-148-
Ch−¬ng 12
C¸c ®Þnh lý tæng qu¸t cña ®éng lùc häc
C¸c ®Þnh lý tæng qu¸t cña ®éng lùc häc lµ hÖ qu¶ cña ®Þnh luËt c¬ b¶n cña
Niu-T¬n. Nã thiÕt lËp mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i l−îng do chuyÓn ®éng cña chÊt
®iÓm hay c¬ hÖ víi c¸c ®¹i l−îng ®o t¸c dông cña lùc.lªn chÊt ®iÓm hay c¬ hÖ
®ã. C¸c ®Þnh lý tæng qu¸t cña ®éng lùc häc cho phÐp ta nghiªn cøu tÝnh chÊt
quan träng cña chuyÓn ®éng mµ kh«ng cÇn biÕt chi tiÕt chuyÓn ®éng ®ã. V× thÕ
nã cho phÐp ta gi¶i thuËn lîi mét sè bµi to¸n cña ®éng lùc häc ®Æc biÖt lµ bµi
to¸n vÒ ®éng lùc häc cña c¬ hÖ mµ nÕu ¸p dông ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®Ó gi¶i th×
sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n.
12.1. C¸c ®Æc tr−ng h×nh häc khèi cña c¬ hÖ vµ vËt r¾n.
Khi kh¶o s¸t ®éng lùc häc cña c¬ hÖ ng−êi ta ph¶i ®Ó ý ®Õn khèi l−îng cña
chóng vµ sù ph©n bè khèi l−îng Êy trong kh«ng gian. C¸c ®Æc tr−ng liªn quan
®Õn ph©n bè khèi l−îng cña c¬ hÖ hay vËt r¾n lµ khèi t©m vµ m« men qu¸n tÝnh.
12.1.1. Khèi t©m cña hÖ
XÐt hÖ N chÊt ®iÓm M1, M2,...Mn cã khèi l−îng m1, m2, ...m.N. VÐc t¬ ®Þnh
r r r
vÞ chóng lµ: r 1, r 2,.... r N.( H×nh 12.1) .Ta cã ®Þnh nghÜa sau:
Khèi t©m cña hÖ lµ ®iÓm C x¸c ®Þnh
r
b»ng biÓu thøc: z r2 M2
M1 C
N r
r
∑ m k rk r r Mn
k =1 r1 rC r
rC = ;
M rn
O
(12-1)
y
N x
Víi M = ∑ mk . H×nh 12.1
k =1
ChiÕu biÓu thøc (12-1) lªn c¸c trôc
-149-
to¹ ®é oxyz (h×nh 10-1) ta ®−îc:
N
∑ mk xk
k =1
xc =
M
N
∑ mk yk
k =1
yC = (12-2)
M
N
∑ mkzk
k =1
zC =
M
Trong ®ã xC, yC, zC lµ to¹ ®é khèi t©m C; xk, yk, zk lµ to¹ ®é cña chÊt ®iÓm
thø k trong c¬ hÖ. Tr−êng hîp ®Æc biÖt trong tr−êng träng lùc hÖ lµ vËt r¾n khèi
t©m sÏ trïng víi träng t©m cña vËt.
12.1.2. M« men qu¸n tÝnh cña vËt
12.1.2.1. M« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét t©m
M« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét t©m ký hiÖu lµ Jo b»ng tæng c¸c tÝch
sè gi÷a c¸c khèi l−îng cña mçi chÊt ®iÓm víi b×nh ph−¬ng kho¶ng c¸ch gi÷a
chÊt ®iÓm ®ã víi ®iÓm O (h×nh 10-1)
N
Jo = ∑ mk rk2 (12-3)
k =1
12.1.2.2. M« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét trôc
M« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét trôc z ký hiÖu lµ Jz b»ng tæng c¸c
tÝch khèi l−îng mk cña mçi chÊt ®iÓm trong vËt víi b×nh ph−¬ng kho¶ng c¸ch dk
tõ chÊt ®iÓm ®Õn trôc (h×nh 12-1).
N
Jz = ∑ mkd2
k (12-4)
k =1
Gäi to¹ ®é c¸c chÊt ®iÓm Mk trong hÖ to¹ ®é oxyz lµ xk,yk, zk th× m« men
qu¸n tÝnh cña hÖ ®èi víi c¸c trôc to¹ ®é lµ ox, oy, oz vµ ®èi víi gèc to¹ ®é O viÕt
®−îc:
-150-
Jx = ∑ m k (y 2
k + z 2 );
k
Jy = ∑ m k (x 2
k + z 2 );
k
Jz = ∑ m k (y 2
k + x 2 );
k (12-5)
Jo = ∑ m k rk2 = ∑ m k ( x 2
k + y 2 + z 2 ).
k k
Tõ ®ã suy ra:
J x + J y + J z = J o. (12-6)
Trong kü thuËt ta tÝnh m« men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi mét trôc theo
biÓu thøc:
Jz = M.ρ2
M lµ khèi l−îng cña vËt, ρ gäi lµ b¸n kÝnh qu¸n tÝnh cña vËt víi trôc z.
