Công trình Thủy điện Hòa Bình_ Phần 5
Tài liệu tham khảo việc xây dựng Công trình Thủy điện Hòa Bình_ Phần 5: " Tính tóan tải trọng động đất đập vật liệu địa phương ".
5
TÍNH TOÁN TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT
ĐẬP VẬT LIỆU ĐỊA PHƯƠNG
_____________________________________ -1-
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
MỤC LỤC
Trang
CHƯƠNG I
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN CÔNG TRÌNH KHI CÓ ĐỘNG ĐẤT
1.1. Nguyên tắc chung..............................................................................................3
1.2. Phương pháp tĩnh..............................................................................................3
1.2.1. Phương pháp Omori..........................................................................................3
1.2.2. Phương pháp Mononebe...................................................................................4
1.2.3. Phương pháp phổ tuyến tính............................................................................4
1.3. Các phương pháp động lực học.......................................................................5
1.3.1. Phương pháp giải tích .....................................................................................5
1.3.2. Phương pháp đường cong phổ ........................................................................5
1.3.3. Phương pháp động lực học..............................................................................7
1.3.4. Phương pháp ngẫu nhiên .................................................................................7
CHƯƠNG II
PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG HỌC TÍNH TOÁN
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT- ĐÁ
2.1. Phương trình động học. .....................................................................................10
2.1.1..Phương trình tổng quát........................................ .........................................10
2.1.2. Phương trình chuyển động trong dạng ma trận ..............................................10
2.1.3. Hệ số tắt dần ..................................................................................................14
2.1.4. Hình thành ma trận khối .................................................................................16
2.1.5. Giải phương trình đặc tính ..............................................................................18
2.1.6. Tính toán sóng chảy ........................................................................................20
2.2. Đánh giá biến dạng dư ....................................................................................21
2.3. Lựa chọn các chỉ tiêu cơ lý của vật liệu khi có tải trọng
động .......................23
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP PHỔ TUYẾN TÍNH
(THEO СНиП II -7-81)
3.1. Xác định tải trọng động đất ............................................................................25
3.1.1. Các thành phần nằm ngang ............................................................................25
3.1.2. Các thành phần thắng đứng. .........................................................................27
3.1.3. Ví dụ tính toán ..............................................................................................30
3.2. Một số tiêu chuẩn, quy phạm của các
nước ...................................................33
3.2.1. Tiêu chuẩn của Nhật ......................................................................................30
3.2.2. Tiêu chuẩn của Mỹ ........................................................................................30
3.2.3. Tiêu chuẩn của Pháp ......................................................................................30
3.2.4. Tiêu chuẩn СНиП II – A - 12 – 69 của Liên Xô.........................................30
3.2.5. Tiêu chuẩn СНиП II -7-81 của Liên Xô .......................................................30
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................34
_____________________________________ -2-
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
CHƯƠNG I
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN CÔNG TRÌNH
KHI CÓ ĐỘNG ĐẤT
I.1. NGUYÊN TẮC CHUNG.
Một trong những nhiệm vụ chủ yếu của kỹ thuật chống động đất là việc xây
dựng các phương pháp xác định ứng lực trong các công trình khi chịu động đất.
Để giải quyết nhiệm vụ trên, cần phải nghiên cứu các lý thuyết của cơ học địa
chấn là một lý thuyết mới của cơ học, nó liên quan nhiều đến những thành tựu của
địa chấn học, địa chất học, cơ học đất và nền móng v.v…
Kỹ thuật kháng chấn có liên quan đến việc phân vùng động đất, trạng thái động
lực học của công trình, các phương pháp tính toán kết cấu công trình, tính kinh tế
của việc thiết kế và tính toán công trình khi chịu động đất .
Các phương pháp tính toán hiện nay, có thể tạm chia thành hai nhóm :
a.) Nhóm các phương pháp sơ đồ tĩnh.
b.) Nhóm các phương pháp động lực
Nhóm các phương pháp sơ đồ tĩnh là nhóm mà trong các công thức, các phương
trình tính toán không xét tới thời gian t. Các phương pháp sơ đồ tĩnh bao gồm:
- Phương pháp Omori (Nhật, năm 1900).
- Phương pháp Mônônebe (Nhật, 1920).
- Phương pháp phổ tuyến tính.
Nhóm các phương pháp sơ đồ động là nhóm mà trong các công thức, các phương
trình tính thời gian t là một biến số của các hàm chuyển vị, vận tốc, gia tốc và lực
quán tính động đất. Các phương pháp động lực gồm:
- Phương pháp giải tích.
- Phương pháp động lực học dựa trên các đường cong phổ (sau đây gọi tắt là PP
đường cong phổ).
- Phương pháp động lực học theo các biểu đồ gia tốc của các trận động đất đã
xẩy ra (sau đây gọi tắt là PP động lực học).
- Phương pháp ngẫu nhiên.
I.2 PHƯƠNG PHÁP TĨNH
1.2.1. PHƯƠNG PHÁP OMORI
Phương pháp tĩnh để tính toán động đất là phương pháp cổ điển xuất hiện từ
năm 1900 do Omori (Nhật) tìm ra sau trận động đất lớn ở Nhật Bản năm
1891.Người ta đã nghiên cứu phương pháp xác định các gia tốc lớn nhất và các
quán tính phá họai .
_____________________________________ -3-
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
Lý thuyết này không chú ý đến biến dạng của công trình và xem các dao động ở
mọi điểm trên công trình đều bằng nhau, còn sự phân bố các lực quán tính của
động đất trên công trình phụ thuộc vào khối lượng phân bố trên công trình. Các lực
động đất được xem như các lực ngang tĩnh, tỷ lệ với khối lượng của kết cấu và
bằng :
Q
S = mΫ0 = Ϋ = Kc.Q (1.1)
g 0
Trong đó :
m (Q) – là khối lượng (trọng lượng) của công trình
Ϋ0 – là gia tốc động đất lớn nhất của nền đất
g – gia tốc trọng trường
K – là hệ số động đất
Hệ số Kc xác định trên cơ sở của các số liệu địa chấn ở một khu vực lớn, các số
liệu này cho phép ta dự đoán được lựcđộng đất.
