Đại lượng ngẫu nhiên_chương 5
Trong phép thử, ta quan tâm đến sự xuất hiện của biến cố A nào đó. Đặc trưng định lượng trong kết quả là đại lượng ngẫu nhiên(biến ngẫu nhiên), ký hiệu: X, Y, Z,...
Chöông II. ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN
§1. Luaät phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân
1.1. Khaùi nieäm veà ñaïi löôïng ngaãu nhieân
Trong pheùp thöû, ta quan taâm ñeán söï xuaát hieän cuûa
bieán coá A naøo ñoù. Ñaëc tröng ñònh löôïng trong keát
quaû laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân (bieán ngaãu nhieân), kyù
hieäu: X, Y, Z, …
VD: Baén lieân tieáp n vieân ñaïn ñoäc laäp vaøo bia, goïi X
laø soá vieân ñaïn truùng ñích Þ X = {0, 1, 2, ..., n} .
1.2. Luaät phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân
1.2.1. Tröôøng hôïp rôøi raïc
Xeùt X = {x 1, x 2 , ..., x n } vôùi xaùc suaát töông öùng laø
p j = P[X = x j ], j = 1, 2, ..., n . Ta coù baûng phaân
phoái
X x1 x2 … xj …
xn
PX p1 p2 … pj … pn
Haøm phaân phoái
Giaû söû x 1 < x 2 < ... < x n , ta coù haøm phaân phoái
ì 0,
ï x £ x1
ï
ïp ,
ï 1
ï x1 < x £ x 2
ï
ïp + p , x < x £ x
ï 1
ï 2 2 3
F(x) = í
ï .........................
ï
ï
ï p 1 + p 2 + ... + p n - 1, x n - 1 < x £ x n
ï
ï
ï
ï 1,
ï x > xn
î
Taïi x baát kyø thì F(x) = å p j vaø
xj < x
P[x k £ X < x k + 1 ] = F(x k + 1) - F(x k ) .
VD: Moät loâ sp coù 5 sp toát vaø 4 sp xaáu. Laáy ngaãu
nhieân töø loâ ra 3 sp. Goïi X laø soá sp toát trong 3 sp laáy
ra. Tìm phaân phoái xaùc suaát cuûa X, vieát haøm phaân
phoái vaø tính P[1 £ X < 3].
Giaûi
Ta coù X = {0;1;2;3}.
k 3- k
C5C4
P[X = k] = 3 ,k = 0;1;2;3
C9
ì
ï 0, x £ 0
ï
ï
ï
ï 1
ï , 0 < x £ 1
ï
ï 21
ï
ï 17
F (x) = í , 1 < x £ 2
ï
ï 42
ï
ï 37
ï
ï , 2 < x £ 3
ï 42
ï
ï
ï 1, x > 3
ï
î
37 1 35
P[1 £ X < 3] = F(3) - F(1) = - = .
42 21 42
1.2.2. Tröôøng hôïp lieân tuïc
X nhaän caùc giaù trò laáp ñaày (a; b) (a, b coù theå voâ
haïn). ÖÙng vôùi moãi x Î (a; b) , xaùc suaát taïi x kyù hieäu
b
laø f(x) ³ 0 vaø ò f(x)dx = 1.
a
Ta coù
b
P[a £ X £ b] = ò f(x)dx, (a £ a < b £ b)
a
§2. Moät soá luaät phaân phoái ñaëc bieät
2.1. Tröôøng hôïp rôøi raïc
2.1.1. Phaân phoái sieâu boäi X Î H(N, NA, n)
Xeùt taäp coù N phaàn töû, trong ñoù coù NA phaàn töû coù
tính chaát A. Töø taäp ñoù laáy ra n phaàn töû. Goïi X laø soá
phaàn töû coù tính chaát A thì X coù phaân phoái sieâu boäi.
Ñònh nghóa
Phaân phoái sieâu boäi laø phaân phoái cuûa ñaïi löôïng
ngaãu nhieân rôøi raïc X = {0; 1; 2; … n} vôùi xaùc suaát
;
Ck A CN-- k A
n
töông öùng laø pk = P[X = k] =
N N
n
CN
VD: Töø boä baøi 52 caây coù 4 caây At, laáy ra 3 caây.
Tính xaùc suaát ñeå coù 2 caây At.
Giaûi
Goïi X laø soá At trong 3 caây laáy ra, X Î H(52, 4, 3) .
C2C1
Þ P[X = 2] = 4 3 48 » 0, 01 .