12.1.2.3. M« men qu¸n tÝnh cña mét sè vËt ®ång chÊt
- VËt lµ mét thanh máng ®ång chÊt
Gäi chiÒu dµi cña thanh lµ l, khèi l−îng cña nã lµ M. Chän trôc Ax däc
theo thanh (h×nh 12-2).
y
XÐt mét phÇn tö cña thanh cã
chiÒu dµi dx ë vÞ trÝ c¸ch A mét ®o¹n mk B
A x
xR, cã khèi l−îng dm = ρ1.dx ë ®©y
ρ1 lµ khèi l−îng riªng trªn mét ®¬n xk dx
vÞ chiÒu dµi cña thanh ρ = M/l
H×nh 12-2
BiÓu thøc m« men qu¸n tÝnh A D
y
cña thanh lÊy ®èi víi trôc Az vu«ng gãc víi x
thanh t¹i A lµ:
dx
l l l3 1
JAz = ∫0x 2 dm = ρ i ∫0x 2 dx = ρ = Ml 2
3 3 B C
x
(127)
H×nh 12.3
-151-
- VËt lµ mét tÊm ph¼ng h×nh ch÷ nhËt (h×nh 12-3)
Gäi c¸c c¹nh cña h×nh lµ a, b, khèi l−îng cña tÊm ph¼ng lµ M. Chia h×nh
thµnh nhiÒu gi¶i nhá song song víi trôc o mçi gi¶i cã bÒ réng lµ dx, cã m« men
1
qu¸n tÝnh ®èi víi trôc Ax lµ Jk = m k a 2 (theo h×nh 12-3)
3
Trong ®ã mk lµ khèi l−îng cña gi¶i ®ang xÐt.
M« men qu¸n tÝnh cña c¶ h×nh ®èi víi trôc Ax lµ :
n n
1 1 n
Jx = ∑ J kx = ∑ m k a 2 = a 2 ∑ m k ;
k =1 k =1 3 3 k =1
1 2
Jx = a M (12-8)
3
T−¬ng tù suy ra:
1 2 y
Jy = b M (12- 9) R
3
- VËt lµ mét vµnh trßn ®ång chÊt
Gäi b¸n kÝnh vµ khèi l−îng cña vµnh lµ R vµ C x
M. TÝnh m« men qu¸n tÝnh cña vµnh ®èi víi trôc
Cz vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña vµnh vµ ®i qua
t©m C. (h×nh 12-4). H×nh 12.4
Ta cã: y
n n R
Jcz = ∑ m k rk2 = ∑ mkR ;
2
k =1 k =1 drk
n x
Jcz = R 2 ∑ m k = MR 2 . (12-10) rk
k =1 O
C«ng thøc (12-10) còng dïng ®Ó tÝnh m«
men qu¸n tÝnh cña mét èng trôc trßn ®ång chÊt ®èi
víi trôc cña nã. H×nh 12.5
-152-
- VËt lµ mét tÊm ph¼ng trßn ®ång chÊt
Gäi b¸n kÝnh vµ khèi l−îng cña tÊm lµ R vµ M. Ta cã thÓ tÝnh m« men
qu¸n tÝnh ®èi víi trôc Cz ký hiÖu lµ Jcz vµ m« men qu¸n tÝnh ®èi víi trôc Cx hay
Cy trïng víi ®−êng kÝnh cña nã ký hiÖu lµ Jx, Jy.
Chia tÊm thµnh nhiÒu vµnh nhá cïng t©m C b¸n kÝnh mçi vµnh thø k lµ rk.
BÒ réng cña mçi vµnh thø k lµ drk. Khèi l−îng cña líp vµnh thø k lµ :
mk = ρ.2π.rk.drk
M
Trong ®ã ρ lµ khèi l−îng riªng cña tÊm trªn mét ®¬n vÞ diÖn tÝch ρ = .
πR 2
Theo c«ng thøc (12-10) m« men qu¸n tÝnh cña líp vµnh thø k nµy ®èi víi
trôc Cz viÕt ®−îc.
Jkcz = mkrk2 = 2πρ.rk3drk
M« men qu¸n tÝnh cña c¶ tÊm ®èi víi tôc Cz viÕt ®−îc:
n n
Jcz = ∑ J cz = ∑ 2πρrk3 drk
k
k =1 k =1
R 1
hay: Jcz = ∫o 2πρrk3 drk =
2
πρR 4 .
Cuèi cïng ta cã:
1
Jcz = MR 2 (12-11)
2
§Ó tÝnh Jcz vµ Jcy ta cã nhËn xÐt mäi ®iÓm cña tÊm cã zx = 0, v× thÕ theo
(12-5) viÕt ®−îc:
n n
Jcx = ∑ m k (y 2
k + z ) = ∑ mk y2 ;
2
k k
k =1 k =1
n n
Jcy = ∑ m k (x 2 + z 2 ) = ∑ m k x 2 ;
k k k
k =1 k =1
-153-
n
Jcz = ∑ m k (x 2
k + y 2 ).
k
k =1
Tõ c¸c biÓu thøc trªn suy ra trong tr−êng hîp nµy:
Jcz = Jcx + Jcy.