Phương pháp này, có thể cho ta khái niệm gần đúng về lực xuất hiện trong các
kết cấu cứng có biến dạng nhỏ trong thời gian động đất. Trong các kết cấu, ứng
lực phụ thuộc chủ yếu vào các tính chất động lực học vào chu kỳ dao động, dạng
dao động và sự tắt dần của dao động riêng.
Vì vậy, cần nghiên cứu các phương pháp động lực học để xác định các dạng dao
động và ứng lực trong công trình.
1.2.2. PHƯƠNG PHÁP MONONEBE
Thí nghiệm đầu tiên chú ý đến sự chuyển động của nền đất như một hàm phụ
thuộc thời gian đã được Mônônebe tiến hành ở Nhật Bản năm 1920.
Ông ta công nhận dao động tuần hoàn của nền đất như dao động cưỡng bức của
công trình và đưa vào công thức (1.1), hệ số động lực β :
S = kc β
Sự hiệu chỉnh này chỉ có ảnh hưởng đối với các công trình cao, bất lợi khi chịu
uốn. Cơ sở của phương pháp động lực học ở dạng chung nhất được nghiên cứu
vào năm 1927. Trong nghiên cứu , ông đã chỉ ra sự cần thiết phải xem xét các quá
trình chuyển tiếp đột ngột , mà các quá trình đó phản ánh tính chất tác động tức
thời của động đất.
Trong giai đoạn chuyển tiếp này, hệ số động lực có thể tăng gấp 2 lần. Do
thiếu thông tin về đặc tính của các trận động đất đã xẩy ra, nên phương pháp động
lực học chỉ cho ta hiểu sơ đồ về chuyển động của nền đất và các dao động của
công trình.
1.2.3.1 PHƯƠNG PHÁP PHỔ TUYẾN TÍNH
Cơ sở của phương pháp phổ tuyến tính là dựa trên việc phân tích các đường
cong phổ để đưa ra các hệ số để đơn giản hoá việc tính toán. Phương pháp này
_____________________________________ -4-
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
được sử dụng trong các quy phạm thiết kế công trình trong vùng động đất của hầu
hết các nước trên thế giới.
Phương pháp phổ tuyến tính được trình bày trong Quy phạm CНиП II-7-81 của
CHLB Nga. Quy phạm này đươc cập nhật và bổ sung hàng năm. Lần bổ sung gần
đây nhất là năm 2000. Phương pháp này đã được ứng dụng rộng rãi cho nhiều công
trình xây dựng của Việt Nam.
Sau đây sẽ được giới thiệu cụ thể phương pháp này.
I.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC
1.3.1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH .
Đối với phương pháp giải tích, ta công nhận một mô hình toán cơ của công trình.
Dựa vào các phương pháp cơ học của môi trường liên tục hoặc rời rạc, ta thiết lập
được hàm giải tích, trong đó đưa yếu tố thời gian vào dao động của động đất . Từ
phương trình vi phân ta xác định chuyển vị, vận tốc và gia tốc. Các lực động đất
được xác định bằng tích khối lượng của hệ với gia tốc tương ứng của chúng.
Nhưng phương pháp này có tính chất gần đúng, do thiếu các số liệu chính xác.
1.3.2 PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG CONG PHỔ.
Qua việc phân tích các trận động đất ở San Francisco vào năm 1923 và Laybich
vào vào năm 1933, nhiều tác giả đã thiết lập được dạng mới của phương pháp
động lực học để tính toán công trình, đó là phương pháp phổ, hoặc phương pháp
tính theo đường cong phổ.
Phương pháp phổ được M.Bio nêu ra năm 1933, sau đó được Cotrinski đã nghiên
cứu hoàn chỉnh cơ sở lý thuyết của phương pháp này.
Nội dung của phương pháp phổ là xác định gia tốc, vận tốc và chuyển vị cực đại
của các dao động đó .
Ở phương pháp này, người ta sử dụng sự tương tự giữa dao động của hệ phức
tạp với hệ có một bậc tự do.
Để hiểu một cách vắn tắt phương pháp phổ, chúng ta sẽ khảo sát hàm F(t):
Nếu hàm F(t) biểu diễn quá trình giao động trong khoảng thời gian (0, t) thì phổ
của hàm đó là:
t
∫ F (t ).e
− iωt
S(ω ) = dt (1.2)
o
Và hàm F(t) được thể hiện qua S(ω ) bằng biểu thức:
t
∫ S (ω ).e
+ iωt
F(t) = dω (1.3)
o
_____________________________________ -5-
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
Dựa vào phổ (1.2) có thể khai triển F(t) dưới dạng lượng giác sau:
F(t) = ao+A1.sin(1ω t+α1)+A2.sin(2ω t+ α2) +A3.sin(3ω t+ α3) +A4.sin(4ω t + α4)....
∞
hay F(t) = ao + ∑k =1
Ak.sin(kω t + αk) (1.4)
Việc biểu diễn biên độ Ak ứng với tần số ω k = kω của điều hoà thứ k trong
chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn F(t) trong mặt phẳng (ω 1, A) gọi là biểu diễn
hàm tuần hoàn F(t) trong miền tần số. Tập hợp các biên độ Ak trong khai triển
Fourier (1.4) của hàm tuần hoàn F(t) được gọi là phổ của hàm tuần hoàn F(t). Trên
hình 1.1 biểu diễn phổ của hàm (1.4).
Qua việc khảo sát trên có thể tạm định nghĩa như sau :
1.) Mục đích của phổ là tìm các thành phần tổng hợp nên dao động
2.) Ý nghĩa của phổ là đưa một bài toán trong miền thời gian về khảo sát trong
miiền tần số.
