-118-
Ch−¬ng 9
ChuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n quanh mét ®iÓm cè ®Þnh
- chuyÓn ®éng tæng qu¸t cña vËt r¾n
9.1. ChuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n quanh mét ®iÓm cè ®Þnh
9.1.1 §Þnh nghÜa
ChuyÓn ®éng cña vËt r¾n cã mét ®iÓm lu«n lu«n cè ®Þnh ®−îc gäi lµ
chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh
ThÝ dô: Con quay t¹i chç, b¸nh ∆
xe «t« chuyÓn ®éng khi «t« l¸i trªn ∆
®−êng vßng; c¸nh qu¹t cña m¸y bay
r ω
khi m¸y bay l−în vßng .v ω
M« h×nh nghiªn cøu vËt r¾n
chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm O O
cè ®Þnh biÓu diÔn trªn h×nh 9.1.
H×nh 9 - 1
9.1.2 Th«ng sè ®Þnh vÞ.
VËt r¾n quay quanh mét ®iÓm cè
®Þnh cã thÓ biÓu diÔn b»ng tiÕt diÖn( S)
cña vËt quay quanh ®iÓm O ( h×nh 9.2 ).
1
TiÕt diÖn nµy kh«ng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh
O vµ chuyÓn ®éng trong hÖ to¹ ®é cè θ y1
0
®Þnh Oxyz. §Ó x¸c ®Þnh th«ng sè ®Þnh vÞ
Π y
cña vËt ta dùng trôc oz, vu«ng gãc víi
N ψ ϕ
tiÕt diÖn (S). Dùng mÆt ph¼ng π chøa hai x
x1
trôc oz vµ oz1 . MÆt ph¼ng nµy c¾t mÆt N
ph¼ng oxy theo ®−êng OD. VÏ ®−êng
H×nh 9-2
th¼ng ON vu«ng gãc víi mÆt
-119-
π
ph¼ng π khi ®ã cã gãc DON = . §−êng ON n»m trong mÆt ph¼ng Oxy
2
vµ gäi lµ ®−êng mót.
§Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña vËt trong hÖ to¹ ®é oxyz tr−íc hÕt ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc vÞ
trÝ cña trôc oz1, nghÜa lµ ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc c¸c gãc θ vµ α. TiÕp theo ph¶i x¸c
®Þnh ®−îc vÞ trÝ cña vËt so víi trôc oz1 nghÜa lµ ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc vÞ trÝ cña nã
so víi mÆt ph¼ng ONz1, nhê gãc ϕ= NIA. Nh− vËy ta cã thÓ chän ba gãc ϕ, α vµ
θ lµ ba th«ng sè ®Þnh vÞ cña vËt., ë ®©y gãc α cßn cã thÓ thay thÕ b»ng gãc ψ =
π
−α.
2
Ba gãc ϕ, ψ, θ gäi lµ 3 gãc ¥le.
Gãc ϕ gäi lµ gãc quay riªng; gãc ψ gäi lµ gãc tiÕn ®éng vµ gãc θ gäi lµ
gãc ch−¬ng ®éng.
9.1.2.2. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
Trong qóa tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt c¸c gãc ¬le thay ®æi theo thêi gian v×
thÕ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh cã
d¹ng:
ϕ= ϕ (t).
ψ= ψ(t). (9.1 )
θ= θ( t).
C¨n cø vµo kÕt qu¶ trªn cã thÓ ph¸t biÓu c¸c hÖ qu¶ vÒ sù tæng hîp vµ
ph©n tÝch chuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh nh− sau:
HÖ qu¶ 9. 1: ChuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh 1 ®iÓm cè ®Þnh bao giê
còng cã thÓ ph©n tÝch thµnh ba chuyÓn ®éng quay thµnh phÇn quanh ba trôc giao
nhau t¹i ®iÓm cè ®Þnh O. C¸c chuyÓn ®éng ®ã lµ: chuyÓn ®éng quau riªng quanh
trôc Oz1 víi ph−¬ng tr×nh ϕ = ϕ( t); ChuyÓn ®éng quay ch−¬ng ®éng quanh trôc
ON víi ph−¬ng tr×nh θ = θ( t) vµ chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng quanh trôc Oz víi
-120-
ph−¬ng tr×nh ψ = ψ(t).