Do ®èi xøng nªn sù ph©n bè khèi l−îng cña tÊm ®èi víi trôc cx vµ cy hoµn
toµn nh− nhau. Ta cã:
Jcx = Jcy = Jcz/2= MR2/4. (12-11)
C«ng thøc (10-11) còng cã thÓ tÝnh m« men qu¸n tÝnh cho vËt lµ mét trôc
trßn ®ång chÊt ®èi víi trôc cña nã.
12.1.2.4. M« men qu¸n tÝnh ®èi víi c¸c trôc song song.
-§Þnh lý Huy-Ghen: M« men qu¸n tÝnh cña mét vËt ®èi víi mét trôc z1
nµo ®ã b»ng m« men qu¸n tÝnh cña nã ®èi víi trôc z song song víi trôc z1 ®i qua
khèi t©m cña vËt céng víi tÝch khèi l−îng cña vËt víi b×nh ph−¬ng kho¶ng c¸ch
gi÷a hai trôc.
Jz1 = Jcz + Md2 (12-12)
Chøng minh: z
Theo ®Þnh nghÜa Jz1 = ∑ m k d' 2
k (a) z'
B
d αk dk
KÎ trôc cz song song víi z1 vµ ®i qua khèi Mk
t©m c (h×nh 12-6) d'k
yk y
Ta cã: xk
C
d' 2 = dk2 + d2 - 2dkdcosαk.
k
Gäi to¹ ®é cña ®iÓm Mk lµ xk, yk, zk. x
xk = dkcosαk suy ra:
d'k2 = dk2 + d2 - 2dxk
H×nh 12.6
Thay kÕt qu¶ vµo biÓu thøc (a) sÏ ®−îc:
Jz1 = ∑ mk(dk2 + d2 - 2xkd) = ∑ mkdk2 + ∑ mkd2 - 2 ∑ mkdxk),
-154-
trong ®ã: ∑ mkdk2 = Jcz;
∑ mkd2 = Md2 cßn ∑ mkdxk = d ∑ mkxk = dMxC
Do gèc to¹ ®é trïng víi khèi t©m c nªn xC =0.
Do ®ã: ∑ mkdxk = 0 Cuèi cïng ®−îc: Jz1 = Jcz + Md2.
§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.
12.2. §Þnh lý ®éng l−îng vµ ®Þnh lý chuyÓn ®éng cña
khèi t©m
12.2.1. §Þnh lý ®éng l−îng
12.2.1.1. §éng l−îng cña chÊt ®iÓm vµ cña hÖ
r
§éng l−îng cña chÊt ®iÓm lµ mét ®¹i l−îng vÐc t¬ ký hiÖu lµ k b»ng tÝch
gi÷a khèi l−îng vµ vÐc t¬ vËn tèc cña chÊt ®iÓm.
r r
k = m v. (12-14)
r
§éng l−îng cña hÖ lµ ®¹i l−îng vÐc t¬ ký hiÖu K b»ng tæng h×nh häc
®éng l−îng c¸c chÊt ®iÓm trong hÖ.
r n r n
r
K= ∑ kk = ∑ mv v k. (12-15)
k=1 k=1
§¬n vÞ ®o ®éng l−îng lµ kgm/s
Ta còng cã thÓ biÓu diÔn ®éng l−îng cña hÖ qua khèi l−îng vµ vËn tèc
khèi t©m cña hÖ.
Tõ (12-1) suy ra:
r r
∑mk r k = M r c.
§¹o hµm hai vÕ theo thêi gian nhËn ®−îc:
r r
∑mk v k = M v o.
§éng l−îng cña hÖ b»ng tÝch gi÷a khèi l−îng vµ vÐc t¬ vËn tèc khèi t©m
cña hÖ.
-155-
12.2.1.2. Xung l−îng cña lùc (xung lùc)
Lùc t¸c dông trong mét kho¶ng thêi gian nhá bÐ dt th× ®¹i l−îng vÐc t¬ ®o
b»ng tÝch gi÷a lùc víi kho¶ng thêi gian v« cïng bÐ ®ã lµ xung l−îng phÇn tö cña
r r r
lùc F ký hiÖu lµ d s = F .dt. (12-17)
r
NÕu lùc F t¸c dông trong kho¶ng thêi gian h÷u h¹n tõ to ®Õn t th× ®¹i
l−îng vÐc t¬ tÝnh b»ng tÝch ph©n c¸c xung lùc phÇn tö trong kho¶ng thêi gian ®ã
r r
gäi lµ xung l−îng cña lùc F trong kho¶ng thêi gian tõ to ®Õn t vµ ký hiÖu lµ s .
r t r tr
s = ∫to d s = ∫to Fdt (12-18)
r
Theo (10-18) nÕu lùc F = const th×:
r r
s = F .τ
ë ®©y τ = t - to
12.2.1.3. §Þnh lü ®éng l−îng
§Þnh lý 12.1: §¹o hµm theo thêi gian ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm b»ng hîp
lùc c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm.
r
n r
d
(mv) = ∑ Fi (12-19)
dt i =1
Chøng minh: XÐt chÊt ®iÓm cã khèi l−îng m chuyÓn ®éng víi vËn tèc v
r r r
d−íi t¸c dông cña hÖ lùc ( F 1, F 2,... F n). Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n viÕt cho chÊt ®iÓm:
r n r
mW = ∑ Fi
i =1
r r
dv
Thay W = vµo biÓu thøc trªn sÏ ®−îc:
dt
r n r
d r
m W = (mv) = ∑ Fi
dt i =1
§Þnh lý ®−îc chøng minh.
