Chương 2 Kinh tế lượng
Tài liệu tham khảo bài giảng kinh tế lượng_ Chương " Mô hình hồi quy bội ( nhiều biến)", dành cho các bạn sinh viên đang theo học các chuyên ngành kinh tế như: kinh tế đối ngoại, quản trị kinh doanh, ngoại thương, marketing,...bằng việc đưa ra những công thức ma trận tương quan và ma trận hiệp phương sai để xem xét khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết
BÀI GIẢNG
KINH TẾ LƯỢNG
Chương 2.
MÔ HÌNH HỒI QUY BỘI
(nhiều biến)
1. Hàm hồi quy tổng thể PRF
Trong chương này ta xét hàm hồi quy tuyến tính
k biến như sau :
E ( Y X 2, X 3,..., X k ) = β1 + β2X 2 + β3X 3 + ... + βk X k
Hay Y = β1 + β2X 2 + β3X 3 + ... + βk X k + ε
Với ε là sai số ngẫu nhiên
β1 là hệ số tự do,
β2, β3, ..., βk là hệ số hồi quy riêng
Từ một mẫu quan sát ( Y i , X 2,i , X 3,i ,..., X k,i )
với i = 1,2,…,n, lấy từ tổng thể, ta có hệ sau
Y1 = β1 + β2X 2,1 + ... + βk X k,1 + e1
Y
2 = β1 + β2X 2,2 + ... + βk X k,2 + e2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Y n = β1 + β2X 2,n + ... + βk X k,n + en
Với ej là các phần dư của số hạng thứ j.
Bằng cách viết lại dưới dạng ma trận, thì hệ trên
trở thành
Y = X ⋅β + e
Trong đó,
Y1 β1 e1
Y = Y 2 ; β = β2 ; e= e2
... ... ...
Yn βn en
1 X 2,1 X 3,1 ... X k,1
X= 1 X 2,2 X 3,2 ... X k,2
... ... ... ... ...
1 X 2,n X 3,n
... X k,n
2. Các giả thuyết
GT1 : E ( ei ) = 0, ∀i
0 khi i ≠ j
GT2 : ( )
E ei , ej = 2
σ
khi i = j
Hay dưới dạng ma trận ( ) =σ I
E ee T 2
GT3 : Các biến độc lập phi ngẫu nhiên
GT4 : Không có hiện tượng cộng tuyến giữa các
biến độc lập, hay hạng của X bằng k
3. Ước lượng tham số
Xét hàm hồi quy mẫu SRF có dạng
1 $2 3 k
$ + β X + β X + ... + β X
$ $
Y i = β1 2 2,i 3 3,i k k,i + ei
$$
Hay dưới dạng ma trận Y = X β + e trong đó
k
β
$
e1
e 1
e β $ r
$ = 2 ; e= e2 $
β = Y − Xβ
... ...
$.
βk ek
Khi đó, phương pháp OLS, xác định các hệ số
hồi quy sau cho
n n
∑( $i − β X − ... − β X
$1 $i
)
2
RSS ≡ ∑ e2
i = Y i − β1 2 2,i k k,i → min
i =1 i =1
$T , eT khi đó
Với các ký hiệu X , Y , β
T T T
n
$iT X T Y + βT X T X β
$1 $T
∑ e2
i
T
= e ⋅ e = Y Y − 2β T
i =1
Khi đó các tham số hồi quy thỏa mãn hệ sau
∂ (eT e) T $T= X T Y
$0 = 0 ⇔ (X X)β
∂β
(
$0= X T X −1 X T Y
⇒β )
n n
Trong đó
n ∑ X 2,i ... ∑ X k,i
i =1 i =1
n n n
T
X ⋅X = ∑ X 2,i ∑ X2
2,i ... ∑ X 2,i X k,i
i =1 i =1 i =1
... ... ... ...
n n n
∑ X k,i ∑ X k,i X 2,i ... ∑ X2 k,i
i =1 i =1 i =1
Kết quả tính toán trên cho bởi phần mềm Eview
4. Hệ số xác định hồi quy bội
Để đánh giá mức độ phù hợp của mô hình hồi
quy, ta dùng hệ số xác định R2 xác định như sau
2 RSS ESS
R = 1− =
TSS TSS
Trong đó
( ) ,
T 2
TSS = Y Y − n Y
$ TXT Y − n ( Y ) 2 ,
ESS = β
RSS = TSS − ESS.
Ý nghĩa của R2 cũng tương tự như trong mô
hình hai biến.
Để so sánh mức độ phù hợp của các mô hình
có số biến độc lập khác nhau, hay
Để xem xét việc có nên đưa thêm các biến
độc lập mới vào mô hình không.
Khi đó ta dùng hệ số xác định điều chỉnh
( )
là: 2 2 n −1
R = 1− 1− R
n−k
Biến độc lập đưa vào mô hình là có ý nghĩa nếu
2
làm tăng giá trị của R
5. Ma trận tương quan và ma trận
hiệp phương sai
- Ma trận tương quan 1 r1,2 ... r1,k
R= r2,1 1 ... r2,k
... ... ... ...
rk,1 rk,2
... 1
n
Trong đó
∑ xt,i x j,i
rt, j = i =1 ; x j,i = X j,i − X j
n n
∑ ∑ x2
t,i x2
j,i
i =1 i =1
- Ma trận hiệp phương sai
var β
$k
1( ) (
$1 , β
cov β1 2 $k
) (
$2 , β
... cov β1 $ k )
()
(
$v , β
$v = cov β2 1
cov β
$a
) $r
var β2 ( ) (
$c , β
... cov β2 k $o
)
... ... ... ...
(
$. , β
cov βk 1
$.
) ($. , β
cov βk 2 $.
) ... var β ( k)
$.
() (
$2 = σ2 X T ⋅ X −1 thay σ2
Ta tính cov β ta )
bởi
$R = RSS
σ
2
n−k
Ví dụ 2. với số liệu cho trong ví dụ 1, ta có
∑
2 2
TSS = Y Y − n ( Y )
T
= Y i2 − n( Y )
= 2781 − 10(16.5)2 = 58.5
$ T ( XT Y ) − n ( Y ) 2
ESS = β
= 2778.71 − 10(16.5)2 = 56.211
RSS = TSS − ESS = 58.5 − 56.21 = 2.289
2 ESS 56.211
R = = = 0.96087
TSS 58.5
$ 2 = RSS = 2.289 = 0.327
σ
n−3 7
Vậy, ta có ma trận hiệp phương sai
() ( )
$ $T $2 T −1
cov(β) = cov β = σ X ⋅ X
39980 −3816 −3256
0.327
= −3816 376 300
1528 −3256 300
280
8.55593 −0.81664 −0.6968
= −0.81664 0.080466 0.0642
−0.6968 0.0642 0.05992
Các kết quả tính ở trên được cho bởi Eview như
6. Khoảng tin cậy và kiểm định giả
thuyết
Tương tự như trong mô hình hai biến. Để tìm
khoảng tin cậy của các hệ số hồi quy, ta dùng
thống kê sau
$j − β
βj j
T≡ T : St(n − k)
se β( j)
$
( )
$j =
Trong đó se β j var ( β j )
$j
Được cho trong ma trận hiệp phương sai
Để kiểm định sự phù hợp của mô hình, hay kiểm
định cho giả thuyết H : β2 = β3 = ... = βk = 0
Ta dùng thống kê
sau : ESS R2
F ≡ k −1 = k −1 : F ( k − 1;n − k )
RSS 1− R 2
n−k n−k
Và kiểm định trên cũng là kiểm định cho giả
2
thuyết H : R = 0
