Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
Chöùng minh raèng :
π 3π
1 π 1 1 π
1. ∫
4
dx 4. ln 2 < ∫ dx <
4 π
4 3 − 2 sin 2 x 2 0
1+ x x 4
3 π
cot g 1 1 1 π
2. ∫
3
dx 5. ∫ 2
dx
12 π
4 x 3 0 x + x+1 8
1 1
1 π π x π
3. ∫ dx
2 1
6. ∫ dx
2 0
1− x 6 6 18 0 x + x + x3 + 3
5 4
9 3
Baøi giaûi :
π 3π 1 1 1 1
1. x ⇒ sin x 1 ⇒ sin 2 x 1 ⇒ 1 2 sin 2 x 2 ⇒ 1 3 − 2 sin 2 x 2 ⇒ 1
4 4 2 2 2 3 − 2 sin 2 x
1 3π 3π
1 3π
π 3π
1 π
⇒ ∫π 4 dx ∫π 4 2
dx ∫ π 4 dx ⇒ ∫π 4 3 − 2 sin 2 xdx 2
4
2 4 4 3 − 2 sin x 4 4
1
π π 3 cot gx 1
3 cot gx 4 3 π3 π cot gx 4 π3
2. x dx ∫π 3 dx dx
π ∫π 4 π ∫π 4
⇒ ⇒ ⇒
4 3 3 1 4 π x π 4 x
π x π
3 π cot gx 1
∫π 4 x dx 3
3
⇒
12
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm.
1
3. 0 x < 1 ⇒ 0 x 6 .... x 2 < 1 ⇒ −1 − x 2 − x 6 0 ⇒ 0 1 − x 2 1 − x 6 1 ⇒ 1 − x 2 1 − x6 1
2
1 1 1 1
1
⇒1 ⇒ ∫ 2 dx ∫ 2 dx I
1− x 6
1− x 2 0 0
1 − x6
1
1 π π
Vôùi I = ∫ 2 dx Ñaët x = sin t ; t ∈ − ; ⇒ dx = cos tdt
0
1 - x2 2 2
x 0 1
2
1
cos tdt 1
π 1 1
1 π
⇒I=∫ 2 = ∫ 2 dt = Vaäy ∫0 1 − x 6 dx 6
2
t 0 π 0
1 − sin 2 t 0 6 2
6
4. 0 x 1 ⇒ x x 1 ⇒ x2 x x x ⇒ 1 + x2 1 + x x 1 + x
1 1 1
⇒ ( 1) ; ∀x ∈ [ 0,1]
x + 1 1 + x x 1 + x2
Daáu ñaúng thöùc trong (1) xaûy ra khi :
x = 0 VT(1) VG(1)
⇒ x∈∅
x = 1 VG(1) VP(1)
1 1 1 1 1 dx 1 1 π
Do ñoù : ∫ dx < ∫ dx < ∫ 2 ⇒ ln 2 < ∫ dx <
0 1+ x 0 x +1 4
0
1+ x x 0
1+ x x
1 1 π
Chuù yù : ∫ dx = Xem baøi taäp 5 .