BiÓu thøc (12-19) thùc chÊt lµ ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n viÕt d−íi d¹ng ®éng
l−îng cho chÊt ®iÓm.
-156-
§Þnh lý 12.2: BiÕn thiªn ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm trong kho¶ng thêi gian
tõ to ®Õn t1 b»ng tæng h×nh häc xung l−îng cña c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm
trong kho¶ng thêi gian ®ã.
nr n r
r r
∑ ∫to Fk dt = ∑ S k
t1
mv1 - mvo = (12-20)
k =1 k =1
Chøng minh: Tõ ph−¬ng tr×nh (10-19) suy ra:
r n r
∑ ∫to Fk dt
t1
d(m v ) =
k =1
TÝch ph©n hai vÕ ph−¬ng tr×nh nµy t−¬ng øng víi c¸c cËn t¹i to vµ t1 sÏ cã:
r t1 n r n t1 r
d (mv) = ∫to ∑ Fk dt = ∑ ∫to Fdt;
mv1
∫mvo k =1 k =1
r r n r
mv1 - mvo = ∑ Sk
k =1
§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.
§Þnh lý 12.3: §¹o hµm theo thêi gian ®éng l−îng cña hÖ b»ng vÐc t¬
chÝnh cña c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ.
r
dK N r
= ∑ Fke (12-21)
dt k =1
Chøng minh: XÐt hÖ gåm N chÊt ®iÓm. Ký hiÖu hîp ngo¹i lùc vµ hîp néi
r r
lùc ®Æt lªn chÊt ®iÓm thø k lµ F ke vµ F ki.
Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc viÕt cho chÊt ®iÓm ®ã lµ:
r r r
mk( Wk ) = F ke + F ki (a)
ViÕt cho N chÊt ®iÓm cña hÖ ta sÏ cã N ph−¬ng tr×nh (a) nghÜa lµ k = 1...N
Céng vÕ víi vÕ cña N ph−¬ng tr×nh trªn víi nhau ta sÏ ®−îc:
N r N r N r
∑ m k Wk = ∑ Fke + ∑ Fki
k =1 k =1 k =1
Theo ®Þnh luËt Niu T¬n c¸c lùc t¸c dông t−¬ng hç b»ng nhau vÒ ®é lín,
-157-
cïng ph−¬ng nh−ng ng−îc chiÒu v× vËy tæng h×nh häc c¸c néi lùc ( c¸c lùc t¸c
dông t−¬ng hç cu¶ c¸c chÊt ®iÓm trong hÖ) lu«n lu«n b»ng kh«ng.
r
Ta cã: ∑ F ki = 0
Cßn l¹i:
N r N r
∑ m k Wk = ∑ Fke
k =1 k =1
r r
N N dv k N
r d v
Thay ∑ m k Wk = ∑ m k = ∑ m k v k = K,
k =1 k =1 dt k =1 dt
d v N r
Ta cã: K = ∑ Fke .
dt k =1
§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.
§Þnh lý 12.4: BiÕn thiªn ®éng l−îng cña hÖ trong kho¶ng thêi gian tõ to
®Õn t1 b»ng tæng h×nh häc xung l−îng c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ trong
kho¶ng thêi gian ®ã.
r r N r
k1 - k0 = ∑ S ke (12-22)
k =1
Chøng minh:
Tõ ph−¬ng tr×nh (12-10) suy ra:
r N r
dk = ∑ Fke dt
k =1
TÝch ph©n hai vÕ biÓu thøc nµy t−¬ng øng víi c¸c cËn t¹i thêi ®iÓm ®Çu vµ
cuèi sÏ ®−îc:
r t1 r
dk = ∫to ∑ Fke dt = ∑ ∫to Fke dt ;
k1 t1
∫ko
r r r
k1 - ko = ∑ s ke .
§Þnh lý ®· ®−îc chøng minh.
Chý ý r»ng c¸c biÓu thøc (10-19); (10-20), (10-21) vµ (10-22) lµ c¸c biÓu
-158-
thøc vÐc t¬, nÕu chiÕu c¸c biÓu thøc nµy lªn ba trôc to¹ ®é oxyz ta sÏ ®−îc c¸c
biÓu thøc h×nh chiÕu t−¬ng øng ph¶n ¸nh sù biÕn thiªn ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm
vµ hÖ theo h−íng c¸c trôc to¹ ®é.
§Þnh luËt b¶o toµn ®éng l−îng cña hÖ
Tõ biÓu thøc (12-21) suy ra:
r
Khi ∑ F ke = 0 th× K = const.
Khi ∑Xk = 0 th× Kx = const.
NghÜa lµ khi vÐc t¬ chÝnh cña ngo¹i lùc hoÆc tæng h×nh chiÕu cña c¸c
ngo¹i lùc lªn mét trôc nµo ®ã b»ng kh«ng th× ®éng l−îng cña hÖ hoÆc h×nh chiÕu
®éng l−îng cña hÖ lªn trôc ®ã b¶o toµn.
