Säú chu kyì cuía âaûi læåüng hçnh sin trong mäüt giáy. Âån vë cuía táön säú
laì Hertz, kyï hiãûu laì Hz.
1
f= (Hz) (2.3)
T
+ Táön säú goïc ω (rad/s). Täúc âäü biãún thiãn cuía goïc pha trong mäüt giáy.
ω = 2πf (rad/s) (2.4)
Læåïi âiãûn cäng nghiãûp cuía næåïc ta coï táön säú f = 50Hz. Váûy chy kyì T = 0,02s vaì
táön säú goïc laì ω = 2πf = 2π.50 = 100π rad/s.
2.1.3. Sæû lãûch pha cuía hai âaûi læåüng hçnh sin cuìng táön säú
Hai âaûi læåüng hçnh sin khäng âäöng thåìi âaût trë säú khäng hoàûc trë säú cæïc âaûi thç
âæåüc goüi laì lãûch pha nhau, âàûc træng cho sæû lãûch pha noï bàòng hiãûu hai pha ban âáöu.
Vê duû, ta coï âiãûn aïp u = U m sin(ωt + Ψu ) coï pha ban âáöu ψu > 0 vaì doìng âiãûn
i = I m sin(ωt + Ψi ) coï pha ban âáöu ψi < 0 âæåüc trçnh baìy trãn hçnh 2.2a.
u,i u,i u,i
u u
i i
ωt ωt ωt
ψu>0
ψi< 0 i
u
ϕ
(a) (b) (c)
Hçnh 2.2 Sæû lãûch pha cuía hai âaûi læåüng hçnh sin cuìng táön säú
Goïc lãûch pha cuía âiãûn aïp vaì doìng âiãûn laì :
ϕ = Ψu - Ψi
Nãúu: ϕ > 0: âiãûn aïp væåüt træåïc doìng âiãûn mäüt goïc laì ϕ (hçnh 2.2a).
ϕ < 0: âiãûn aïp cháûm sau doìng âiãûn mäüt goïc laì ϕ.
ϕ = 0: âiãûn aïp vaì doìng âiãûn truìng pha nhau (hçnh 2.2b).
ϕ = ±1800: âiãûn aïp vaì doìng âiãûn ngæåüc pha nhau (hçnh 2.2c).
ϕ = ± 900: âiãûn aïp vaì doìng âiãûn vuäng pha nhau.
3
2.2. TRË SÄÚ HIÃÛU DUÛNG CUÍA DOÌNG ÂIÃÛN HÇNH SIN
Trë säú hiãûu duûng cuía doìng âiãûn hçnh sin laì trë säú tæång âæång vãö phæång âiãûn
tiãu taïn nàng læåüng våïi doìng âiãûn khäng âäøi I naìo âoï.
Cho doìng âiãûn hçnh sin i qua nhaïnh coï âiãûn tråí R (hçnh 2.3) trong mäüt chu kyì
T thç nàng læåüng tiãu taïn trãn nhaïnh coï âiãûn tråí âoï laì :
T
W = ∫ R i 2 dt (2.5)
0
i, I R
Cuîng cho qua nhaïnh coï âiãûn tråí R doìng âiãûn
mäüt chiãöu I trong mäüt thåìi gian T, ta coï:
W = RI 2 T (2.6) Hçnh 2.3 Nhaïnh R
Váûy tæì (2.5) vaì (2.6), ta coï trë hiãûu duûng doìng âiãûn
hçnh sin :
1T 2
T∫
I= i dt (2.7)
0
Thay doìng âiãûn hçnh sin i = Imsinωt vaìo (2.7) vaì tênh, ta coï:
T
1
∫ (I m sin ωt ) dt = I m / 2
2
I= (2.8)
T0
Tæång tæû, trë säú hiãûu duûng cuía âiãûn aïp vaì sââ laì :
U = Um/ 2 ; E = Em/ 2 . (2.9)
2.3. BIÃØU DIÃÙN DOÌNG ÂIÃÛN HÇNH SIN BÀÒNG VECTÅ
Âaûi læåüng hçnh sin täøng quaït x(t) = Xmsin(ωt + ψ) gäöm ba thäng säú : biãn âäü
Xm, táön säú goïc ω vaì pha ban âáöu ψ. Caïc thäng säú nhæ thãú âæåüc trçnh baìy trãn hçnh
r
2.4a bàòng mäüt vectå quay X m coï âäü låïn Xm, hçnh thaình tæì goïc pha (ωt + ψ) våïi truûc
hoaình. Hçnh chiãúu vectå lãn truûc tung cho ta trë säú tæïc thåìi cuía âaûi læåüng hçnh sin.