1.) Phổ là yếu tố đặc trưng các dao động phức tạp – thực chất là biến đổi Fourie
của hàm biên độ dao động theo thời gian.
Ak
ω1 2 ω1 3 ω1 4 ω 1 ω
Hình 1.1 Phổ của hàm tuần hoàn
Do phổ là yếu tố đặc trưng các dao động phức tạp nên sẽ có vô số thể hiện. Vì
vậy sau khi tính phản ứng động lực của công trình ứng với mỗi thể hiện khi mô
phỏng từ phổ, chúng ta tiếp tục xử lý thống kê các thể hiện hiệu quả, nhằm:
- Xác định khả năng xuất hiện của ngưỡng ứng suất σ i < σ ui < σi+1
đặc trưng bởi xác suất :
nu
P(σui ) = (1.5)
N
Trong đó : nu – Số lần xuất hiện của ứng suất trong khoảng [σi ,σi+1]
N – Số thể hiện mô phỏng xác suất (1.5) được tính cho mỗi phần tử
của công trình, nó thể hiện mức độ có thể xẩy ra ở ngưỡng ứng suất [σ i ,σ i+1].
Ứng suất trung bình được tính như là kỳ vọng cúa các σui :
∞
σ ui = ∑σ
i =1
ui P (σ ui ) (1.6)
- Phương sai Var(σ ui) đặc trưng cho mức độ tập trung quanh giá trị trung bình:
_____________________________________ -6-
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
∞
∑ (σ − σ m ) P (σ ui )
2
Var(σ ui) = ui (1.7)
i =1
- Độ lệch chuẩn σ:
σ = v ar (σ ui ) (1.8)
Các đại lượng P(σ ui ), Var(σui) và σ là kết quả xử lý thống kê cuối cùng của N thể
hiện và đóng vai trò chủ yếu trong đánh giá độ tin cậy của kết cấu sau này.
Phương pháp tính toán theo đường cong phổ đã được ứng dụng rộng rãi trong các
tiêu chuẩn qui phạm của các nước để xác định các lực động đất.
1.3.3. PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC.
Là phương pháp dựa vào các biểu đồ gia tốc ký thực tế của các trận động đất
đã xảy ra.
Phương pháp này sử dụng các phương trình vi phân dao động có vế phải là lực
gây ra các dao động cưỡng bức, được biểu thị bằng biểu đồ gia tốc ký của các
trận động đất đã xảy ra.
1.3.4. PHƯƠNG PHÁP NGẪU NHIÊN.
Trong những năm gần đây người ta còn dùng phương pháp ngẫu nhiên , là một
phương pháp hiện đại, đặt vấn đề ngẫu nhiên bài toán động lực kháng chấn, cho
phép suy nghĩ theo một cách mới trước một vài khía cạnh của vấn đề kháng chấn
và đánh giá được các phương án tính toán.
Đặc tính của các trận động đất đặt ra vấn đề phải chú ý đến hàng lọat yếu tố có
tính chất ngẫu nhiên của thiên nhiên .
Ở phương pháp này người ta nghiên cứu các hệ kết cấu chịu tác động của động
đất . Vật liệu trong kết cấu và động đất được xem là những yếu tố ngẫu nhiên
thay đổi theo thời gian .
Dao động của nền đất ở vùng có động đất phụ thuộc vào hàng loạt yếu tố ngẫu
nhiên như tính chất của quá trình ở chấn tiêu, khoảng cách đến chấn tâm v.v…
Trận động đất này khác các trận động đất tiếp sau. Điều đó dẫn đến ý định ứng
dụng các phương pháp thống kê và lý thuyết xác suất khi xác định tác động của
động đất.
Các hàm Ÿo(t) = Wo(t) và y(t) mô tả sự chuyển vị của nền đất và của kết cấu
đều là hàm ngẫu nhiên của thời gian.
Bài toán đặt ra là: xác định đặc tính xác suất của chuyển vị y(t) dựa trên các đặc
tính xác suất cho trước của chuyển vị nền đất.
Bài toán dao động động đất dẫn đến bài toán cơ bản của lý thuyết hàm ngẫu
nhiên bằng việc xây dựng các hàm ngẫu nhiên từ hàm đã cho.
Các dao động động đất tác động lên hệ có nhiều bậc tự do được xác định nhờ hệ
phương trình vi phân.
_____________________________________ -7-
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
Theo lý thuyết xác suất, điều cần thiết là phải xác định các đặc tính xác suất của
hàm yk(t), k = 1, 2, 3…n, theo các đặc tính của hàm Wo(t). Bài toán này tương tự
như bài toán về chuyển tiếp của hàm ngẫu nhiên, quan hệ tuyến tính. Khó khăn khi
áp dụng phương pháp này là ở chỗ các trận động đất mạnh ở mỗi địa điểm khác
nhau lặp lại thưa thớt trong số ít các biểu đồ gia tốc ghi được của nền đất đặc
biệt là các điều kiện như nhau đối với khoảng cách chấn tâm, đặc tính địa chất
công trình và địa chất thủy văn. . v.v… Các đặc tính xác suất của động đất còn
được nghiên cứu rất ít và chưa đủ tin cậy.
Tác động của động đất được xem xét theo nhiều cách khác nhau: qúa trình ngẫu
nhiên ổn định, quá trình ngẫu nhiên không ổn định, các quá trình tương quan delta
và các xung không tương quan của động đất tác động.
Qúa trình ngẫu nhiên không ổn định được trên các hệ của các hàm tương ứng
quan về tác động bên ngoài ở phương pháp này nhiều tác giả đã kiến nghị gia tốc
của nền đất biểu thị bằng phương trình :
Wo (t ) = ∑ Ak (t ) z k (t ) 1.9)
k
Trong đó : Ak(t) – hàm thời gian đã cho.
Zk(t) – hàm ngẫu nhiên ổn định.