Cuèi cïng chó ý r»ng trong c¸c biÓu thøc kh«ng cã néi lùc ®iÒu nµy chøng
tá néi lùc kh«ng cã t¸c dông lµm thay ®æi ®éng l−îng cña mét hÖ.
ThÝ dô 12-1: Mét h¹t ngò cèc cã träng l−îng P tr−ît trong r·nh n»m
nghiªng mét gãc α so víi ph−¬ng ngang. BiÕt hÖ sè ma s¸t gi÷a c¸c h¹t vµ r·nh
lµ f, vËn tèc ban ®Çu cña h¹t lµ vo. TÝnh xem sau bao l©u th× vËn tèc h¹t t¨ng lªn
gÊp ®«i. (h×nh 12-7)
Bµi gi¶i
Xem h¹t nh− mét chÊt ®iÓm. Lùc t¸c dông r
N r
lªn h¹t gåm träng l−îng P, lùc ma s¸t Fms vµ F ms
ph¶n lùc ph¸p tuyÕn N.
r
ViÕt biÓu thøc h×nh chiÕu lªn trôc ox cña x α P
®Þnh lý ®éng l−îng ta cã:
H×nh 12.7
m x 1 − mx o = ∑ x i = ∫0 (P sin α − Fms )dt
t
& &
x 1 = v;
& x 0 = v o ; Fms = P.cosα.f
& ta cã:
mv-mvo = (Psinα-fPcosα)t.
Khi v = 2vo th× thêi gian cÇn thiÕt lµ:
-159-
mv o vo
t= = .
mg sin α − fmg cos α g (sin α − f cos α)
ThÝ dô 12-2: N−íc ch¶y ra tõ mét vßi víi vËn tèc u = 10m/s vµ ®Ëp th¼ng
gãc vµo mét t−êng ch¾n (h×nh 10-8). §−êng kÝnh miÖng vßi d = 4cm. X¸c ®Þnh
¸p lùc cña n−íc lªn t−êng. LÊy khèi l−îng
riªng cña n−íc lµ ρ = 1000kg/m3 d
d
Bµi gi¶i: b1 b1
a a1
XÐt chuyÓn ®éng cña khèi n−íc aabc
R x
(xem h×nh vÏ 12.8). Ngo¹i lùc t¸c dông lªn
hÖ gåm: a ut1 a1
c c
Träng l−îng P, hîp lùc cña ¸p lùc t¹i
c1 c1
mÆt c¾t cña khèi n−íc vµ ¸p lùc do ph¶n lùc
H×nh 12.8
cña t−êng lªn n−íc.
Theo biÓu thøc (12-22) ta cã:
k1x - kox = ∑Skk (a)
Gi¶ thiÕt sau thêi gian t1 khèi n−íc chuyÓn ®Õn vÞ trÝ a1a1b1c1. Tõ h×nh vÏ
ta thÊy phÇn n−íc cã ¶nh h−ëng ®Õn sù biÕn ®æi ®éng l−îng cña khèi n−íc lªn
ph−¬ng x lµ phÇn n»m trong ®o¹n aa1. V× vËy cã thÓ thÊy:
k1x - kox = -mu
ë ®©y m lµ khèi l−îng cña phÇn n−íc n»m trong ®o¹n aa1
γ πd 2
m= ut 1
g 4
Cßn ∑Sx lµ xung lùc cña c¸c lùc t¸c dông lªn khèi n−íc theo ph−¬ng x.
NÕu gäi c¸c hîp lùc theo ph−¬ng x nµy lµ Rx ta sÏ cã:
∑Skx = Rxt1 = Rt1.
Thay vµo biÓu thøc (a) c¸c kÕt qu¶ t×m ®−îc sÏ cã:
-160-
mu = Rt1
R=
Nh− vËy ta t×m ®−îc ¸p lùc cña n−íc lªn t−êng còng b»ng R = 12,8kN cã
ph−¬ng vu«ng gãc víi t−êng theo chiÒu h−íng vµo mÆt t−êng.
12.2.2. §Þnh lý chuyÓn ®éng cña khèi t©m
- §Þnh lý 12.5:Khèi t©m cña hÖ chuyÓn ®éng nh− mét chÊt ®iÓm mang
khèi l−îng cña c¶ hÖ d−íi t¸c dông cña lùc b»ng vÐc t¬ chÝnh cña hÖ c¸c ngo¹i
lùc t¸c dông lªn hÖ.
r n
M WC = ∑ Fke (12-23)
i =1
Chøng minh: XÐt c¬ hÖ N chÊt ®iÓm cã khèi l−îng lµ m1, m2, ...mN chuyÓn
r r r r r
®éng d−íi t¸c dông cña hÖ ngo¹i lùc F 1e, F 2e, ... F Ne vµ hÖ c¸c néi lùc F 1i, F 2i, ...
r r r
F Ni. ë ®©y F ke vµ F kilµ hîp lùc cña ngo¹i lùc vµ néi lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm
thø k.