0 1 + x2 4
1
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
1 1
5. 0 x 1 ⇒ x2 x ⇒ x2 + x2 x2 + x ⇒ 2 + 2 x2 x2 + x + 2 ⇒ 2 2
x + x+ 2 2( x + 1)
1 1 1 1 1 1 1
⇒∫
0 x + x+2
2
dx
2 ∫0 x2 + 1 dx ; I = ∫0 1 + x2 dx
1
Ñaët x = tgt ⇒ dx = dt = (1 + tg 2 t)dt
cos 2 t
x 0 1 π 1 + tg 2 t π π π 1 1 π
⇒I=∫ 4 dt = ∫ 4 dt = ⇒ I = Vaäy ∫ 2 dx
π 0 1 + tg t2
4 4 0 x + x+2 8
t 0 0
4
0 x5 x 3
6. 0 x 1 ⇒ ⇒ 0 x5 + x 4 2 x 3 ⇒ x3 + 3 x 5 + x4 + x3 + 3 3 x 3 + 3
0 x4 x 3
1 1 1 x x x
⇒ ⇒ 3
3x + 3
3
x + x + x3 + 3
5 4
x +33
3x + 3 x + x + x3 + 3
5 4
x +3
3
1 x 1 x 1 x
⇒∫ dx ∫ dx ∫ dx ( 1 )
0 3x + 3 3 0 x + x + x3 + 3
5 4 0 x +33
x 1 1 1 x x 0 1
° I1 = ∫ dx = ∫ 3 dx ; Ñaë t x = t 2 ;( t 0) ⇒ dx = 2 tdt
0 3 x3 + 3 3 0 x +1 t 0 1
1 1 2t 2 1 3 t 2 . dt t 0 1 2 1 du π
I1 = ∫ 6 dt = ∫ 3 2 Ñaët u = t 3 ⇒ du = 3t 2 dt ⇒ I1 = ∫ 2 =
3 0 t +1 9 0 (t ) + 1 u 0 1 9 0 u +1 18
π
Keát quaû : I = (baøi taäp 5)
4
1 x π 1 x
°I2 = ∫ 3 = (töông töï) Vaäy (1) ⇔ I1 ∫ 5 dx I2
0 x +3 0 x + x + x3 + 3
4
9 3
π 1 x π
18 ∫
0 x + x + x3 + 3
5 4
dx
9 3
π sin x .cos x π
1,Chöùng minh raèng : ∫ 2
dx
0
(1 + sin x ) (1 + cos x )
4 4
12
2.Neáu : I ( t ) = ∫
t tg 4 x π π (
2 tg 3t + 3 tgt
dx > 0 , ∀t ∈ 0 , ; thì : tg t + > e 3
)
0 cos 2 x 4 4
Baøi giaûi :
3 2 + cos2 x + sin2 x 2 + sin 4 x + cos 4 x
1. Ta coù : =
(1 + sin 4 x)(1 + cos4 x) (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x)
3 1 + sin 4 x + 1 + cos 4 x 1 1
⇒ = +
(1 + sin x)(1 + cos 4 x)
4
(1 + sin x)(1 + cos x) 1 + sin x 1 + cos 4 x
4 4 4
2
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
3 sin x. cos x sin x. cos x sin x. cos x sin x. cos x 1 sin 2 x sin 2 x
⇒ + ⇒ 1 + sin 4 x + 1 + cos 4 x
(1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 4
1 + sin x 4
1 + cos x (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 6
π
3 sin x. cos x 1 π 2 sin 2 x π
sin 2 x
⇒∫ 2
dx ∫0 1 + sin 4 x dx + ∫ 2 dx
0 (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x ) 6 0 1 + cos 4 x
π
sin 2 x
°J1 = ∫ 2 dx Ñaë t t = sin 2 x ⇒ dt = sin 2 xdx
0 1 + sin 4 x
x 0 π
2 ⇒ J = 1 dt = π (keát quaû I= π baøi taäp 5)
t 0 1 1 ∫0 t 2 + 1 4 4
π
sin 2 x
°J2 = ∫ 2 dx Ñaë t u = cos 2 x ⇒ du = − sin 2 xdx
0 1 + cos 4 x
x 0 π
2 1 du π π
⇒ J2 = ∫ 2 = (keát quaû I= baøi taäp 5)