HÖ qu¶ 9.2: Tæng hîp hai hay nhiÒu chuyÓn ®éng quay quanh c¸c trôc
giao nhau t¹i mét ®iÓm lµ mét chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh ®ã.
9.1.2.3. VËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña vËt.
- VËn tèc gãc.
Gäi vËn tèc gãc cña c¸c chuyÓn ®éng quay riªng, quay tiÕn ®éng vµ quay
ch−¬g ®éng lÇn l−ît lµ ϖ1, ϖ2 vµ ϖ3 ta cã:
ϖ 1= ϕ ; ϖ 2 = ψ ;
& & &
ϖ3 = θ
Theo hÖ qu¶ 9.2 dÔ dµng suy ra vËn tèc gãc tæng hîp ϖ cña vËt
ϖ= ϖ1 + ϖ2 + ϖ3 (9.2).
V× c¸c vect¬ ϖ1, ϖ2, ϖ3 thay ®æi theo thêi gian nªn ϖ còng lµ vect¬ thay
®æi theo thêi gian c¶ vÒ ®é lín lÉn ph−¬ng chiÒu.
Nh− vËy vect¬ ϖ lµ
vect¬ vËn tèc gãc tøc thêi
T¹i mét thêi ®iÓm cã thÓ ω3
xem chuyÓn ®éng cña vËt 1
ω1
r¾n quay quanh mét ®iÓm ∆
θ
ω
cè ®Þnh nh− lµ mét chuyÓn 0
y
®éng quay tøc thêi víi vËn
tèc gãc ϖ quanh trôc quay x ψ
tøc thêi ∆ ®i qua mét ®iÓm ω2
N
cè ®Þnh O.( h×nh 9.3).
- Gia tèc gãc: H×nh 9-3
Gäi gia tèc gãc tuyÖt ®èi ε cña vËt ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt
r
theo thêi gian cña vÐc t¬ ω
-121-
N
r d r .
ε = ω= ω (9.3) ω ω2
dt ε ω1
VÒ ph−¬ng diÖn h×nh häc cã thÓ x¸c ®Þnh
r
vÐc t¬ ε nh− lµ vÐc t¬ vËn tèc cña ®iÓm ®Çu N
vÐc t¬ vËn tèc gãc ω (h×nh 9.4).
XÐt tr−êng hîp ®Æc biÖt chuyÓn ®éng quay 0 ε
tiÕn ®éng ®Òu.
H×nh 9-4
ChuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh 1
®iÓm cè ®Þnh cã chuyÓn ®éng quay riªng vµ chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng lµ ®Òu
cßn chuyÓn ®éng quay ch−¬ng ®éng kh«ng cã , nghÜa lµ ϖ1 = const ; ϖ2 = const;
ϖ3 = 0
Tr−êng hîp ®Æc biÖt nµy gäi lµ chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng ®Òu.
Trong tr−êng hîp chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng ®Òu vËn tèc gãc ®−îc x¸c
®Þnh:
ϖ = ϖ1+ϖ2 = ϖr+ ϖe (9.4)
Vµ gia tèc gãc:
ε = VN víi N lµ ®iÓm mót cña ϖ.
Nh−ng ë ®©y theo h×nh vÏ 9.4 h×nh b×nh hµnh vËn tèc gãc ®−îc g¾n víi
mÆt ph¼ng π ( Oz vµ Oz1) vµ quay quanh Oz víi vËn tèc ϖ2( ϖe).
Do ®ã :
VN= ϖe x ON = ϖe x ϖ = ϖe x ( ϖe x ϖr) = ϖe x ϖr
nghÜa lµ trong tr−êng hîp chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng ®Òu th×:
ε = ϖe x ϖr = ϖ2 x ϖ (9.5).
-122-
9.1.3. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña mét ®iÓm trªn vËt
9.1.3.1. Quü ®¹o chuyÓn ®éng cña ®iÓm
Khi vËt chuyÓn ®éng, v× mäi ®iÓm cã kho¶ng c¸ch tíi ®iÓm O cè ®Þnh lµ
kh«ng ®æi v× thÕ quü ®¹o cña chóng lu«n n»m trªn mét mÆt cÇu cã t©m lµ O vµ
b¸n kÝnh b»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm kh¶o s¸t tíi ®iÓm cè ®Þnh O. ChÝnh v× thÕ
ng−êi ta cßn gäi chuyÓn ®éng quay cña mét vËt quanh mét ®iÓm cè ®Þnh lµ
chuyÓn ®éng cÇu.