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng viÕt cho hÖ lµ:
n r n r n r
∑ mk W = ∑ Fke + ∑ Fki (a)
k=1 k =1 k =1
MÆt kh¸c tõ c«ng thøc x¸c ®Þnh khèi t©m cña hÖ ta cã:
n r
∑ mk rk = M r C
r
k=1
LÊy ®¹o hµm theo thêi gian hai vÕ ®−îc:
r r r
n
d2r d 2 rC hay n m W = M W
∑ mk =M ∑ k k C
k=1 dt dt k=1
n r
Thay vµo biÓu thøc (a) ë trªn vµ l−u ý r»ng ∑ F ki = 0 ta cã:
k=1
r n r
M W C = ∑ F ke.
k=1
-161-
§Þnh lý ®−îc chøng minh.
Tõ ph−¬ng tr×nh vÐc t¬ (12-21) khi chiÕu lªn c¸c trôc to¹ ®é oxyz ta ®−îc
ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña khèi t©m viªt d−íi d¹ng sau:
d2XC n d 2 YC n d 2 ZC n
M = ∑ Xk ; M = ∑ Yk ; M = ∑ Zk . (12-22)
dt 2 k=1 dt 2 k=1 dt 2 k=1
- §Þnh luËt b¶o toµn chuyÓn ®éng cña khèi t©m:
Tõ biÓu thøc (12-21) suy ra:
n r
NÕu ∑ F k = 0 th× Wc = 0 vµ vc = const.
k=1
NghÜa lµ: nÕu vÐc t¬ chÝnh cña c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ b»ng kh«ng
th× chuyÓn ®éng khèi t©m cña hÖ ®−îc b¶o toµn. §©y lµ ®Þnh luËt b¶o toµn
chuyÓn ®éng cña khèi t©m.
T−¬ng tù tõ biÓu thøc (12-20) suy ra:
n
NÕu ∑ Xk = 0 th× Wx =0 vµ vx = const.
k=1
NghÜa lµ nÕu tæng h×nh chiÕu c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ lªn mét trôc x
nµo ®ã b»ng kh«ng th× chuyÓn ®éng cña khèi t©m theo trôc x ®ã ®−îc b¶o toµn.
§©y lµ ®Þnh luËt b¶o toµn chuyÓn ®éng cña khèi t©m theo mét trôc.
Chó ý trong c¸c ®Þnh lý vÒ chuyÓn ®éng cña khèi t©m kh«ng ®Ò cËp ®Õn
néi lùc v× vËy cã thÓ kÕt luËn néi lùc kh«ng lµm thay ®æi chuyÓn ®éng cña khèi
t©m.
Sau ®©y lµ mét vµi vÝ dô vËn dông ®Þnh lý chuyÓn ®éngcña khèi t©m vµ
®Þnh luËt b¶o toµn chuyÓn ®éng cña khèi l−îng.
ThÝ dô 12-3:
Träng t©m phÇn quay cña ®éng c¬ ®iÖn ®Æt lÖch t©m so víi trôc quay A
mét ®o¹n AB =a. Träng l−îng cña phÇn quay lµ P, träng l−îng cña vá ®éng c¬
(phÇn kh«ng quay) lµ Q. (h×nh 12-9)
-162-
T×m quy luËt chuyÓn ®éng cña phÇn vá ®éng
c¬ trªn sµn n»m ngang. Cho biÕt vËn tèc gãc x
ϖ cña phÇn quay kh«ng ®æi. NÕu ta cè m
®Þnh vá ®éng c¬ trªn sµn b»ng bu l«ng D th× ω Br
P
lùc c¾t lªn bu l«ng ®−îc x¸c ®Þnh nh− thÕ nµo.
A r
Coi ma s¸t gi÷a nÒn vµ ®éng c¬ kh«ng ®¸ng Q
kÕ. r
N
Bµi gi¶i: m1 D
1. Khi ®éng c¬ ®Ó tù do trªn sµn. Ngo¹i
lùc t¸c dông gåm träng l−îng P vµ Q cña H×nh 12.9
®éng c¬, ph¶n lùc ph¸p tuyÕn N cña sµn lªn
®éng c¬. C¸c lùc nµy ®Òu vu«ng gãc víi sµn nªn cã:
∑Xk = 0. Theo ®Þnh luËt b¶o toµn chuyÓn ®éng cña khèi t©m ta cã
vox = const. Lóc ®Çu ®éng c¬ ®øng yªn nªn suy ra xo = const.
Chän hÖ to¹ ®é sao cho khi ë thêi ®iÓm t nµo ®ã gãc quay ϕ = ωt cßn c¸c
®iÓm A vµ B cã c¸c to¹ ®é t−¬ng øng sau:
xA = x; xB = x + asinϕ.
Qx + P( x + a sin ϕ)
ta cã: xC = =0
Q+P
Hay: Qx + Px + Pasinϕ = 0
P.a.s sin ϕ
Suy ra x =
P+Q
§©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng dao ®éng ngang cña vá ®éng c¬
trªn sµn quanh vÞ trÝ ban ®Çu.