ω
r r
Xm Xm
Xm Xm
Xmsin(ωt+ψ)
ωt+ψ ψ
x x
r
(a) (b) X m =Xm ∠Ψ
Hçnh 2-4 Biãøu diãùn âaûi læåüng hçnh sin bàòng vectå
4
Vectå quay åí trãn coï thãø biãøu diãùn bàòng vectå âæïng yãn (tæïc laì åí thåìi âiãøm t =
0) nhæ hçnh 2.4b. Vectå naìy chè coï hai thäng säú, biãn âäü vaì pha ban âáöu, vaì âæåüc kyï
hiãûu :
r
X m = X m ∠Ψ (2.10)
r
Kyï hiãûu X m chè roî vectå tæång æïng våïi âaûi læåüng hçnh sin x(t) = Xmsin(ωt+ψ)
r
vaì kyï hiãûu X m ∠Ψ coï nghéa laì vectå X m coï biãn âäü Xm vaì pha ban âáöu ψ. Váûy,
nãúu ω cho træåïc thç âaûi læåüng hçnh sin hoaìn toaìn xaïc âënh khi ta biãút biãn âäü (hay trë
hiãûu duûng X) vaì pha ban âáöu. Nhæ váûy âaûi læåüng hçnh sin cuîng coï thãø biãøu diãùn
r
bàòng vectå coï âäü låïn bàòng trë hiãûu duûng X vaì pha ban âáöu ψ, nhæ X =X∠Ψ.
VÊ DUÛ 2.1: Cho doìng âiãûn i = 2 6 sin(ωt + 40 o ) A;
vaì âiãûn aïp u = 2 10 sin(ωt − 60o ) V. r
I
Biãøu diãùn chuïng sang daûng vectå nhæ hçnh VD 2.1:
r 6
I = 6∠40 0 A ; ψi = 400
x
r
U = 10∠ − 600 V ψu = -600
10
r
Hçnh VD 2-1 Biãøu diãùn doìng âiãûn vaì âiãûn aïp U
hçnh sin bàòng vectå
Ta tháúy ψ > 0, vectå âæåüc veî nàòm trãn truûc hoaình, coìn ψ < 0, vectå nàòm dæåïi
truûc hoaình (hçnh VD 2.1).
2.4. BIÃØU DIÃÙN DOÌNG ÂIÃÛN HÇNH SIN BÀÒNG SÄÚ PHÆÏC
2.4.1. Khaïi niãûm vãö säú phæïc
Säú phæïc laì täøng gäöm hai thaình pháön, coï daûng nhæ sau :
V = a + jb (2.11)
trong âoï a,b laì caïc säú thæûc; a goüi laì pháön thæûc, b goüi laì pháön aío vaì j = −1 .
2.4.2. Hai daûng viãút cuía säú phæïc
+ Daûng âaûi säú: Âãø phán biãût våïi mäâun (âäü låïn) sau naìy ta viãút säú phæïc V coï
dáúu cháúm trãn âáöu :
&
V = a + jb (2.12)
5
+ Daûng læåüng giaïc:
&
Biãøu diãùn säú phæïc V = a + jb lãn màût phàóng phæïc bàòng mäüt âiãøm V. Âiãøm V
coï toüa âäü ngang laì pháön thæûc a vaì toüa âäü âæïng laì pháön aío b (hçnh 2-5).
&
Ta cuîng coï thãø biãøu diãùn säú phæïc V = a + jb lãn toüa âäü cæûc bàòng mäüt vectå
r r
V . Vectå V coï mäâun laì tæì gäúc toüa âäü 0 âãún âiãøm V vaì argumen Ψ laì goïc håüp giæîa
r
vectå V våïi truûc ngang (hçnh 2-5).
Tæì hçnh 2-5, ta coï :
a = VcosΨ V = a 2 + b2
b
b = VsinΨ Ψ = arctg
a
Daûng læåüng giaïc cuía säú phæïc :
+j Truûc aío
&
V = V cos Ψ + jV sin Ψ (2.13) &
V
b
+ Daûng säú muî : V
Ta coï cäng thæïc Euler : Ψ Truûc thæûc
e jΨ = cos Ψ + j sin Ψ 0 a
+1
Viãút laûi säú phæïc (2.12) thaình daûng säú muî : Hçnh 2-5 Biãøu diãùn säú phæïc lãn
& jΨ màût phàóng phæïc
V = Ve = V∠Ψ (2.14)
2.4.3. Hai säú phæïc cáön nhåï
Cáön nhåï hai säú phæïc: e jΨ vaì j. Våïi säú phæïc ejψ coï mäâun = 1 vaì argumen = Ψ;
coìn säú phæïc e±jπ/2 cuîng coï mäâun = 1 vaì argumen = ± π/2. Váûy cäú phæïc :
π π
j −j
e 2 =j vaì e = −j2
1
vaì j2 = j.j = -1 nãn j= − (2.15)
j
2.4.4. Càûp phæïc liãn håüp
Mäüt säú phæïc âæåüc goüi laì liãn håüp cuía säú phæïc A khi chuïng coï pháön thæûc bàòng
nhau vaì pháön aío traïi dáúu nhau.
Cho cäú phæïc A = a + jb = Aejψ.
&
& &
Säú phæïc liãn håüp cuía A kyï hiãûu A * laì: A * = a - jb = Ae-jψ (2.16)
&
2.4.5. Caïc pheïp tênh cå baín cuía säú phæïc
Cho hai säú phæïc nhæ sau:
A 1 = a1 + jb1 = A2ejψ1;
& A 2 = a2 + jb2 = A2ejψ2
& (2.17)
6
1. Âàóng thæïc hai phæïc
& &
A 1 = A 2 ⇔ a 1 = a 2 & b1 = b 2 (2.18)
Váûy hai säú phæïc âæåüc goüi laì bàòng nhau khi vaì chè khi pháön thæûc vaì pháön aío
bàòng nhau tæìng âäi näüt.