9.1.3.2. VËn tèc cña ®iÓm
XÐt ®iÓm M trªn vËt. T¹i mét thêi ®iÓm vËt cã chuyÓn ®éng quay tøc thêi
r
víi vËn tèc gãc ω quanh trôc quay thøc
thêi ∆ ®i qua O v× thÕ vËn tèc cña ®iÓm M ∆
cã thÓ x¸c ®Þnh theo biÓu thøc:
r r ω
VM = ω × OM (9.6) vM
h
r
VÐc t¬ VM h−íng vu«ng gãc víi M
α
mÆt ph¼ng chøa trôc ∆ vµ ®iÓm M vµ cã r
®é lín VM = ω.h. Trong ®ã h lµ kho¶ng 0
c¸ch tõ ®iÓm kh¶o s¸t M ®Õn trôc quay
H×nh 9-5
tøc thêi ∆ (h×nh 9.5).
9.1.3.3. Gia tèc cña ®iÓm ∆
Gia tèc cña ®iÓm M trªn vËt
ω
r¾n quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh
Wω h M
®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: H
r
α Wε
WM =
d
dt
d r
(
VM = . ω × OM
dt
) 0
h1
ε
r
r d dω
= ω × OM + × OM H×nh 9-6
dt dt
-123-
r r r
= ω × V + ε M × OM
r r
§Æt ω × VM = WωM vµ ε × OM = WεM
Cuèi cïng ta ®−îc :
WM = WωM + WεM (9.7)
Trong ®ã: WωM h−íng tõ M vÒ H vµ cã ®é lín WωM = h.ω2; WεM h−íng
r
vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa vÐc t¬ ε vµ ®iÓm M cã ®é lín WεM = h1. ε. Víi h1
lµ kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M tíi vÐct¬ ε .
Chó ý: VÒ h×nh thøc c¸c vÐc t¬ WωM vµ WεM gièng nh− gia tèc ph¸p
tuyÕn W nM vµ gia tèc tiÕp tuyÕn WτM cña ®iÓm M khi nã quay quanh trôc ∆ cè
r
®Þnh nh−ng thùc chÊt lµ chóng kh¸c nhau v× ë ®©y hai vÐc t¬ ω vµ ε kh«ng
trïng ph−¬ng nh− trong chuyÓn ®éng quay quanh mét trôc cè ®Þnh.
ThÝ dô 9.1: Kh¶o s¸t
chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng ®Òu
ωe
cña con quay cã hai bËc tù do
cho trªn h×nh vÏ (h×nh 9 -7). Cho
ω α
biÕt chuyÓn ®éng quay t−¬ng ®èi 0
cña con quay quanh trôc Oz, cã ε
1 ωr
vËn tèc gãc ωr = 200π. vµ 1
s
chuyÓn ®éng quay kÐo theo cña
trôc Oz1 quanh trôc Oz cã vËn H×nh 9-7
1
tèc gãc ωC = 2 π . Hai trôc Oz vµ Oz1 hîp víi nhau mét gãc α = 300. T×m vËn
S
tèc gãc vµ gia tèc gãc cña con quay.
Bµi gi¶i:
ChuyÓn ®éng cña con quay lµ tæng hîp cña 2 chuyÓn ®æng t−¬ng ®èi vµ
kÐo theo . Hai chuyÓn ®éng nµy lµ c¸c chuyÓn ®éng quay quanh hai trôc c¾t nhau
-124-
t¹i mét ®iÓm O cè ®Þnh. Nh− vËy chuyÓn ®éng cña con quay lµ chuyÓn ®éng
quay quanh ®iÓm O cè ®Þnh. ë ®©y chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi víi vËn tèc gãc ω r lµ
r r
chuyÓn ®éng quay riªng ω 1 = ω r; cßn chuyÓn ®éng kÐo theo víi vËn tèc ϖ lµ
chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng cßn ω 3 =0. Con quay thùc hiÖn chuyÓn ®éng quay
tiÕn ®éng ®Òu .
r r
Theo (9.4) ta cã vËn tèc gãc tuyÖt ®èi ω = ω r = ω e
r
VÐc t¬ ω ®−îc biÓu diÔn b¼ng ®−êng chÐo h×nh b×nh hµnh mµ hai c¹nh lµ
ω r vµ ω e.