2. Khi cè ®Þnh ®éng c¬ trªn sµn b»ng bu l«ng D.
Gäi Rx lµ lùc c¾t bu l«ng theo ph−¬ng ngang ta cã ph−¬ng tr×nh vi ph©n
chuyÓn ®éng cña khèi t©m:
-163-
d2xc
m = Rx;
dt 2
Qx A + Px B
ë ®©y : xc = .
P+Q
V× vá ®éng c¬ cè ®Þnh nªn xA = const = 0 cßn xB = asinϕ.
Ta cã:
d2xC P+Q P
Rx = M = aω 2 sin ωt;
dt 2 g P+Q
P 2
Rx = − aω sin ωt;
g
§©y lµ lùc do bu l«ng t¸c dông lªn ®éng c¬, ng−îc l¹i ®éng c¬ còng t¸c
dông mét lùc c¾t bu l«ng b»ng trÞ sè nh−ng ng−îc chiÒu víi Rx.
Lùc c¾t nµy sÏ lín nhÊt khi sinωt = 1 vµ b»ng Paω2/g, t−¬ng øng víi gãc
quay ϕ =900.
ThÝ dô 12-4: Tay quay AB cã a
y
chiÒu dµi r cã träng l−îng P quay ω B
Rz D a
®Òu víi vËn tèc gãc ω vµ truyÒn A x Q
P G
chuyÓn ®éng cho cu lÝt g¾n liÒn víi
pÝt t«ng D cã träng l−îng chung lµ
G. PÝt t«ng D chÞu t¸c ®éng lùc Q H×nh 12.10
theo ph−¬ng ngang (h×nh 12-10). X¸c ®Þnh ph¶n lùc Rx lªn gèi ®ì A theo ph−¬ng
ngang. Cho biÕt kho¶ng c¸ch tõ träng t©m chung cña culÝt vµ pÝt t«ng ®Æt c¸ch cu
lÝt mét ®o¹n a.
Bµi gi¶i:
XÐt c¬ hÖ gåm tay quay AB vµ côm cu lÝt pÝt t«ng. Bá qua ma s¸t ë c¸c
r r
mÆt tr−ît, ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ gåm : träng l−îng P vµ G , ph¶n lùc t¹i gèi
r r r r r r
®ì R A. C¸c ph¶n lùc ph¸p tuyÕn ë mÆt tr−ît N 1, N 2 vµ lùc Q . C¸c lùc P , G ,
-164-
r r
N 1, N 2 vu«ng gãc víi mÆt ngang nªn ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng khèi
t©m cña hÖ theo ph−¬ng ngang viÕt ®−îc:
d2Xc
M = R x − Q, ë ®©y: Mxc = m1x1 + m2x2,
dt 2
P r G
m1 = , x1 = cos ωt ; m2 = ; x2 = a rcosωt
g 2 g
Pr G
Suy ra: Mxc = cos ωt + (a + r cos ωt )
g2 g
d2Xo
Thay vµo biÓu thøc ta ®−îc: Rx = Q + M ;
dt 2
rω 2 P
Hay : Rx = Q - ( + G ) cos ωt.
g 2
§©y chÝnh lµ ph¶n lùc theo ph−¬ng ngang t¹i gèi ®ì A. Ph¶n lùc nµy cã trÞ
sè cùc ®¹i b»ng:
rω 2 P
Rx = Q + ( + G) khi ϕ = ωt= 1800
g 2
12.3. §Þnh lý m« men ®éng l−îng
Trong phÇn nµy sÏ kh¶o s¸t mèi quan hÖ gi÷a ®¹i l−îng ®o chuyÓn ®éng
quay lµ m«men ®éng l−îng víi ®¹i l−îng ®o m« men lùc.
12.3.1. M« men ®éng l−îng
M« men ®éng l−îng cña mét chÊt ®iÓm lÊy ®èi víi t©m O hay ®èi víi trôc
z lµ ®¹i l−îng ký hiÖu lo hay lz b»ng m« men cña vÐc t¬ ®éng l−îng chÊt ®iÓm Êy
lÊy ®èi víi t©m O hay trôc z ®ã. Ta cã:
r r r r r
lo = m o ( m.v) = r xm.v; (12-23)
r
l z = m z ( m.v) = ± m.v'.h (12-24)
r
Trong c¸c biÓu thøc (12-23), (12-24) th× m lµ khèi l−îng, v lµ vËn tèc
-165-
r
chÊt ®iÓm, v' lµ h×nh chiÕu cña v trªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc z. BiÓu thøc
(12-24) lÊy dÊu + khi nh×n tõ chiÒu d−¬ng cña trôc z sÏ thÊy v' cã chiÒu quay
vßng quanh z theo chiÒu ng−îc chiÒu k×m ®ång hå vµ lÊy dÊu - trong tr−êng hîp
ng−îc l¹i.
T−¬ng tù nh− m« men lùc dÔ dµng suy ra r»ng:
[ ]
r
lo z = [m o (m.v)]z = m z .(m.v) = l z .
r r r
NghÜa lµ: h×nh chiÕu trªn trôc z vÐc t¬ m« men ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm
lÊy ®èi víi mét ®iÓm trªn trôc b»ng m« men ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm ®èi víi
trôc ®ã.