2. Täøng (hiãûu) hai phæïc
& & & &
V = A1 ± A 2 ⇔ V = (a 1 ± a 2 ) + j(b1 ± b 2 ) (2.19)
Täøng (hiãûu) hai phæïc laì mäüt säú phæïc coï pháön thæûc bàòng täøng (hiãûu) caïc pháön
thæûc vaì pháön aío bàòng täøng (hiãûu) caïc pháön aío.
3. Têch (thæång) hai phæïc.
Têch hai säú phæïc :
A1 .A 2 = A1e jΨ1 A 2 e jΨ2 = A1A 2 e j( Ψ1 + Ψ2 )
& & (2.20)
Nhæ váûy têch hai säú phæïc laì mäüt säú phæïc coï mäâun bàòng têch caïc mäâun vaì
argumen bàòng täøng caïc argumen.
Thæång hai phæïc :
&
A1 A e jΨ1 A
= 1 jΨ = 1 e j( Ψ1 − Ψ2 ) (2.21)
&
A 2 A 2e 2 A 2
Nhæ váûy thæång hai säú phæïc laì mäüt säú phæïc coï mäâun bàòng thæång caïc
mäâun vaì argumen bàòng hiãûu caïc argumen.
2.4.6. Biãøu diãùn doìng diãûn hçnh sin bàòng säú phæïc
Caïc âaûi læåüng hçnh sin nhæ sââ, doìng âiãûn, âiãûn aïp ... âæåüc hoaìn toaìn xaïc âënh
khi ta biãút trë hiãûu duûng vaì pha ban âáöu vç váûy ta coï thãø biãøu diãùn chuïng bàòng caïc säú
phæïc goüi laì aính phæïc coï mäâun bàòng trë hiãu duûng vaì argumen bàòng pha ban âáöu vaì
âæåüc kyï hiãûu bàòng caïc chæî caïi in hoa coï dáúu cháúm trãn âáöu.
Täøng quaït :
x = 2X sin(ωt + Ψ ) ⇔ X = Xe jΨ = X∠Ψ
& (2.22)
VÊ DUÛ 2.2:
Doìng âiãûn : i = 2I sin(ωt + Ψi ) ⇔ & = Ie jΨ = I∠Ψi
I i
(2.22a)
Âiãûn aïp : u = 2U sin(ωt + Ψu ) ⇔ U = Ue jΨ
& u
(2.22b)
Sââ : e = 2E sin(ωt + Ψe ) ⇔ E = Ee jΨ
& e
(2.22c)
2.4.7. Biãøu diãùn pheïp âaûo haìm vaì têch phán cuía haìm säú hçnh sin bàòng
säú phæïc
Cho doìng âiãûn hçnh sin vaì biãøu diãùn sang daûng phæïc nhæ sau :
i = 2I sin(ωt + Ψi ) ⇔ & = Ie jΨ
I i
7
Láúy âaûo haìm cuía doìng âiãûn theo thåìi gian :
di d ( 2I sin(ωt + Ψi )
=
dt dt
di π
= 2Iω cos(ωt + Ψi ) = 2Iω sin(ωt + Ψi + )
dt 2
Chuyãøn di/dt sang daûng phæïc, ta coï :
π π
j( Ψi + ) j
Iωe 2 = ωe 2 Ie jΨi = jω&
I
dx &
Täøng quaït : ↔ jωX (2.23)
dt
Nhæ váûy säú phæïc biãøu diãùn âaûo haìm cuía haìm säú hçnh sin bàòng säú phæïc biãùu diãùn
noï nhán våïi jω.
VÊ DUÛ 2.3 :
Ta âaî coï âiãûn aïp trãn nhaïnh thuáön caím :
di
uL = L
dt
di
Biãøu diãùn sang daûng phæïc : u L = L ⇔ U L = jωL&
& I
dt
Láúy têch phán cuía doìng âiãûn theo thåìi gian :
∫ idt = ∫ 2I sin(ωt + Ψi )dt
2I cos(ωt + Ψi ) 2I
∫ idt = − ω
=
ω
cos(ωt + Ψi − π / 2 )
Chuyãøn ∫ idt sang daûng phæïc :
π π
I j( Ψ − 2 ) 1 − j 2 jΨ &
I
= e Ie =
i
e i
ω ω jω
X&
Täøng quaït : ∫ xdt ↔ jω (2.24)
Säú phæïc biãøu diãùn têch phán cuía haìm säú hçnh sin bàòng säú phæïc biãùu diãùn noï chia
cho jω.