Kết quả đúng dần thứ nhất chỉ lấy số hạng đầu tiên của dãy (hình 9-13)
Wo (t ) = A(t ) z (t ) (1.10)
Trong trường hợp này, quá trình ngẫu nhiên được cho với hàm bao A(t).
Giả thiết rằng các hàm A(t) và z(t) đều phụ thuộc vào số lượng hữu hạn các thông
số ngẫu nhiên như chiều sâu chấn tiêu, đặc tính năng lượng khoảng cách đến chấn
tâm, đặc tính của vỏ quả đất mà ở đó các sóng động đất đi qua và điều kiện địa
chất công trình v.v…Trên cơ sở của phương trình (1.10) ta có thể viết dưới dạng
sau:
Wo(t) = A(q1,q2,…qn,t)z (qr+1, qm, t) (1.11)
Gia tốc của nền đất có thể biểu thị như qúa trình ngẫu nhiên ổn định . Giả
thuyết về tính chất ổn định của tác động động đất được dựa vào các biểu đồ gia
tốc động đất của các trận động đất mạnh có các tung độ của đường bao và các tần
số dao động biến thiên tương đối nhỏ.
Hàm tương quan của gia tốc động đất của nền đất chỉ phụ thuộc vào hiệu số
của các thời gian tk và tk nghĩa là :
Ko(t1,t2) = ko(t1 – t2) = ko(∆t) (1.12)
Mật độ phổ của gia tốc của nền đất ghi tần số của tác động của động đất được
biểu thị bằng hàm tương quan theo phương pháp sau :
∞
Fo(ω ) = 2 ∫ k 0 (∆t ) cos ω∆tdω (1.13)
0
Các tính chất xác suất tác động của động đất được cho đầy đủ với hàm tương
quan ko (∆t). Hàm này có thể được tính gần đúng theo công thức :
_____________________________________ -8-
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
T
1
ko (∆t) ≈ ∫ Wo (t )Wo (t + ∆t )dt (1.16)
T 0
Trong đó : Wo(t) – gia tốc của nền đất theo biểu đồ gia tốc đo được bằng máy gia
tốc ký.
T – khoảng cách của biểu đồ gia tốc mà khoảng cách này phải kéo dài để thu nhận
các kết quả gần đúng tốt nhất.
Việc ứng dụng các vấn đề tương quan delta (âm tạp trắng) được gọi là quá trình
ngẫu nhiên, trong đó mật độ là cố định, còn hàm tương quan chỉ khác 0 tại điểm
thay thế tác động của động đất ổn định bằng một phương trình tương quan delta
được dựa vào các công trình thực tế và được đặc trưng bằng sự khuếch tán năng
lượng tương đối nhỏ và với đặc điểm này các dao động cưỡng bức tăng lên khi có
tần số gần với tần số riêng và tắt dần đối với các tần số khác.
Nói chung các phương pháp tính toán tương quan delta có cơ sở mật độ phổ của
hàm ổn định ban đầu.
Các phương pháp tính toán đó về mặt khối lượng của các thông tin ban đầu và sự
mô tả xác suất tác động của động đất đều như nhau.
Ưu điểm chủ yếu của phương pháp tương quan delta là ở chỗ đơn giản hóa các
quá trình tính toán và bỏ qua quá trình ngẫu nhiên, đưa đến hàm tuần hoàn sau :
Y(t) = A(t)cos[ω t + θ (t)] (1.17)
Trong đó : A(t) – biên độ dao động.
ω (t) – pha dao động
Người ta cho rằng , khi tính toán các công trình chịu động đất mà không phản ánh
các đặc tính của chế độ địa chấn của khu vực và điều kiện địa chất công trình thì
bài toán đó là hoàn toàn không hợp lý.
Vì vậy đối với mỗi khu vực, chúng ta cần thiết lập đặc tính xác suất về động
đất của từng khu vực bằng các máy đo địa chấn.
Nhưng việc thu thập các thông tin xác suất chính xác về tính chất tác động của
động đất là bài toán khó, chính vì vậy mà việc ứng dụng phương pháp ngẫu nhiên
vào thực tế còn rất hạn chế .
_____________________________________ -9-
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
CHƯƠNG II
PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG HỌC TÍNH TOÁN
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT-BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT- ĐÁ
2.1 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC.
2.1.1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT
Cơ sở để giải bài toán về trạng thái ứng suất -biến dạng bằng phương pháp
phần tử hữu hạn là lý thuyết dao động .
Điều kiện cân bằng động học đối với hệ có một bậc tự do có dạng :
f1 + fD + fS = P(t) (2.1)
Ở đây :
f1 – Là lực quán tính
fD – Lực cản nhớt
fS – Lực đàn hồi
P(t) - là véctơ ngoại lực cưỡng bức như là một hàm số của thời gian.
Như đã thấy từ (2.1), lực P(t) bao gồm trong nó các lực khác nhau đặt lên vật
thể: lực kháng đàn hồi, hướng ngược với chuyển vị, các lực cản (tắt dần), ngược
với chuyển vị (tốc độ), tải trọng ngoài độc lập. Nếu đưa vào lực quán tính, cản gia
tốc, thì chúng ta nhận được phương trình chuyển động biểu diễn sự cân bằng của
tất cả các lực. Phù hợp với nguyên lý Dalambe (khối lượng m gây ra lực quán tính,
tỷ lệ với gia tốc của nó và hướng ngược với gia tốc) có thể trình bày ngoại lực
như sau :
P(t) = - m. r g (t) (2.2)
Ở đây rg(t) – Là vectơ dịch chuyển của nền khi f 1 = m. ; fD = c. r, fS = Kr thì
r
(2.1) có dạng :
m + cr + kr = − mrg (t )
r (2.3)
Ở đây : c – hằng số cản (tắt dần) ; k = độ cứng.
r – véctơ dịch chuyển (độ võng ) của kết cấu tương ứng với nền
Dấu âm ở vế trái phải của phương trình chỉ ra rằng tải trọng hướng ngược
chiều với gia tốc của động đất. Khi có tác động động đất dấu này thực tế không
có ý nghĩa, bởi vì người ta giả thiết rằng tác động động đất có hướng tùy ý.