V× ω r hîp víi ω e mét gãc 30 ®é do ®ã dÔ dµng t×m ®−îc:
ω2 = ωr2 + ωe2 + 2ωe.ωr.cos300
hay: ω = ω2 + ωe + 2ωe .ωr . cos 30 0
r
2
1
• Thay sè ta ®−îc ω = 202 π .
S
Gia tèc gãc tuyÖt ®èi ε ®−îc x¸c ®Þnh theo (9.5).
r r
ε = VN = ωe × ON = ωe × ωr
= ω e × ( ω e + ω r) = ω e × ω r
VÐc t¬ ε h−íng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng Ozz1 nh− h×nh vÏ vµ cã gi¸ trÞ:
1
ε = ωe.ωr sin300 = 200 π 2.
S2
ThÝ dô 9.2: Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng
cña b¸nh xe «t« khi nã chuyÓn ®éng ®Òu
W W
p ε
trªn ®−êng trßn b¸n kÝnh R =10m.
0
Cho biÕt b¸n kÝnh b¸nh xe r = 0,5m; I
vËn tèc t©m b¸nh xe (vËn tèc «t«) lµ V0 =
1 ωa εa
36 km/h. ∆ P
X¸c ®Þnh vËn tèc gãc, gia tèc gãc H×nh 9-8
-125-
tuyÖt ®èi cña b¸nh xe vµ vËn tèc, gia tèc cña ®iÓm P trªn vµnh b¸nh xe (h×nh
9.8).
Bµi gi¶i:
ChuyÓn ®éng cña b¸nh xe ®−îc hîp thµnh tõ hai chuyÓn ®éng thµnh phÇn:
ChuyÓn ®éng quay cña b¸nh xe quanh trôc Oz cña nã víi vËn tèc gãc ω 1 vµ
chuyÓn ®éng cña trôc b¸nh xe Oz1 quay quanh trôc Oz th¼ng ®øng víi vËn tèc
gãc ω 2. Hai trôc z vµ z1 giao nhau t¹i ®iÓm cè ®Þnh I v× thÕ cã thÓ nãi chuyÓn
®«ng tæng hîp cña b¸nh xe lµ chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm I cè ®Þnh.
Trong tr−êng hîp nµy ω 1 lµ vËn tèc gãc cña chuyÓn ®éng quay riªng, ω 2 lµ vËn
tèc gãc cña chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng. ChuyÓn ®éng quay ch−¬ng ®éng cã
vËn tèc b»ng kh«ng.
r
- X¸c ®Þnh vËn tèc gãc tuyÖt ®èi ω cña b¸nh xe. Theo c«ng thøc (9.2) ta
cã:
r r r
ω = ω1 + ω2
r r
V× hai trôc quay Iz vµ Iz1 lu«n lu«n vu«ng gãc do ®ã: ω 1 vu«ng gãc ω 2.
MÆt kh¸c v× b¸nh xe l¨n kh«ng tr−ît trªn ®−êng nªn vËn tèc ®iÓm P lµ
VP=0.
Suy ra ®−êng IP chÝnh lµ trôc quay tøc thêi cña b¸nh xe. C¨n cø vµo h×nh
vÏ x¸c ®Þnh ®−îc ω1 = ω2.cotgα.
V0 r
Trong ®ã: ω2 = vµ tgα = .
R R
Vµ ω = ω1 + ω2
2
2
Thay sè t×m ®−îc: ω1 = 20 (1/s), ω2 = 1 (1/s) vµ ω = 20 (1/s).