VÊ DUÛ 2.4 :
Ta âaî coï âiãûn aïp trãn nhaïnh thuáön dung vaì biãøu diãùn sang daûng phæïc :
1 1 &I
uC =
C ∫ &
idt ⇔ U C =
C jω
8
2.5. DOÌNG ÂIÃÛN HÇNH SIN TRONG NHAÏNH THUÁÖN TRÅÍ
2.5.1. Quan hãû giæîa doìng âiãûn vaì âiãûn aïp
Giaí sæí cho qua nhaïnh thuáön tråí R doìng âiãûn i = 2 I sinωt (hçnh 2.6). Doìng
âiãûn i quan hãû våïi âiãûn aïp uR theo âënh luáût Ohm:
uR = Ri (2.25)
=R 2 Isin ωt = 2 UR sin ωt
Phæång trçnh (2.25) biãøu diãùn sang daûng säú phæïc:
&
U R= R Ι& (2.26)
Tæì (2.26) suy ra ràòng:
- Vãö tri säú hiãûu duûng, âiãûn aïp gáúp doìng âiãûn R láön
UR = RI (2.27)
- Vãö trë säú goïc lãûch pha: âiãûn aïp vaì doìng âiãûn truìng pha nhau (hçnh 2.7a)
_ u,i
i + uR pR
R
uR
Hçnh 2.6 Nhaïnh thuáön tråí
i
ωt
&
I &
U 0
(a) i
(b)
Hçnh 2.7 Âäö thë vectå (a) vaì âäö thë hçnh sin (b) nhaïnh thuáön tråí
2.5.2. Quaï trçnh nàng læåüng
Vç u vaì i cuìng pha, cuìng chiãöu, do âoï cäng suáút tiãúp nháûn luän âæa tæì nguäön âãún
vaì tiãu taïn hãút. Tháût váûy, cäng suáút tæïc thåìi laì :
pR = u.i = 2URI sin2ωt
pR = URI [1 - cos2ωt ] (2.28)
Ta tháúy cäng suáút tæïc thåìi khäng cho pheïp ta tênh dãù daìng nàng læåüng tiãu taïn
trong trong mäüt thåìi gian hæîu haûn, vç váûy ta âæa ra khaïi niãûm cäng suáút taïc duûng, noï
laì trë säú trung bçnh cuía cäng suáút tæïc thåìi trong chu kyì T :
1T
T∫
P= pdt (2.29)
0
Tênh cho nhaïnh thuáön tråí, ta tháúy cäng suáút taïc duûng tiãu taïn trãn R:
9
1T
P= ∫ p R dt = URI = RI2
T0
(2.30)
2.6. DOÌNG ÂIÃÛN SIN TRONG NHAÏNH THUÁÖN CAÍM L.
2.6.1. Quan hãû giæîa âiãûn aïp vaì doìng âiãûn
Khi coï i = 2 . I sinωt âi qua nhaïnh thuáön caím L (hçnh 2.8), trãn nhaïnh seî coï
âiãûn aïp uL, quan hãû våïi doìng âiãûn laì :
di
uL = L = 2 .ωL I cosωt = 2 U L cos ωt
dt
Biãøu diãùn sang daûng säú phæïc:
&
U L = jωL Ι = jXL &
& I (2.31)
Trong âoï, XL = ωL coï thæï nguyãn âiãûn tråí (Ω) goüi laì âiãûn khaïng âiãûn caím.
Tæì (2.31) suy ra ràòng:
Vãö trë säú hiãûu duûng : UL = XLI (2.32)
Vãö goïc lãûc pha : Âiãûn aïp væåüt træåïc doìng âiãûn mäüt goïc π/2 (hçnh 2.9a).
_
+ uL u,i pL
i
i
L
Hçnh 2-8 Nhaïnh thuáön caím ωt
0
&
UL
uL
(b)
&
I
(a) Hçnh 2-9 Âäö thë vectå (a) vaì âäö thë hçnh sin (b) nhaïnh thuáön caím
2.6.2. Quaï trçnh nàng læåüng
Cäng suáút tæïc thåìi trong nhaïnh thuáön caím :
pL = uL i = 2 UL cosωt . 2 Isin ωt
= ULI sin2ωt (2.33)
Do u vaì i lãûch pha nhau π/2 nãn tháúy ràòng pháön tæ chu dung âáöu u vaì i cuìng
chiãöu (pL > 0), laûi tiãúp 1/4 chu kyì sau chuïng ngæåüc chiãöu nhau (pL < 0), .. tæïc laì cæï
1/4 chu kyì âæa nàng læåüng tæì nguäön âãún naûp vaìo tæì træåìng âiãûn caím, laûi tiãúp theo
10
1/4 chu kyì phoïng traí nàng læåüng ra ngoaìi (hçnh 2.9b). Váûy nàng læåüng âiãûn tæì dao
âäüng våïi táön säú 2ω, têch phoïng vaì khäng tiãu taïn, nghéa laì cäng suáút taïc duûng P = 0.
Cäng suáút phaín khaïng âiãûn caím QL :
QL = ULI = XLI2 (VAR) (2.34)
2.7. DOÌNG ÂIÃÛN SIN TRONG NHAÏNH THUÁÖN DUNG.
2.7.1. Quan hãû giæîa âiãûn aïp vaì doìng âiãûn
Khi cho i = 2 Isin ωt qua nhaïnh thuáön dung C (hçnh 2.10), trãn nhaïnh seî coï
âiãûn aïp uc, quan hãû giæîa chuïng :
1
C∫
uc = idt
2I
uc = − cos ωt = − 2U c cos ωt
ωC
Viãút biãøu thæïc sang daûng säú phæïc :
& 1 & &
UC = Ι = − jX C Ι (2.35)
j ωC
Trong âoï, XC = 1/ωC coï thæï nguyãn âiãûn tråí (Ω) goüi laì âiãûn khaïng âiãûn dung.