2.1.2 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG DẠNG MA TRẬN.
_____________________________________ - 10 -
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
Sử dụng (2.3) (phương trình vi phân chung của chuyển động vơí lực cản trong
dạng ma trận đối với hệ có nhiều bậc tự do) và khai triển véctơ dịch chuyển của
nền theo các toạ độ, chúng ta nhận được :
[M]{ }+ [C]{ r} + [K]{K}{r} =- -{Ex}. g (t) - {Ey}. g ( t ) - {Ez}. g (t)
x y z
r u u u (2.4)
Ở đây : [M] – Là các ma trận khối lượng
[C] – Ma trận các hệ số tắt dần
[K] – Ma trận độ cứng giống như trong bài toán tĩnh
[r] – Là véc tơ chuyển vị của các điểm nút tương ứng với nền
[Ex] – Là ma trận cột của khối lượng theo phương x
[Ey] – Ma trận cột của khối lượng theo phương y
[Ez] – Ma trận cột của khối lượng theo phương z
g (t) , g ( t ) , g ( t ) - tương ứng với các thành phần nằm ngang (x), thẳng đứng
u x
uy uz
(y) và nằm ngang (z) của gia tốc nền khi có tác động động đất. Các giá trị này
được lấy từ các biểu đồ gia tốc ghi bằng máy gia tốc ký của các trận động đất
thực tế đã xẩy ra.
Trong trường hợp chung có thể xem (2.1) như là sự miêu tả ma trận véctơ của
các phương trình cân bằng động học đối với trường hợp của hệ với nhiều bậc tự
do.
Phương trình chuyển động của các dao động tự do không có lực cản có dạng :
[M]{ } + [K]{r} = 0
r (2.5)
Khi nghiên cứu các dao động của hệ với các thông số được phân bố (khối lượng
và biến dạng) có thể sử dụng phương pháp gần đúng , trên cơ sở cho hình dạng
của hệ khi nó chuyển động .Nếu hệ dao động ổn định (ở đây hệ như vậy được
nghiên cứu), thì lời giải riêng của các phương trình vi phân (2.5) sẽ có dạng :
r1 = A1sin (ω t + α)
r2 = A2sin (ω t + α) (2.6)
...............
rn = Ansin (ω t + α)
Thay (2.6) và (2.5) , chúng ta nhận được hệ phương trình đại số tương ứng với
các biên độ dạng :
- A1ω 2m11 - A2ω 2m12 - . . . . . - Anω 2m1n + A1K11 + A2K12 + . . . . + AnK1n = 0
- A1ω 2m21 - A2ω 2m22 - . . . . . - Anω 2m2n + A1K21 + A2K22 + . . . . + AnK2n = 0
.................................. .................... . (2.7)
- A1ω mn1 - A2ω mn2 - . . . . . - Anω mnn + A1Kn1 + A2Kn2 + . . . . + AnKnn = 0
2 2 2
Lời giải tầm thường của hệ phương trình đại số sẽ có khi có điều kiện A 1 = A2
= . ..An = 0, nghĩa là khi không có dao động. Chúng ta quan tâm đến lời giải không
tầm thường, bởi vì hệ đang dao động. Trong trường hợp này định thức sau cần
phải bằng 0.
k11 – m11ω 2 k12 - m12ω 2 ...... . k1n - m1nω 2
k11 – m11ω 2 k12 - m12ω 2 ...... . k1n - m1nω 2
_____________________________________ - 11 -
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
...... . ...... . ...... . ...... . = 0 (2.8)
...... . ...... . ...... . ...... .
kn1 - mn1ω 2 kn2 - mn2ω 2 ...... . knn - mnnω 2
Sau khi khai triển định thức , chúng ta nhận được một định thức bậc n (
ω1 ,ω 2 ,.ω 2 ). Các tần số , phân bố theo thứ tự lớn dần ( ω 2 < ω 2 [ri(t)] = [Xi] {yi(t)] = [xi]sin(ω it +2) (2.13)
Thay (2.13) vào (2.12), chúng ta nhận được dạng thứ i tương ứng .
1
{ xi } − [k ]−1 [ M ]{xi } = 0 (2.14)
ω 2
Sau khi ký hiệu ω i2 = λ i chúng ta nhận được phương trình đặc tính .
{xi} = λ i[H]{xi} (2.15)
Nếu trong phương trình (2.3) phần phải bằng 0, thì để tính sự tắt dần (cản) của
quá trình dao động, lời giải của phương trình này thuận lợi nhất là xem xét xuất
phát từ việc nghiên cứu năng lượng trong quá trình dao động.
Có thể coi rằng ri(t) = Bcos(ω it + α), thế năng trong một thời điểm bất kỳ của
chuyển động dao động bằng :
K .r 2 (t )
U[r(t)] =
2
Bởi vì lực đàn hồi bằng k.r(t), độ cao nâng lên trung bình là r(t)/2 và :
k .Bi2
U .[r (t )] = cos 2 (ω i t + α ) (2.16)
2
Động năng của dao động :
m.v 2 m m.B 2 2
K (t ) = = [− Bω i sin(ωt + α )] 2 = ω i sin 2 (ω i t + α ) (2.17)
2 2 2
Nếu giả thiết rằng khi tắt dần ω = ω 1, thì :
K k .B 2
ω2 = và K (t ) = . sin 2 (ω i t + α )
m 2
Năng lượng toàn phần :
kB 2 kB 2
U [r (t )] + k (t ) = [sin 2 (ω i t + α ) + cos 2 (ωt + α )] = (2.18)
2 2
Nếu giả thiết rằng lực ma sát tỷ lệ với vận tốc và hướng ngược với chuyển động
của dao động, thì :
dr (t )
Ft = - CV , ở đây: : v= = − Bω sin(ωt + α )
dt
Khi đó xung của lực ma sát là :
Ft = - CV2 = - C.B2ω 2sin2(ω t + α)
Các lực này bằng sự thay đổi số lượng chuyển động theo thời gian vì ma sát :
d k .B 2 dB C.B 2 .ω 2
= k .B = −CB 2 .ω 2 . sin 2 (ωt + α ) = - (2.19)
dt 2
dt 2
Bởi vì giá trị trung bình sin2x trong một chu kỳ bằng 1/2.
