Các đặc trưng số của vector (X, Y)_chương 8
VD: Trong một thành phố có 40% người dân có thu nhập cao. Chọn ngẫu nhiên 300 người ( chọn từng người). Tính xác suất để trong 300 người được chọn
+a/ có 140 người có thu nhập cao.
+ b/ có khoảng 100-140 người thu nhập cao.
§2. CAÙC ÑAËC TRÖNG SOÁ CUÛA VECTOR (X, Y)
2.1. Ñaëc tröng cuûa phaân phoái coù ñieàu kieän
2.1.1. Tröôøng hôïp rôøi raïc
X x1 x2 … xi … xm
PX/Y=yj P1/j p2/j … pi/j … pm/j
Y y1 y2 … yj … yn
PY/X=xi q1/i q2/i … qj/i … qn/i
a/ Kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa X vôùi ñieàu kieän Y = yj
m
M[X/ Y = yj ]= å xpi/ j
i
i=1
Kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi ñieàu kieän X = xi
n
M[Y/ X = xi ]= å yqj/ i
j
j= 1
b/ Kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa X vôùi ñieàu kieän Y
+ M(X/Y) laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân nhaän giaù trò
M(X/yj) khi Y = yj vaø Y(Y) = M(X/ Y).
+ M(Y/X) laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân nhaän giaù trò
M(Y/xi) khi X = xi vaø Y(X) = M(Y/ X).
2.1.2. Tröôøng hôïp lieân tuïc
M(X / y) = ò xf(x / y)dx = Y(y)
M(Y / x) = ò yf(y / x)dy = Y(x) .
2.2. Kyø voïng cuûa haøm 1 vector ngaãu nhieân (rôøi raïc)
Cho (X, Y) coù phaân phoái P[X=xi, Y=yj] = pij vaø
Z = j (X, Y) thì
m n
M(Z) = Mj (X, Y)] =
[ åå
i= 1 j= 1
j (xi, yj)pij.
VD Cho Z = j (X, Y) = X + Y vaø baûng sau
(X, Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)
pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2
M(Z) = (0 + 0).0, 1 + (0 + 1).0, 2 + (0 + 2).0, 3
+ (1 + 0).0, 05 + (1 + 1).0, 15 + (1 + 2).0, 2 = 1, 75 .
§3. TÍNH CHAÁT CUÛA CAÙC ÑAËC TRÖNG SOÁ
3.1. Tính chaát cuûa kyø voïng M(X)
+ M(C) = C, vôùi C = const vaø P(C) = 1.
+ M(CX) = CM(X).
+ M(X + Y) = M(X) + M(Y).
+ M(XY) = M(X)M(Y), neáu X vaø Y ñoäc laäp.
3.2. Tính chaát cuûa phöông sai D(X)
+ D(C) = 0 vaø D(X) = 0 suy ra P[X = C] = 1.
2
+ D(CX) = C D(X).
+ D(X +Y) = D(X) + D(Y), neáu X vaø Y ñoäc laäp.
Ñaëc bieät
+ D(X + C) = D(X) + D(C) = D(X).
2
+ D(X – Y) = D(X) + (-1) D(Y) = D(X) + D(Y).
§4. ÑAËC TRÖNG SOÁ CUÛA
CAÙC ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN ÑAËC BIEÄT
4.1. X Î H(N;NA;n)
k n- k
CNA CN- NA
P[X = k] = n = H(N;NA;n;k).
CN
NA
Kyø voïng M(X) = np, p = .
N
N- n
Phöông sai D(X) = npq , q = 1 - p.
N- 1
4.2. X Î B(n;p)
P[X = k] = Ck pk q n- k (k = 0, n).
n
a/ Mod[X] = k0 Î {0;1;...;n}/ {P[X = k0 ]} .
max
Ta coù np - q £ k0 £ np - q + 1.
VD
Cho X Î B(100; 0, 03) , ta coù
np - q = 2, 03 £ k 0 £ np - q + 1 = 3, 03
Þ Mod[X] = 3 .
b/ Kyø voïng M(X) = np .
c/ Phöông sai D(X) = npq .
Ñaëc bieät
ì M(X)=p
ï
X Î B(p) Þ ï
í , n = 1.
ï D(X)=pq
ï
î
4.3. X Î P(l )
M(X) = D(X) = l .
4.4. X Î N (m s
; 2
)
2
Mod[ X ] = M ( X ) = m D( X ) = s .
,
Chöông VI.
ÑÒNH LYÙ GIÔÙI HAÏN TRONG XAÙC SUAÁT
§1. Moät soá loaïi hoäi tuï trong xaùc suaát
1.1. Ñònh nghóa
Cho X vaø daõy {Xi}, i = 1;2;… laø caùc ñaïi löôïng
;n
ngaãu nhieân.
a/ Hoäi tuï haàu chaéc chaén
X n ¾ h¾.c¾ X Û P [ X n ® X ] = 1.
.c
®
b/ Hoäi tuï trung bình toaøn phöông
l2
Xn ¾ ¾ X Û M ê n
® é X - X )2 ù® 0.
(
ë ú
û
c/ Hoäi tuï theo xaùc suaát
X n ¾ ¾ X Û P éX n - X ³ eù® 0, " e > 0.
P
® ë û
1.2. Hoäi tuï theo phaân phoái
a/ Ñònh lyù lieân heä giöõa sieâu boäi vaø nhò thöùc
Neáu n coá ñònh, N taêng voâ haïn vaø
NA
® p (0 ¹ p ¹ 1) thì
N
P [ X = k ] = H (N, N A , n , k ) ® C n p q .
k k n- k
YÙ nghóa
Neáu n nhoû khoâng ñaùng keå so vôùi N thì
k n- k
CNA CN- NA NA
CNn
k k n- k
» Cn p q , p =
N
( )
k = 0, n .
b/ Ñònh lyù giôùi haïn Poisson
Neáu n ® ¥ , p ® 0, np ® l thì
- l k
k k n- k e l
Cn p q » .
k!
c/ Ñònh lyù giôùi haïn tích phaân Moivre – Laplace
Vôùi n ñuû lôùn, p khoâng quaù gaàn 0 vaø 1 thì
1
k k n- k
+ P[X = k] = C n p q » f (t ) , vôùi
npq
t2
1 -
2
k - np
f (t ) = e , t= .
2p npq
æ + h - np ö æ - np ö
çk
+P[k £ X £ k + h ] » j ç
÷ çk
÷- j ç ÷.
÷
ç ÷ ç ÷
ç
è npq ø è npq ÷
÷ ç ø
VD Trong 1 thaønh phoá coù 40% ngöôøi daân coù thu
nhaäp cao. Choïn ngaãu nhieân 300 ngöôøi (choïn töøng
ngöôøi). Tính xaùc suaát ñeå trong 300 ngöôøi ñöôïc choïn
a/ Coù 140 ngöôøi coù thu nhaäp cao.
b/ Coù khoaûng 100 – 140 ngöôøi thu nhaäp cao.
Giaûi
Ta coù n = 300, p = 0,4 vaø q = 0,6.
140 - 300.0, 4 20
a/ t = = » 2, 36
300.0, 4.0, 6 6 2
1 1
Þ P [ X = 140] = f (2, 36) » .0, 0246.
6 2 6 2
b/ P [100 £ X £ 140] » 0, 9818.