C52
2.1.2. Phaân phoái nhò thöùc X Î B(n, p)
Daõy pheùp thöû Bernoulli laø daõy n pheùp thöû thoûa 3
ñieàu kieän
i/ Caùc pheùp thöû ñoäc laäp vôùi nhau.
ii/ Trong moãi pheùp thöû ta chæ quan taâm ñeán 1 b.c A.
iii/ Trong moãi pheùp thöû xaùc suaát thaéng lôïi luoân laø
haèng soá P(A) = p, P(A) = 1 - p = q, (0 < p < 1)
Ñònh nghóa
Phaân phoái nhò thöùc laø phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu
nhieân rôøi raïc X = {0; 1; 2; … n} vôùi xaùc suaát töông
;
öùng laø pk = P[X = k] = Cn p q .
k k n- k
VD: Chôi 10 vaùn baàu cua lieân tieáp, tìm xaùc suaát ñeå
coù ít nhaát 1 vaùn cöûa cua thaéng.
Giaûi
Chôi 10 vaùn laø 10 pheùp thöû ñoäc laäp (n = 10).
1
Goïi A: “cöûa cua thaéng” Þ P(A) = .
6
1
( )
X: soá vaùn cöûa cua thaéng Þ X Î B 10,
6
P[X ³ 1] = 1 - P[X < 1] = 1 - P[X = 0]
0
1 5 10
= 1 - C10 ( )( )
0
6 6
» 83, 85% .
VD
Xaùc suaát ñeå 1 con gaø ñeû laø 0,6. Trong chuoàng coù 10
con. Tính xaùc suaát ñeå trong 1 ngaøy coù
a/ 10 con gaø ñeû; b/ 8 con ñeû; c/ taát caû khoâng ñeû.
Giaûi
X = {0;1;2;...;10}, n = 10, p = 0, 6
Þ X Î B(10;0, 6) .
P[X = k] = C10 (0, 6) (0, 4) .
k k 10- k
Baøi taäp
Baén lieân tieáp 3 vieân ñaïn ñoäc laäp vaøo bia. Xaùc suaát
truùng ñích cuûa moãi vieân laø 0,6. Goïi X laø soá vieân
ñaïn truùng ñích. Laäp baûng phaân phoái cuûa X vaø vieát
haøm phaân phoái.
Ñaëc bieät
Khi n = 1 ta coù phaân phoái Bernoulli X Î B(p)
X 0 1
PX q p
2.1.3. Phaân phoái Poisson X Î P(l ), l > 0
Phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc X nhaän
caùc giaù trò 0, 1, 2, …, k, …vôùi xaùc suaát töông öùng laø
e- l .l k
p k = P[X = k] = .
k!
Ñònh lyù
Khi n lôùn vaø p beù thì
X Î B(n, p) » X Î P( l ), l = np.
Ñònh lyù
Khi N > > n thì
NA
X Î H(N, N A , n) » X Î B(n, p), p = .
N
VD
Moät loâ haøng coù 1% pheá phaåm. Tìm xaùc suaát ñeå khi
choïn ra 500 saûn phaåm coù
a/ Taát caû ñeàu toát; b/ 1 pheá phaåm.
Giaûi
X Î B(500; 0, 01), l = np = 500x0, 01 = 5 .
e- 5 .50
a/ P[X = 0] = .
0!
- 5 1
e .5
b/ P[X = 1] = .
1!
2.1.4. Phaân phoái chuaån
X Î N (ms ), s > 0, m= const .
, 2
Phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc X
nhaän giaù trò treân R vôùi haøm maät ñoä phaân phoái
(x - m 2
)
1 -
2s 2 .
f(x) = e
s 2p
a. Phaân phoái chuaån ñôn giaûn
T Î N (0,1), s = 1, m= 0 .
t2
1 -
Haøm maät ñoä phaân phoái f(t) = e 2 .
2p
Tích phaân Laplace
x t2
1 -
j (x)= ò e 2 dt= P[0 £ T £ x], T Î N(0,1)
2p
0
Tính chaát
i/ j (- x) = - j (x).
ii/ P[a £ T £ b] = j (b) - j (a ).
VD
T Î N(0,1), P[- 3 £ T £ 1] = j (1) + j (3)
= 0, 3413 + 0, 4987 = 0, 84 .
b. Toång quaùt X Î N(ms 2 )
,
X- m
Ñaët T = Þ T Î N(0,1).
s
Phöông phaùp tính
Cho X Î N(ms 2 ), tính P[x1 £ X £ x2 ].
,
x1 - m x2 - m
Ñaët a = ,b =
s s
Þ P[x1 £ X £ x2 ] = j (b) - j (a ).
VD
Troïng löôïng cuûa 1 loaïi saûn phaåm X coù phaân phoái
chuaån vôùi m = 10kg, s = 0, 5 . Tính tæ leä nhöõng saûn
phaåm coù troïng löôïng töø 9, 5kg ® 11kg .
Giaûi
æ - 10 ö
11
÷ æ 5 - 10 ö
9,
÷
P[9, 5 £ X £ 11] = j ç
ç 0, 5 ø ÷- j ç
ç 0, 5 ÷
è è ø
= j (2) - j (- 1) = 0, 82.