Giả sử y = sin2x khi sự thay đổi của x từ 0 đến ∞ , khi đó giá trị trung bình :
1 − cos 2 x 1 1 1
sin 2 x = = − cos 2 x =
2 2 2 2
Bởi vì giá trị trung bình của cos2x = 0.
Do đó , áp dụng định lý về sự trung bình :
_____________________________________ - 13 -
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
b b
y(0,b) = ∫0
cos xdx
=
sin ∫
0
=
sin b (2.20)
b−0 b−0 b
Giá trị cực đại có thể có được của tử số khi b → ∞, sinb không vượt quá 1, còn
mẫu số tiến tới ∞, nghĩa là y (0,b) -> 0.
dB C.ω 2 dB C.ω 2
Bây giờ : =− B vaø =− dt
dt 2k B 2.k
Do đó :
c.ω 2
B = B0 .e − 2 k .t = Bo e −h.t (2.21)
c.ω 2 k c
Ở đây : h= ; ω2 = ; h=
2k m 2.m
Bằng cách như vậy , lời giải riêng có thể tìm được trong dạng r = e -h.c ; Bo
được tìm từ điều kiện ban đầu .
Nếu trong phương trình một bậc tự do với hệ số tắt dần :
m.(t ) + c.r (t ) + k .r = 0
r (2.22)
Chúng ta thay lời giải riêng vào, thì nhận được :
(m.h2 - c.h + k).e-ht = 0 (2.23)
Tồn tại hai giá trị h, thoả mãn phương trình (2.23)
2
c c k
h1, 2 =
± − (2.24)
2.m 2m m
c h
Khi các giá trị lớn của C chúng ta có khi >
2m m
Các giá trị thực h1 và h2. Khi C nhỏ thường xảy ra trong đa số trường hợp, bao gồm
cả công trình bằng đất đá , h có thể có giá trị phức.
2.1.3. HỆ SỐ TẮT DẦN :
Hệ số tắt dần (hệ số cản) C mà ở giá trị đó có bước quá độ từ giá trị thực đến
giá trị phức, được gọi là hệ số tắt dần tiêu chuẩn và ký hiệu là Cc :
Cc k
= =ω ; Cc = 2mω (2.25)
2m m
Nếu chúng ta biểu diễn hệ số tắt dần thực theo đơn vị hệ số tắt dần chuẩn, thì :
c
ξ= vaø C = ξCc = 2ξ.mω (2.26)
Cc
Chúng ta sẽ biểu diễn h1,2 qua hệ số tắt dần theo quan hệ vơi chuẩn ξ..
h1, 2 = ξω ± (ξ .ω ) 2 − ω 2 = ξ .ω ± i 1 − ξ .ω (2.27)
Khi coi rằng 1 − ξ . = ω D - là tần số biến dạng có thể viết trong dạng :
ω
_____________________________________ - 14 -
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
h1,2 = ξ.ω ± iω D (2.28)
Bây giờ lời giải chung sẽ có dạng :
ξω t-iω ξω t+iω ξω ω ω
r(t) = B1.e- Dt + B2.e- Dt = e- t(B1e-i Dt + B2.ei Dt) (2.29)
Ở đây B1 và B2 – Là các biên độ ban đầu của dao động . Biểu thức trong dấu
ngoặc miêu tả dao động điều hoà đơn giản và sau khi xác định từ các điều kiện
ban đầu
π 2π 3π
hằng số trở thành đồng nhất theo môdun đơn vị khi t = 0 ; ω ; ω ; ω v.v . . .
D D D
Điều đó rõ ràng là nếu biểu thức trong dấu ngoặc được hình dung như một
dạng lượng giác của số phức (phương trình Ơle) , còn B1 và B2 - như một số phức
liên hợp
B1 = A + iB ; B2 = A − i.B .
Vậy thì , sau khi thực hiện các biến đổi tương ứng , chúng ta nhận được:
ξω
r(t) = e- t(Asinω Dt + Bsinω Dt) (2.30)
Ở đây các hằng số A và B được tìm từ các điều kiện ban đầu khi t → 0. Rõ ràng
rằng khi t = 0
r (0) + r (0)ξω
A= , coøn B = r (0). Khi đó :
ωD
r (0) + r (0)ξω
r (t ) = e −ξωt sin ω D t + ν (0) cos ω D t (2.31)
ωD
Bằng cách như vậy, lời giải chung của phương trình (2.22) miêu tả dao động tắt
dần với tần số không đổi ω D, nhưng với sự giảm dần độ lệch lớn nhất, mà các độ
lệch đó, có thể được gọi là các biên độ.
Dãy lệch các biên độ cực đại tuân theo quy luật của đường tiệm cận.
ξω t
r(t) : r (t + T) = e (2.32)
Ở đây T – Chu kỳ dao động, là thời gian giữa hai độ lệch cực đại kề nhau hoặc
là thời gian, mà trong khoảng thời gian đó vật (hoặc chất điểm được nghiên cứu
bên trong vật) quay trở về vị trí xuất phát. Trong chu kỳ T đối số sin và cosin thay
đổi một góc là 2π, từ đó :
2π
ω D (t + T) = ω .Dt + 2π Tiếp theo T = ω
D
Quan hệ lôgarit tự nhiên r (t) : r (t + T) là quan hệ lôgarít giảm :
r (t ) ω
δ = ln = ξωT = 2πξ (2.33)
r (t + T ) ωD
Khi tính ω D = ω 1 − ξ 2 chúng ta nhận được :
1
δ = 2πξ (2.34)
1−ξ 2
_____________________________________ - 15 -
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
Khi ξ có các giá trị bé (bé có thể xem khi ξ ≤ 0,2, thì phù hợp với đa số các vật liệu
trong những điều kiện bình thừơng kể cả đất đá) có thể áp dụng :
δ = 2πξ (2.35)
Bây giờ quan hệ (2.33) có thể trình bày trong dạng chuỗi :
r (t ) 2πξ (2πξ ) 2
= e = 1 + 2πξ + + .... (2.36)
r (t + T ) 2!