NÕu biÓu diÔn m« men ®éng l−îng cña chÊt ®iÓm ®èi víi 3 trôc to¹ ®é
oxyz lµ hµm theo to¹ ®é vµ h×nh chiÕu cña c¸c täa ®é lªn c¸c trôc ta cã:
r r r
i j k
r r r r r r r r
l = m o (m.v) = r xm.v = x y z =m(yz-zy) i +m(zx-xz) j +m(xyx) k ;
mx my mz
r r r
lo = lx i + ly j + lz k . Suy ra :
lx = m(yz-zy);
ly = m(zx-xz); (12-25)
lz = m(xy- yx).
§èi víi mét hÖ ta cã c¸c ®Þnh nghÜa sau:
M« men ®éng l−îng cña hÖ ®èi víi mét t©m hay mét trôc lµ tæng m« men
®éng l−îng cña c¸c chÊt ®iÓm trong hÖ lÊy ®èi víi t©m hay trôc ®ã. Ký hiÖu m«
men ®éng l−îng cña hÖ ®èi víi t©m O vµ ®èi trôc z lµ lo vµ lz ta cã:
r r n
r n
r r
lo= ∑ m o (m k v k ) = ∑r kxmk v k; (12-26)
k =1 k=1
n r n n
lz = ∑ mz(mk v k) = ∑ lkz = ∑ ±mkkkv'k (12-27)
k=1 k=1 k=1
-166-
Khi hÖ lµ vËt r¾n quay quanh mét trôc z víi vËn tèc gãc ω (h×nh 12-11) ta
cã: z
B
lkz = ±r2kmkω.
Gäi ±ω = ωz ta cã :
ω
lkz = r kmkωz.
2
rk r
rm v
Thay vµo biÓu thøc (12-27) ta cã: vk k k
n n n
lz = ∑ lzk = ∑ r2kmkωz = ωz. ∑ mkr2k.
k=1 k=1 k=1
A
n
Thay ∑ mkr2k = Jz ta ®−îc: H×nh 12.11
k=1
Jz = Jz. ωz
Th−êng ng−êi ta chän h−íng d−¬ng cña trôc quay ®Ó ωz = ω khi ®ã ta cã:
lz = Jz.ω (12-28)
12.3.2. §Þnh lý m« men ®éng l−îng
§Þnh lü 12-6: ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian m« men ®éng l−îng cña
chÊt ®iÓm lÊy ®èi víi mét t©m hay ®èi víi mét trôc b»ng tæng h×nh häc hay
tæng ®¹i sè m« men cña c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm lÊy ®èi víi t©m (hay trôc
®ã).
( )
d r r n r r
m o (mv ) = ∑ m o Fi ; (12-29)
dt i =1
( )
d r n r
m z (mv ) = ∑ m z Fi ; (12-29)
dt i =1
r r r
Chøng minh: Gi¶ thiÕt chÊt ®iÓm chÞu t¸c dông cña c¸c lùc: F 1, F2 ,.. Fn .
Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc viÕt ®−îc:
r n r
mW = ∑ Fi .
i=1
-167-
r r
d (mv)
Ta cã thÓ biÕn ®æi thµnh: = ∑ Fi .
dt
r
Nh©n h÷u h−íng hai vÕ biÓu thøc trªn víi vÐc t¬ ®Þnh vÞ r nèi tõ t©m o tíi
chÊt ®iÓm vµ l−u ý r»ng:
r
dr r r r r r r r
xm.v = vxmv = 0 vµ r xm v = m o(m v ) ta cã :
dt
r r r
r d (mv ) r d (mv ) d r r d r r n
rr
rx =r + xmv = ( r xmv ) = ∑ r Fi .
dt dt dt dt i =1
BiÓu thøc (12-29) ®· ®−îc chøng minh.
ChiÕu biÓu thøc (12-29) lªn trôc z ta sÏ ®−îc biÓu thøc (12-30).
§Þnh lý 12-7: ®¹o hµm theo thêi gian m« men ®éng l−îng cña hÖ ®èi víi
mét t©m hay mét trôc b»ng tæng m« men cña c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn hÖ ®èi
víi t©m (hay trôc ®ã).
d r n r
lo = ∑ m o ( Fke ); (12-31)
dt k =1
d r n r r
lz = ∑ m z ( Fke ); (12-32)
dt k =1
Chøng minh: XÐt c¬ hÖ cã N chÊt ®iÓm. T¸ch mét chÊt ®iÓm thø k ®Ó xÐt.
r r r
Gäi mk, v k lµ khèi l−îng vµ vËn tèc cña nã; gäi F ki, F ke lµ néi lùc vµ ngo¹i lùc
t¸c dông lªn chÊt ®iÓm. ¸p dông biÓu thøc (12-29) cho chÊt ®iÓm nµy ta cã:
d r
dt
r r
( ) r r
( )
lok = m o Fki + m o Fke .
Cho k tõ 1 ®Õn N ta ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh d¹ng trªn. NÕu céng vÕ víi vÕ
hÖ ph−¬ng tr×nh tr×nh trªn ta ®−îc:
d r
( ) ( )
N N r r N r r
∑ lok = ∑ m o Fki + ∑ m o Fke .
i =1 dt k =1 k =1
trong ®ã: