Đề thi và đáp án chính thức môn Toán khối D năm 2009 của Bộ Giáo Dục-Đào Tạo
Mời các bạn thí sinh tham khảo đề thi và đáp án chính thức môn Toán khối D năm 2009 của Bộ Giáo Dục Đào Tạo.
http://tailieu.vn/toand.jpg
http://tailieu.vn/toand.jpg7/10/2009 4:00:00 PM
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối: D
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
I 1. (1,0 điểm) Khảo sát…
(2,0 điểm)
Khi m = 0, y = x 4 − 2 x 2 .
• Tập xác định: D = .
• Sự biến thiên: 0,25
- Chiều biến thiên: y ' = 4 x3 − 4 x; y ' = 0 ⇔ x = ±1 hoặc x = 0.
Hàm số nghịch biến trên: (−∞ ; − 1) và (0;1); đồng biến trên: (−1;0) và (1; + ∞).
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, yCT = −1; đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0.
0,25
- Giới hạn: lim y = lim y = +∞.
x →−∞ x →+∞
- Bảng biến thiên:
x −∞ −1 0 1 +∞
y' − 0 + 0 − 0 +
+∞ 0 +∞ 0,25
y
−1 −1
• Đồ thị: y
8
0,25
−1 O 1
−2 2 x
−1
2. (1,0 điểm) Tìm m...
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và đường thẳng y = −1: x 4 − (3m + 2) x 2 + 3m = −1.
0,25
Đặt t = x 2 , t ≥ 0; phương trình trở thành: t 2 − (3m + 2)t + 3m + 1 = 0
⇔ t = 1 hoặc t = 3m + 1. 0,25
⎧0 < 3m + 1 < 4
Yêu cầu của bài toán tương đương: ⎨ 0,25
⎩3m + 1 ≠ 1
1
⇔ − < m < 1, m ≠ 0. 0,25
3
II 1. (1,0 điểm) Giải phương trình…
(2,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương: 3 cos5 x − (sin 5 x + sin x) − sin x = 0
3 1 0,25
⇔ cos5 x − sin 5 x = sin x
2 2
⎛π ⎞
⇔ sin ⎜ − 5 x ⎟ = sin x 0,25
⎝3 ⎠
Trang 1/4
Câu Đáp án Điểm
π π
⇔ − 5 x = x + k 2π hoặc − 5 x = π − x + k 2π . 0,25
3 3
π π π π
Vậy: x = +k hoặc x = − +k ( k ∈ ). 0,25
18 3 6 2
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình…
⎧ 3
⎪x + y +1− x = 0
⎪
Hệ đã cho tương đương: ⎨ 0,25
⎪( x + y ) 2 − 5 + 1 = 0
⎪
⎩ x2
⎧ 3 ⎧ 3
⎪x + y = x −1 ⎪x + y = x −1
⎪ ⎪
⇔ ⎨ 2 ⇔ ⎨ 0,25
⎪⎛ 3 − 1 ⎞ − 5 + 1 = 0 ⎪ 4 −6 +2=0
⎜
⎪⎝ x ⎠ ⎟ 2 ⎪ x2 x
⎩
⎩ x
⎧1 1
⎧1 ⎪x = 2
⎪ =1 ⎪
⇔ ⎨x hoặc ⎨ 0,25
⎪x + y = 2
⎩ ⎪x + y = 1
⎪
⎩ 2
⎧ x=2
⎧x = 1 ⎪
⇔ ⎨ hoặc ⎨ 3
⎩ y =1 ⎪y = − 2.
⎩ 0,25
⎛ 3⎞
Nghiệm của hệ: ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) = ⎜ 2; − ⎟ .
⎝ 2⎠
III Tính tích phân…
(1,0 điểm)
dt
Đặt t = e x , dx = ; x = 1, t = e; x = 3, t = e3 . 0,25
t
e3 e3
dt ⎛ 1 1⎞
I=∫ = ∫ ⎜ t − 1 − t ⎟ dt 0,25
e
t (t − 1) e ⎝ ⎠
e3 e3 0,25
= ln| t − 1| e − ln| t | e
= ln(e 2 + e + 1) − 2. 0,25
IV Tính thể tích khối chóp...
(1,0 điểm)
M Hạ IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) ; IH là đường cao
A' C' của tứ diện IABC .
I IH CI 2 2 4a
⇒ IH // AA ' ⇒ = = ⇒ IH = AA ' = .
B' AA ' CA ' 3 3 3
2a
3a AC = A ' C 2 − A ' A2 = a 5, BC = AC 2 − AB 2 = 2a.
K 1 0,50
Diện tích tam giác ABC : SΔABC = AB.BC = a 2 .
A C 2
H
a 1 4a 3
Thể tích khối tứ diện IABC : V = IH .S ΔABC = .
B 3 9
Trang 2/4
Câu Đáp án Điểm
Hạ AK ⊥ A ' B ( K ∈ A ' B). Vì BC ⊥ ( ABB ' A ') nên AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ ( IBC ).
0,25
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( IBC ) là AK .
2 SΔAA ' B AA '. AB 2a 5
AK = = = . 0,25
A' B A ' A2 + AB 2 5
V Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…
(1,0 điểm) Do x + y = 1, nên: S = 16 x 2 y 2 + 12( x3 + y 3 ) + 9 xy + 25 xy
0,25
= 16 x 2 y 2 + 12 ⎡( x + y )3 − 3 xy ( x + y ) ⎤ + 34 xy = 16 x 2 y 2 − 2 xy + 12.
⎣ ⎦
( x + y )2 1 ⎡ 1⎤
Đặt t = xy, ta được: S = 16t 2 − 2t + 12; 0 ≤ xy ≤ = ⇒ t ∈ ⎢0; ⎥ .
4 4 ⎣ 4⎦
⎡ 1⎤
Xét hàm f (t ) = 16t 2 − 2t + 12 trên đoạn ⎢0; ⎥
⎣ 4⎦
1 ⎛1⎞ 191 ⎛1⎞ 25 0,25
f '(t ) = 32t − 2; f '(t ) = 0 ⇔ t = ; f (0) = 12, f ⎜ ⎟ = , f⎜ ⎟ = .
16 ⎝ 16 ⎠ 16 ⎝ 4⎠ 2
⎛ 1 ⎞ 25 ⎛ 1 ⎞ 191
max f (t ) = f ⎜ ⎟ = ; min f (t ) = f ⎜ ⎟ = .
⎡ 1⎤
0;
⎢ 4⎥
⎝ 4 ⎠ 2 ⎡0; 1 ⎤⎢ 4⎥
⎝ 16 ⎠ 16
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎧x + y = 1
25 ⎪ ⎛1 1⎞
Giá trị lớn nhất của S bằng ; khi ⎨ 1 ⇔ ( x; y ) = ⎜ ; ⎟ . 0,25
2 ⎪ xy = 4
⎩
⎝2 2⎠
⎧x + y = 1
191 ⎪
Giá trị nhỏ nhất của S bằng ; khi ⎨ 1
16 ⎪ xy = 16
⎩ 0,25
⎛2+ 3 2− 3⎞ ⎛2− 3 2+ 3⎞
⇔ ( x; y ) = ⎜
⎜ 4 ; 4 ⎟ ⎟
hoặc ( x; y ) = ⎜
⎜ 4 ; 4 ⎟.⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
VI.a 1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…
(2,0 điểm)
⎧7 x − 2 y − 3 = 0
Toạ độ A thoả mãn hệ: ⎨ ⇒ A(1;2).
⎩6 x − y − 4 = 0 0,25
B đối xứng với A qua M , suy ra B = (3; −2).
Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng 6 x − y − 4 = 0.
0,25
Phương trình BC : x + 6 y + 9 = 0.
⎧7 x − 2 y − 3 = 0 ⎛ 3⎞
Toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng BC thoả mãn hệ: ⎨ ⇒ N ⎜ 0; − ⎟ . 0,25
⎩x + 6 y + 9 = 0 ⎝ 2⎠
⇒ AC = 2.MN = ( −4; −3) ; phương trình đường thẳng AC : 3x − 4 y + 5 = 0. 0,25
2. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm D...
⎧x = 2 − t
⎪
AB = (−1;1;2), phương trình AB : ⎨ y = 1 + t 0,25
⎪ z = 2t.
⎩
D thuộc đường thẳng AB ⇒ D(2 − t ;1 + t ;2t ) ⇒ CD = (1 − t ; t ;2t ). 0,25
Trang 3/4
Câu Đáp án Điểm
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : n = (1;1;1).
C không thuộc mặt phẳng ( P ).
0,50
1 ⎛5 1 ⎞
CD //( P) ⇔ n.CD = 0 ⇔ 1.(1 − t ) + 1.t + 1.2t = 0 ⇔ t = − . Vậy D ⎜ ; ; −1⎟ .
2 ⎝ 2 2 ⎠
VII.a Tìm tập hợp các điểm…
(1,0 điểm)
Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ); z − 3 + 4i = ( x − 3) + ( y + 4 ) i. 0,25
Từ giả thiết, ta có: ( x − 3) 2 + ( y + 4 ) 2 2 2
= 2 ⇔ ( x − 3 ) + ( y + 4 ) = 4. 0,50
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 3; − 4 ) bán kính R = 2. 0,25
VI.b 1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M ...
(2,0 điểm) 2
Gọi điểm M ( a; b ) . Do M ( a; b ) thuộc (C ) nên ( a − 1) + b 2 = 1; O ∈ (C ) ⇒ IO = IM = 1. 0,25
Tam giác IMO có OIM = 120 nên OM 2 = IO 2 + IM 2 − 2 IO.IM .cos120 ⇔ a 2 + b 2 = 3. 0,25
⎧ 3
⎧( a − 1)2 + b 2 = 1
⎪ ⎪a = 2
⎪ ⎛3 3⎞
Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ ⎨ ⇔⎨ Vậy M = ⎜ ; ±
⎜2 ⎟. 0,50
⎪a 2 + b 2 = 3 ⎪b = ± 3 . ⎝ 2 ⎟
⎠
⎩
⎪
⎩ 2
2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…
⎧x+ 2 y −2 z
⎪ = =
Toạ độ giao điểm I của Δ với ( P) thoả mãn hệ: ⎨ 1 1 −1 ⇒ I (−3;1;1). 0,25
⎪ x + 2 y − 3z + 4 = 0
⎩
Vectơ pháp tuyến của ( P ) : n = (1;2; −3); vectơ chỉ phương của Δ : u = (1;1; −1). 0,25
Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương v = ⎡ n, u ⎤ = (1; −2; −1) .
⎣ ⎦ 0,25
⎧ x = −3 + t
⎪
Phương trình d : ⎨ y = 1 − 2t 0,25
⎪ z = 1 − t.
⎩
VII.b Tìm các giá trị của tham số m...
(1,0 điểm)
x2 + x − 1
Phương trình hoành độ giao điểm: = −2 x + m ⇔ 3x 2 + (1 − m) x − 1 = 0 ( x ≠ 0). 0,25
x
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0 với mọi m. 0,25
x1 + x2 m − 1
Hoành độ trung điểm I của AB : xI = = . 0,25
2 6
m −1
I ∈ Oy ⇔ xI = 0 ⇔ = 0 ⇔ m = 1. 0,25
6
-------------Hết-------------
Trang 4/4