Nếu sử dụng hai số hạng đầu tiên của chuỗi thì cũng đủ khi (tương đối nhỏ),
chúng ta nhận được:
r (t ) − r (t + T )
ξ= (2.37)
2πr (t + T )
Bằng cách như vậy hệ số tắt dần được xác định một cách gần đúng .
r (t ) 2πξ
ω
ωD
So với lời giải chính xác =e sai số trong việc xác định ξ khi ξ = 0,2
r (t + T )
ξ c. x
là :. = 0.62
ξ gd
(2.38)
Nghĩa là ξ chinhxác = 0,124, với sự giảm của ξ thì sai số giảm thực tế theo quy luật
tuyến tính. điều này cần lưu ý khi xác định bằng thực nghiệm hệ số tắt dần.
Khi ξ nhỏ có thể áp dụng ω = ω D và (2.31) được biến đổi đến một dạng mới .
Khi ω D > ω quá trình dao động xảy ra với tần số ω D tương ứng với trạng thái cân
bằng (hình 4.1) . Khi ω D = ω quá trình dao động sẽ xảy ra với tần số ω .
Bước chuyển đến hệ với nhiều bậc tự do được thực hiện nhờ việc trình bày
ma trận với các trị số khác nhau. Vậy ma trận các hệ số tắt dần phù hợp với (2.26)
sẽ áp dụng dạng 2 [ξ.ω ][M].
Thay (2.12) vào (2.4). Từ lý thuyết dao động đã biết thì :
[K] [M]-1 = D (() ; [C] [M]-1 = 2{ξ iω i}
M* = {Xi}T [M] {Xi} (2.39)
x y y z z
Pn*(t) = – {Xn}T {Ex} U g (t ) − { X n } {E }U g (t ) − { X n } {E }U g (t )
T T
Bởi vì các số hạng bên ngoài đường chéo:
{Xi}[M]{Xj} khi i ≠ j
do tính chất trực giao của các véctơ riêng bằng không (= 0), phương trình ma trận
(2.4) có thể được trình bày bằng một hệ phương trình vi phân độc lập (tức các
phương trình trong hệ đó không phụ thuộc vào nhau). Tương ứng với dạng thứ n-i
chúng ta nhận được phương trình :
P *( )
t
( )+ 2ξ n ω n y( )+ ω 2 y( )= n
yt t n t (2.40)
M *
n
_____________________________________ - 16 -
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
Việc giải phương trình (2.40) có thể được thực hiện bằng nhiều phương pháp
khác nhau , nói riêng có thể bằng phương pháp Runge - Kuta.
2.1.4 HÌNH THÀNH MA TRẬN KHỐI.
Trong phương trình (2.40) khối lượng của hệ được đưa vào bằng hai cách : ma
trận riêng của khối lượng [M] của hệ và ma trận cột {Ex}, {Ey} và {Ez} - là ma
trận gây ra lực quán tính , ngoài ra ma trận khối lượng đưa vào phương trình đặc
tính (2.11), mà từ phương trình này phải nhận được các dạng và tần số riêng (các
vectơ và các trị riêng) của dao động . Ma trận khối lượng cột - bằng cách xác định
thiết lập hệ, tạo ra tải trọng quán tính.
Chúng ta sẽ sử dụng việc chia phần tử ra các phần tử tam giác tuong tự như điều
đó đã được thực hiện khi giải bài toán tĩnh bằng phương pháp PTHH. Nếu ký hiệu
các khối lượng , tập trung ở các điểm nút qua M1, M2, M3 . . . Mn , ở đây :
1 m 1 m
Mn = ∑
3 i
M∆ cho bài toán phẳng; M n = ∑ M∆ cho bài toán không gian
6 i
M∆ – Khối lượng của phần tử phẳng hoặc không gian, m - số phần tử bao quanh
điểm nghiên cứu và n là số điểm nút), thì với việc tính rằng khối lượng tập trung
có quán tính như nhau khi có thành phần gia tốc nằm ngang và thẳng đứng, ma trận
cột khối lượng cho phần tử không gian sẽ có dạng :
Các ma trận cột của khối lượng có dạng :
[Ex]T = [M1 0 0 M2 0 0 M3 0 0 . . . . Mn 0 0 ]
[Ey]T = [ 0 M1 0 0 M2 0 0 M3 0 . . . . 0 Mn 0 ] (2.41)
[Ez]T = [ 0 0 M1 0 0 M2 0 0 M3 . . . . 0 0 Mn]
Trong đó ma trận khối lượng Mi ( i = 1,1,3….. 18 ) tương ứng với phần tử lăng
tru không gian có 6 điểm nút ( 6 x 3 = 18) có dạng :
Ma trận khối lượng Mi cho phần tử không gian có thể được hình thành theo hai
dạng:
1. Theo cách tương tự như đã trình bày đối với ma trận cột, ma trận khối lượng
của phần tử lăng trụ tam giác nào đó sẽ có dạng :
1 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 018
0 1 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 018
Mi = mi . 1. . . . . . . . . . . (2.42)
6 . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
018 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 118,18
_____________________________________ - 17 -
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
Ma trận khối lượng đầy đủ được hình thành bằng cách cộng trong các điểm nút
các thành phần như nhau của khối lượng từ các phần tử (2.42), bao quanh điểm
nút. Phương pháp này của sự phân bố khối lượng chung là phổ biến nhất .