ChuyÓn ®éng cña b¸nh xe lµ chuyÓn ®éng tiÕn ®éng ®Òu do ®ã x¸c ®Þnh
gia tèc gãc tuyÖt ®èi.nh− sau:
r r r r
ε = VN = ω 2 × IN = ω 2 × ω 1
-126-
u
VÒ trÞ sè:ε = ω2 ω1 sin = 20 1/s2 h−íng vµo trong vµ vu«ng gãc víi mÆt
2
ph¼ng h×nh vÏ.
- X¸c ®Þnh vËn tèc ®iÓm P
Do P n»m trªn trôc quay tøc thêi nªn vËn tèc cña nã Vp = 0.
- X¸c ®Þnh gia tèc ®iÓm P
Theo (9.7) W P = W ωP + W εP
r
V× P n»m trªn trôc quay tøc thêi nªn W ωP = ω × OP =0
r
Cßn ω εP h−íng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa vÐc t¬ ε vµo ®iÓm P nh−
h×nh vÏ víi trÞ sè:
WεP = IP. ε = 10.20 = 200 m/s2.
9.2. ChuyÓn ®éng tæng qu¸t cña vËt r¾n (chuyÓn ®éng tù do
cña vËt r¾n)
9.2.1. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
Kh¶o s¸t vËt r¾n chuyÓn ®éng tù do trong hÖ trôc to¹ ®é cè ®Þnh Oxyz. §Ó
thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt ta chän mét ®iÓm A bÊt kú trªn vËt
lµm t©m cùc vµ g¾n vµo vËt hÖ trôc Ox1y1z1 cã c¸c trôc song song víi Ox, Oy,
Oz. Khi ®ã vÞ trÝ cña vËt sÏ ®−îc x¸c ®Þnh bëi vÞ trÝ cña hÖ Ax1y1z1 so víi hÖ
Oxyzvµ vi trÝ cña v¹t so víi hÖ di ®éng o x y z. Tõ ®ã suy ra th«ng sè ®Þnh vÞ cña
vËt so víi hÖ Oxyz sÏ lµ to¹ ®é xA, yA, zA cña ®iÓm A vµ 3 gãc ¥le ϕ, ψ vµ θ cña
vËt. Suy ra ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt sÏ lµ:
xA = xA (t) yA = yA (t) zA = zA (t)
ϕ = ϕ(t) ψ = ψ(t) θ = θ(t) ( 9.7 )
ChuyÓn ®éng tù do cña vËt lu«n lu«n cã thÓ ph©n tÝch thµnh 2 chuyÓn
®éng:
-127-
- TÜnh tiÕn theo mét t©m cùc A
- ChuyÓn ®éng quay quanh t©m cùc A
9.2.2. VËn tèc vµ gia tèc cña c¶ vËt
v
VËn tèc cña c¶ vËt ®−îc biÓu diÔn qua vËn tèc cña t©m cùc A lµ VA vµ vËn
tèc gãc tøc thêi ω cña vËt quay quanh trôc quay tøc thêi ∆ ®i qua cùc A.
T−¬ng tù gia tèc cña vËt còng ®−îc biÓu diÔn bëi gia tèc cña t©m cùc A lµ
r
w A vµ gia tèc gãc tøc thêi ε trong chuyÓn ®éng quay tøc thêi quanh trôc quay
tøc thêi ®i qua A.
9.2.3. VËn tèc vµ gia tèc cña mét ®iÓm trªn vËt
XÐt ®iÓm M bÊt kú trªn vËt r¾n chuyÓn ®éng tù do. VËn tèc cña ®iÓm M sÏ
r r r
®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc: VM = VA + VMA . ( 9.8 )
v v
Víi VA lµ vËn tèc t©m cùc A cßn VMA lµ vËn tèc cña ®iÎm M trong
chuyÓn ®éng quay quanh ®iÓm A. Ta cã:
r v
VMA = ω× AM ; ω lµ vËn tèc gãc tøc thêi cña vËt trong chuyÓn
®éng quay quanh A.
T−¬ng tù gia tèc cña ®iÓm M còng ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓ thøc:
r r r
WM = WA + WMA ( 9.9 )
ω ε
Trong ®ã: W MA = W MA +W MA
ω r r
Víi: W MA = ω × VMA
ε r r
W MA = ε × VMA
Cuèi cïng ta cã:
r r rω rε
WM = WA + WMA + WMA . ( 9. 10 )
Copyright by webtailieu.net