Tæì (2.35), ta suy ra laì :
- Vãö trë säú hiãûu duûng: UC = XC I (2.36)
- Vãö goïc lãûc pha: Âiãûn aïp cháûm sau doìng âiãûn mäüt goïc π/2 (hçnh 2.11a).
u _ pc
i + c u,i
uc
i
C
&
Hçnh 2-10 Nhaïnh thuáön dung
I ωt
&
I 0
&
Uc
(a) (b)
Hçnh 2-11 Âäö thë vectå (a) vaì âäö thë hçnh sin (b) nhaïnh thuáön dung
2.7.2. Quaï trçnh nàng læåüng
Cäng suáút tæïc thåìi trong nhaïnh thuáön dung :
pc = uc i = − 2 U c cos ωt. 2I sin ωt
11
= -2UcIsinωt. cosωt
pc = - UcIsin2ωt = QC sin2ωt (2.37)
trong âoï, biãn âäü dao âäüng cäng suáút Q goüi laì cäng suáút phaín khaïng cuía âiãûn dung,
bàòng:
Qc = -Uc I = - XcI2 (2.38)
Så âäö maûch âiãn nhæ hçnh veî 2.10
2.8. DOÌNG ÂIÃÛN SIN TRONG NHAÏNH R-L-C NÄÚI TIÃÚP.
2.8.1. Quan hãû giæîa âiãûn aïp vaì doìng âiãûn
Giaí sæí cho qua nhaïnh R- L- C näúi tiãúp i = 2 Isinωt seî gáy trãn caïc pháön tæí R,
L, C âiãûn aïp uR, uL, uC. Theo âënh luáût Kirchhoff 2, ta coï phæång trçnh cán bàòng:
u = uR + uL + uC (2.39)
Phæång trçnh (2.39) âæåüc biãøu diãùn dæåïi daûng phæïc nhæ sau :
& &
U = UR+ UL+ UC& & (2.40)
& &
Thay caïc quan hãû giæîa U R, U L, U C & + uL − u
+ uR − + C −
våïi & theo (2.26), (2.31) vaì (2.35) vaìo
I
(2.40), ta âæåüc : R L C
& & &
U = R Ι + jXL Ι - jXC Ι&
&
= Ι [(R + j (XL - XC)] + u
&
= Ι (R + jX)
&
U = ΙZ& (2.41) Hçnh 2.12 Nhaïnh R-L-C näúi tiãúp
trong âoï: X = XL-XC goüi laì âiãûn khaïng cuía nhaïnh;
Z = R + jX = Z ejϕ laì täøng tråí phæïc cuía nhaïnh;
z = R 2 + X 2 laì cuía täøng tråí phæïc
ϕ = arctg(X/R) laì argumen cuía täøng tråí phæïc.
&
UL
u,i &
UC
u
i &
U
ωt
& &
ϕu 0 ϕi ϕ UR I
ϕ (a) (b)
Hçnh 2-13 Âäö thë hçnh sin (a) vaì vectå (b) nhaïnh R-L-C näúi tiãúp
12
Biãøu thæïc (2.41) viãút cuû thãø nhæ sau:
- Vãö trë säú hiãûu duûng : U = ZI
- Vãö goïc pha: âiãûn aïp vaì doìng âiãûn lãûch pha mäüt goïc laì ϕ (hçnh 2-13).
+ ϕ >0 hay 0 tæïc laì XL > XC thç ϕ > 0 : maûch coï tênh cháút âiãûn caím;
+ X < 0 tæïc laì XL < XC thç ϕ < 0 : maûch coï tênh âiãûn dung.
Riãng khi XL = XC, ϕ = 0 doìng vaì aïp truìng pha nhau tæûa nhæ mäüt maûch thuáön
tråí; âiãûn caím vaì âiãûn dung væìa buì hãút nhau, maûch cäüng hæåíng.
2.8.2. Tam giaïc täøng tråí
Z
Phán têch Z = R 2 + X 2 vaì ϕ =artg X/R coï thãø X
biãøu diãùn quan hãû giæîa R,X,Z bàòng mäüt tam giaïc ϕ
vuäng coï caïc caûnh goïc vuäng R vaì X caûnh huyãön Z R
vaì goïc nhoün kãö R laì ϕ (hçnh 2.14), ta goüi laì tam giaïc Hçnh 2.14 Tam giaïc täøng tråí
täøng tråí. Noï giuïp ta dãù daìng nhåï caïc quan hãû giæîa caïc
thäng säú R,X,Z vaì ϕ .
Tæì hçnh 2.14 ta coï quan hãû:
R = Z cos ϕ; X = Z sin ϕ (2.42a)
Z= R 2 + X 2 ; ϕ = arctg X/R (2.42b)
2.9. HAI ÂËNH LUÁÛT KIRCHHOFF VIÃÚT DAÛNG PHÆÏC
2.9.1. Âënh luáût Kirchhoff 1 (K1)
Täøng âaûi säú caïc aính phæïc doìng âiãûn taûi mäüt nuït báút kyì bàòng khäng.
∑ ± &k = 0
I (2.43)
nuït
trong âoï, nãúu qui æåïc doìng âiãûn âi âãún nuït mang dáúu dæång (+) thç doìng âiãûn råìi
khoíi nuït phaíi mang dáúu ám (-) vaì ngæåüc laûi.
2.9.2. Âënh luáût Kirchhoff II
Täøng âaûi säú caïc aính phæïc cuía âiãûn aïp trãn caïc pháön tæí doüc theo táút caí caïc
nhaïnh trong mäüt voìng våïi chiãöu tuìy yï bàòng khäng.
∑ ± Uk = 0
& (2.44)
voìng
Nãúu chiãöu maûch voìng âi tæì cæûc + sang − cuía mäüt âiãûn aïp thç âiãûn aïp âoï mang
dáúu +, coìn ngæåüc laûi mang dáúu −.
13
Phaït biãøu laûi âënh luáût Kirchhoff -2 åí daûng tæång âæång nhæ sau : Âi theo mäüt
voìng våïi chiãöu tuìy yï, täøng âaûi säú caïc aính phæïc cuía suût aïp trãn caïc pháön tæí bàòng
täøng âaûi säú caïc aính phæïc sââ; trong âoï, nãúu chiãöu voìng di tæì cæûc + sang cæûc −
thç âiãûn aïp trãn pháön tæí âoï mang dáúu +, coìn ngæåüc laûi mang dáúu − vaì nãúu chiãöu
voìng di tæì cæûc − sang cæûc + thç sââ âoï mang dáúu +, coìn ngæåüc laûi mang dáúu −.
∑ ± U pt = ∑ ± E k
& & (2.45)
voìng voìng
Ta coï thãø viãút âiãûn aïp trãn caïc pháön tæí thäng qua caïc biãún cuía nhaïnh, nãn cäng
thæïc (2-45) coï thãø viãút laûi nhæ sau :
∑ ± Zk&k = ∑ ± Ek
I & (2.46)
voìng voìng
Trong âoï, chiãöu dæång doìng âiãûn cuìng chiãöu maûch voìng mang dáúu + coìn
ngæåüc laûi mang dáúu −.
2.10. CAÏC CÄNG SUÁÚT TRONG NHAÏNH R-L-C
2.10.1. Cäng suáút taïc duûng P
Ta âaî coï : P = RI2.
Thay R = Zcosϕ vaìo biãøu thæïc P ta coï :
P = Zcosϕ.I.I =Z I.Icos ϕ= UI cos ϕ (2.47)
Âån vë cäng suáút laì Watt, kyï hiãûu laì W.
Ta goüi cosϕ laì hãû säú cäng suáút, phuû thuäüc caïc pháön tæí nhaïnh vaì táön säú, âoï laì
mäüt thäng säú âàûc træng cuía nhaïnh åí mäüt táön säú.
2.10.2. Cäng suáút phaín khaïng Q.
Tæång tæû nhæ cäng suáút taïc duûng P, ta coï:
Q = XI2 = z sinϕ.I.I = UIsinϕ (2.48)
Âån vë cuía cäng suáút phaín khaïng Q laì VAR.
Træåìng håüp maûch coï tênh caím sinϕ > 0, Q > 0, ngæåüc laûi træåìng håüp maûch coï
tênh dung sinϕ < 0, Q < 0.
2.10.3. Cäng suáút biãøu kiãún S
Cäng suáút biãøu kiãún kyï hiãûu laì S vaì âæåüc âënh nghéa laì :
S = UI (2.49)
Âån vë cuía cäng suáút biãøu kiãún S laì VA.
14
2.10.4. Cäng suáút viãút åí daûng säú phæïc
~ &
I & I ( )
S = U × & * = P + jQ = Re U.& * + j Im U.& * & I ( ) (2.50a)
( )
P = Re U.& * ; Q = Im U.& *
&I (
&I ) (2.50b)
Chuï yï : &* laì säú phæïc liãûn hiãûp cuía säú phæïc doìng âiãûn & .
I I
2.10.5. Quan hãû giæîa caïc cäng suáút P,Q, S
Ta coï caïc quan hãû sau:
P = UI cosϕ = S cosϕ (2.51a)
Q = UI sinϕ = S sinϕ (2.51b)
vaì do âoï P 2 + Q 2 = S. (2.51c)
S
Q
ϕ
P
Hçnh 2-15 Tam giaïc cäng suáút
Nhæ váûy chè cáön biãút hai âaûi læåüng P, Q hoàûc S, ϕ coï thãø tçm ra hai âaûi læåüng
coìn laûi. Tæì caïc biãøu thæïc (2.51a,b,c) ta tháúy P, Q, S cuîng coï thãø biãøu diãùn bàòng mäüt
tam giaïc vuäng nhæ hçnh (2.15) âäöng daûng våïi tam giaïc täøng tråí, goüi laì tam giaïc
cäng suáút.
2.11. NÁNG CAO HÃÛ SÄÚ CÄNG SUÁÚT Cosϕ
Mäüt nhaïnh våïi R, L, C âaî cho, åí mäüt táön säú nháút âënh seî coï nhæîng thäng säú (R,
X), goïc lãûch pha ϕ vaì do âoï coï hãû säú cäng suáút cosϕ xaïc âënh.
Hãû säú cäng suáút cosϕ laì mäüt chè tiãu kyî thuáût quan troüng vãö màût nàng læåüng vaì
coï yï nghiaî ráút låïn vãö kinh tãú.