2. Thiết lập ma trận khối lượng của một phần tử, được soạn thảo bởi Zenkêvich,
dựa trên nguyên tắc tạo nên một hệ các khối lượng tập trung, mà các khối lượng
đó tương đương và khối lượng phân bố của phần tử (thực) và cuối cùng chúng ta
sẽ cho dạng hữu hạn của ma trận như vậy (ma trận khối lượng của một phần tử).
1
0
1
0
1
0
1 . . . 1
0
1
018
2 4 4 4 4 4
0 1 0 1 0 1 0 . . . 0 1 0 1
2 4 4 4 4
. 1 . . . . . . . . . .
2
Mi = Mi . . 1 . . . . . . . (2.4
6 2 3)
.. . . . . . . . . . . . .
1 0 1 0 1 0 1 . . . 1 0 1 0
2 4 4 4 4 4
018
1
0
1
0
1
0 . . . 0 0 0
1
4 4 4 2
Việc hình thành ma trận khối lượng chung của hệ được thực hiện như hình
thành ma trận đường chéo khối lượng (2.42).
Tiếp theo, chúng ta lưu ý rằng khi sử dụng các phân tử tam giác phẳng trong bài
toán biến dạng phẳng việc sử dụng các ma trận khối lượng phân bố tăng độ chính
xác của lời giải bài toán gần đến 20%.
2.1. 5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TÍNH
Giải phương trình đặc tính (2.15) có thể thực hiện bằng nhiều phương pháp khác
nhau. Ưu việt nhất đối với bài toán đã cho là phương pháp Svarsa - phương pháp
cho phép tìm số cho trước các véctơ riêng và trị riêng thấp nhất của các dao động
bản thân . Nhưng phương pháp này chỉ có thể được áp dụng hiệu quả khi giải các
bài toán yêu cầu một số hạn chế các trị riêng và véctơ riêng của dao động bản thân.
Phương pháp Svarsa giả thiết là nếu [H] – ma trận đối xứng, thì nó sẽ trở thành
không đối xứng khi sử dụng (2.43). Chúng ta chuyển ma trận [H] đến dạng đối
xứng , sau khi trình bày ma trận [K] trong dạng tích của hai ma trận tam giác :
[K] = [L] [L]T (2.44)
Ở đây [K] – là ma trận độ cứng, được thiết lập tương tựï như trong các bài toán
tĩnh . [L] – là ma trận tam giác (suy từ) ma trận [K]
λ i = ω i (ω – là tần số góc của dao động theo dạng thứ i)
2
Việc biến đổi [L] từ [K] được thực hiện bằng phương pháp căn bậc 2 nhờ các
công thức truy toán liên tiếp (l – là các phần tử của ma trận L).
_____________________________________ - 18 -
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất
l11 = k11/ 2
1
k1i
li1 = l
11
1/ 2
i −1
2
lii = k ii − ∑ lim (2.45)
m =1
i −1
k ij − ∑ lim l jm
lij = m =1 , 1 Quá trình được lặp lại cho đến khi nhận được số lượng dạng (véctơ) cần thiết .
Sau khi tìm được số lượng cần thiết các véctơ, chúng ta lại quay về phương trình
đặc tính ban đầu (2.15) phù hợp với (2.45).
xi = [ LT ] −1{xi } (2.50)
Việc tìm ma trận ngược từ ma trận tam giác [L] được thực hiện trên cơ sở hai
công thức truy toán nhận được từ việc xác định ma trận ngược. Chúng ta ký hiệu
các phần tử của ma trận [L] là lij , còn các phần tử của ma trận ngược là rij :
1
rij = l
ii
m= J
∑l r
im mj
; i≠ J (2.51)
rij = − m =i +1
lij
Phương trình chuyển động (2.4) giả thiết rằng tất cả các điểm của công trình
trong cùng một thời điểm có gia tốc như nhau, thì như đã chỉ ra ở trên là có thể
chấp nhận được khi khoảng cách của công trình nhỏ so với chiều dài sóng hay khi
tốc độ lan truyền sóng trong nền là rất lớn.
Các đập đất đá khi chiều cao 300 – 350 m có khoảng cách theo nền 1200 – 1700
m, thì khi tốc độ lan truyền sóng dọc của động đất thậm chí đến 6000 m/s (ví dụ,
nếu trong nền có các nham thạch phun trào không nứt nẻ như đá gơnai, granít. . . .)
cần (0,3 giây để sóng chạy qua.
2.1.6 TÍNH TOÁN “ SÓNG CHẢY"
Việc tính toán tốc độ lan truyền sóng trong nền cần phải được xem xét khi giải
bài toán theo sơ đồ không tường minh.
Phương trình chuyển động với việc tính tốc độ lan truyền sóng trong nền công
trình dọc theo trục x có dạng :
Nb
[ M ]{} + [C ]{r} + [ K ]{r} = −∑ [ M ]{b2 k −1 }sb2 k −1
r r, (2.52)
k =1
x
Ở đây : rsb2 k −1 = U x [t − k ]
,
V
Nb – Số điểm nút trong vùng tiếp xúc với nền.
xk – Hoành độ của nút thứ K trong nền đập .
V – Tốc độ lan truyền sóng động đất trong nền đập.
{b2k-1} – Véctơ ảnh hưởng , tức là véctơ chuyển vị của các điểm nút trong đập
khi có chuyển vị của nút thứ k của nền theo hướng x là -1. Tất cả các dịch chuyển
nằm ngang có số lẻ thì được thể hiện bằng một ký hiệu .
Nb
{r} = ∑{b
k =1
2 k −1 }rsb, 2 k −1
{rs} – là véctơ dịch chuyển của các điểm nút của miền được nghiên cứu . Thành
phần gia tốc thẳng đứng dọc trục y trong trường hợp đã cho không tính, bởi vì sự
_____________________________________ - 20 -
Đập vật liệu địa phương – Tính toán tải trọng động đất