Zd i
Pt ,Q Pt, cosϕ
∼ Pt, cosϕ Rd ,Xd
Hçnh 2.17 Âæåìng dáy tuyãön taíi
Hçnh 2-16 Så âäö truyãön taíi
15
Trãn hçnh 2.17, trçnh baìy mäüt âæåìng dáy taíi âiãûn coï âiãûn tråí vaì âiãûn khaïng
âæåìng dáy laì Rd vaì Xd. Âãø truyãön cäng suáút Pt trãn âæåìng dáy, ta coï doìng âiãûn chaûy
trãn âæåìng dáy taíi âiãûn laì :
Pt
I= (2.52)
U cos ϕ
Pt2
ΔPd = R d I = R d 2
2
;
U cos 2 ϕ
vaì ΔU d = Iz d (2.53)
Váûy, náng cao âæåüc hãû säú cäng suáút cuía læåïi âiãûn :
• Giaím täøn hao cäng suáút trãn âæåìng dáy.
• Phaït huy âæåüc khaí nàng phaït âiãûn cuía nguäön.
• Giaím suût aïp trãn âæåìng dáy truyãön taíi âiãûn.
Vç váûy cosϕ cuía taíi tháúp laì coï haûi vãö kinh tãú vaì kyî thuáût.
Háöu hãút caïc phuû taíi cäng nghiãûp vaì dán duûng âãöu coï tênh caím, khi váûn haình caïc
thiãút bë âiãûn do chaûy non taíi nãn cosϕ cuía taíi tháúp. Âãø náng cao cosϕ cuía maûng
âiãûn, ta duìng tuû âiãûn näúi song song våïi taíi goüi laì buì bàòng tuû âiãûn ténh.
Tçm âiãûn dung C cuía tuû âiãûn âãø náng cosϕ lãn cosϕ’
Mäüt phuû taíi laìm viãûc våïi læåïi âiãûn coï âiãûn aïp U, táön säú f, tiãu thuû cäng suáút taïc
duûng P coï hãû säú cäng suáút cosϕ (hçnh 2.18a). Tênh âiãûn dung C cuía tuû âiãûn gheïp
song song våïi taíi (hçnh 2.18b) âãø náng hãû säú cäng suáút cuía læåïi âiãûn tæì cosϕ lãn
cosϕ’. Hçnh 2.18c cho ta tháúy ϕ > ϕ’ nãn cosϕ’ > cosϕ.
&
ΙC
&
Ι ,cosϕ &
Ι ’,cosϕ’
&
U
+ + &
Ι &
ΙC
& P,cosϕ & P,cosϕ ϕ’ &
Ι’
U U C ϕ
_ &
ΙC
_
&
Ι (c)
(a) (b)
Hçnh 2-18 Náng cao hãû säú cäng suáút cosϕ
Khi chæa näúi taíi våïi tuû thç doìng chaíy trãn læåïi âiãûn I vaì hãû säú cäng suáút cosϕ
cuîng chênh laì doìng âiãûn vaì cosϕ cuía taíi. Khi näúi song song våïi taíi tuû C thç doìng
âiãûn trãn taíi váùn laì I, hãû säú cäng suáút váùn laì cosϕ, nhæng doìng âiãûn trãn læåïi laì I’,
doìng qua tuû laì Ic vaì hãû säú cäng suáút laì cosϕ’. Ta coï :
16
&' = & + &c
I I I
Khi chæa coï tuû buì thç cäng suáút phaín khaïng cuía læåïi âiãûn cung cáúp cho taíi:
Q = P.tgϕ (2.54)
Khi coï tuû buì, hãû säú cäng suáút cuía læåïi âiãûn laì cosϕ’. Do âoï luïc naìy læåïi âiãûn chè
cung cáúp cho taíi mäüt læåüng cäng suáút phaín khaïng laì:
Q’ = Q + QC = P.tgϕ’ (2.55)
Ta tháúy ràòng luïc naìy læåïi âiãûn cung cáúp cäng suáút phaín khaïng êt hån nhåì coï tuû
âiãûn gheïp song song våïi taíi vaì chênh tuû âiãûn cung cáúp pháön cäng suáút phaín khaïng
coìn laûi cho taíi. Nhæ váûy cäng suáút phaín khaïng cuía tuû âiãûn laì:
QC = -XCI2 = -XCU2/X2C = -U2. ωC (2.56)
QC = Q’ - Q = P (tgϕ’ - tgϕ ) (2.57)
Tæì (2.56) vaì (2.57), ta tênh âæåüc:
P
C= (tgϕ - tgϕ’) (2.58)
ωU 2
BÀI TẬP
Bài 2.1. Hãy tìm thông số của các đại lượng hình sin sau :
a. e1 = 208 sin (ωt + 90o) V; i1 = 120 sin (100πt + 20o) A
b. e2 = 320 sin (100πt + 150o) V; i2 = 28 sin (100πt ) A
c. i1 = 120 sin (100πt + 40o) A ; u1 = 328 sin (120πt - 60o) V
d. i2 = 28 sin (100πt ) A ; u2 = 128 sin (500πt - 160o) V
Bài 2.2. Biểu diễn các đại lượng hình sin của bài 1 thành các vectơ. Vẽ hai đại
lượng hình sin của a, b, c, d trên cùng một hệ trục toạ độ.
Bài 2.3. Tìm trị hiệu dụng và pha ban đầu các đại lượng hình sin của bài 1 ?
Bài 2.4. Biểu diễn các đại lượng hình sin của bài 1 thành các số phức. Biểu diễn các
số phức sau đây thành đại lượng hình sin theo thời gian ?.
U1 = 220∠ − 450 V ; &1 = 10∠450 A
& I
U1 = 120∠65 V ; &1 = 10∠30 0 A
& 0
I
E1 = 400∠ − 650 V ; &1 = 12∠ − 22 0 A
& I
17
Bài 2.5. Tìm góc lệch pha của các cặp đại lượng hình sin của bài 1 và bài 4 ?
Bài 2.6. Biểu diễn các cặp số phức của bài 4 thành 5A &
I
các vectơ trên cùng hệ một trục toạ độ.
45o x
Bài 2.7. Từ đồ thị hình 2-1, viết các đại lượng hình -25 o
sin về dạng tức thời và dạng số phức. 115V &
U
Bài 2.8. Chuyển các số phức sau đây về dạng số mũ
Hình 2-1
:
Z1 = 4 + 5j ; Z2 = 14 + 5j ;
Z3 = 24 + 45j ; Z4 = 14 -15j ; Z5 = 4 - 5j ; Z6 = 4 -15j
Bài 2.9. Chuyển các số phức sau đây về dạng đại số :
o
Z7 = 5∠-35o ; Z8 = 10∠35o ; Z9 = 20 e j180 ; Z10 = 4∠-15o ;
Z12 = 25 e − j90 ;
o
Z11 = 6∠-180o ; Z13 = 5∠0o ; Z14 = 12∠25o ;
Bài 2.10. Từ các số phức của bài 8 & 9, tính các số phức sau dây :
Z15 = Z1 + Z4 ; Z16 = Z1 + Z7 ; Z17 = Z9 - Z4 ; Z18 = Z10 - Z14 ;
Z19 = Z1 x Z5 ; Z20 = Z1 x Z7 ; Z21 = Z9 x Z4 ; Z22 = Z10 x Z14 ;
Z23 = Z1 / Z6 ; Z24 = Z1 / Z7 ; Z25 = Z9 / Z4 ; Z26 = Z13 / Z14 ;
Y27 = (1/Z1) + (1/Z3) ; Y28 = (1/Z1) + (1/Z3) + (1/Z4); Y29 = Y27 + Y28;
Z1 × Z 2 Z 4 × Z8 Z10 × Z12 Z14 × Z 8
Z 30 = ; Z 31 = ; Z 32 = ; Z 33 = ;
Z1 + Z 2 Z 4 + Z8 Z10 + Z12 Z14 + Z 8
Bài 2.11. Cho mạch điện như hình vẽ (hình 2-2). Đặt lên hai cực AB của mạch một
điện áp xoay chiều hình sin xác định có trị hiệu dụng UAB. Cho f = 100Hz.
a. Nếu nối vào hai điểm MN một ampe kế, thì ampe kế chỉ trị số là 0,3A và
chậm pha so với điện áp UAB một góc là 60o. Công suất mạch tiêu thụ lúc này là
18W. Tình R1, L1 và UAB ?
b. Nếu nối vào hai điểm MN một vôn kế, thì vôn kế chỉ trị số là 60V và điện
áp đó chậm pha so với điện áp UAB một góc là 60o. Tình R2, C2 ?
i i2
+ R i1
M N R1
R1 L1 R2 C2 C2
A B u
L1
−
Hình 2 - 2
Hçnh 2- 3
18
Bài 2.12. Cho mạch điện như hình vẽ (hình 2-3). Điện áp nguồn cung cấp u =
1
220 2 sin(ωt + 30o)V. Các thông số mạch điện là R = 2Ω, R1 = 10Ω, L1 = H;
10π
10 3
C2 = F và f = 50Hz. Tính :
3π
a. Dòng điện i, i1 và i2 để ở dạng thời gian ?
b. Công suất P và Q toàn mạch ?
i i2 i1 i3
W A W A1
+ i1 L2 + L2
i2
R1 C3
u A1 R2 u R2
A3
A2 A2
− −
Hình 2-4 Hình 2-5
Bài 2.13. Cho mạch điện xoay chiều như hình 2- 5, có các thông số như sau :
R1 = 10 Ω ; R2 = 6 Ω ; X2 = 8 Ω ; u (t) = 127 2 sin ωt V.
Xác định chỉ số các dụng cụ đo. Viết biểu thức tức thời và số phức các dòng điện
Bài 2.14. Cho mạch điện xoay chiều hình sin như hình 2- 5, có tần số 50Hz và dụng
cụ đo chỉ các đại lượng như sau :
+ Khi khoá K mở : Vôn kế chỉ 220V; Ampe kế một và Ampe kế hai chỉ giá
trị bằng nhau và bằng 10A, Watt kế chỉ 1320W. Tình R1, L1 và hệ số công suất của
mạch lúc này ?
+ Khi khoá K đóng : Vôn kế chỉ 220V; Ampe kế một chỉ 6A và Ampe kế hai
chỉ 10A và Ampe kế ba chỉ 8A, Watt kế chỉ 1320W. Tình C và cho nhận xét ?