u 1 0 0 u +1 4 4
π
sin x. cos x 1 π
sin x. cos x π
⇒∫ 2 dx ( I + J ) Vaäy ∫ 2 dx
0 (1 + sin 4 x)(1 + cos 4 x) 6 0 (1 + sin 4 x )(1 + cos 4 x) 12
dt
2. Ñaët t = tgx ⇒ dt = (1 + tg 2 x) dx ⇒ dx =
1 + t2
tgt
tgt t 4 dt tgt t 4 dt tgt 2 1 1 3 1 t-1 1 3 1 tgt - 1
I =∫
t 0 1 - t 2 . 1 + t 2 = ∫0 1 - t 2 = ∫0 -t - 1 + 1 - t 2 dt = - 3 t - t - 2 ln t + 1 0 = - 3 tg t - tgt - 2 ln tgt + 1
2
1+t
Vì
1 1 tgt - 1
I > 0 neân : - tg 3 t - tgt - ln >0
(t) 3 2 tgt + 1
3 2
tg t + 3 tgt
1 tgt − 1 1 π 1 π
⇔ ln = ln tg t + > tg 3 t + tgt ⇒ tg t + > e 3
2 tgt + 1 2 4 3 4
x2 1 1 1
1. I n = Chöùng minh : ≤ ∫ In dx ≤ vaø lim In dx = 0
x +1 2( n + 1) 0 n+1 n→+∞
1 2
2. J n = x n ( 1 + e-x ) Chöùng minh : 0 < ∫ J n dx vaø lim J n dx = 0
0 n +1 n→+∞
Baøi giaûi :
1 1 xn xn 1 1 1 xn 1
1. 0 x 1 ⇒ 1 x + 1 2 ⇒ 1 ; x n ⇒ ∫ x n dx ∫0 x + 1dx ∫ x n dx
2 x +1 2 x +1 2 0 0
1 1
x n+1 1 xn x n+1 1 1 xn 1
⇒
2 ( n + 1) ∫0 x + 1dx n +1 0
⇒
2 ( n +1) ∫0 x + 1dx n +1
0
3
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
1
n→∞ 2 ( n + 1) = 0
lim
xn
Ta coù : ⇒ lim =0
n→∞ x + 1
lim 1 = 0
n→∞ n + 1
2. 0 x 1⇒ 0 e− x e0 = 1 ⇒ 1 1 + e− x 2 ⇒ xn x n (1 + e − x ) 2. x n hay 0 x n (1 + e − x ) 2 xn
1 n
(1 + e x ) dx x n (1 + e − x ) dx
2
1 1
∫ 2∫ x ndx ⇒ 0 ∫
−
⇒0 x
0 0 0 n +1
⇒ lim xn (1 + e− x ) dx = 0
2
Ta coù : lim =0
n→∞ n + 1 n→∞
Chöùng minh raèng :
π 2
1. ∫ π cos x(4 − 3 cos x)(2 cos x + 2)dx ≤ 8π 2. ∫
2
ln x(9 − 3 ln x − 2 ln x)dx ≤ 8(e − 1)
- 2 1
π
2π π
49π
3. ∫π 4. ∫
3 4
sin x(1 + 2 sin x )(5 − 3 sin x)dx < tgx(7 − 4 tgx)dx ≤
4 3 0 64
π 243π
5. ∫ sin 4 x. cos6 xdx ≤
0 6250
Baøi giaûi :
Ñaët f(x) = cosx(4 - 3 cosx )(2 cosx + 2)
3
cos x + 4 − 3 cos x + 2 cos x + 2
=8
cauchy
f(x)
3
π π π
2 2 2
⇒∫ f(x)dx 8∫ dx ⇒ ∫ cos x(4 − 3 cos x )(2 cos x + 2)dx 8π
−π −π −π
2 2 2
2. Ñaët f ( x) = ln x (9 − 3 ln x − 2 ln x) = ln x (3 + ln x )(3 − 2 ln x )
3
ln x + 3 + ln x + 3 − 2 ln x
f ( x)
=8
3
e e e
⇒∫ f ( x) dx 8∫ dx ⇒ ∫ ln x (9 − 3 ln x − 2 ln x) dx 8( e −1)
1 1 1
3
sin x + 1 + 2 sin x + 5 − 3 sin x
3. Ñaët f ( x) = sin x (1 + 2 sin x)(5 − 3 sin x ) ; f(x)
8
3
sin x = 1 + 2 sin x
sin x = −1
Ñaúng thöùc ⇔ ⇔ ⇔ x∈∅
sin x = 5 − 3 sin x
4 sin x = 5
π π π
2π
⇒ f(x) < 8 ⇒ ∫ f(x)dx < 8∫ ⇒∫
3 3 3
dx sin x(1 + 2 sin x )(5 − 3 sin x)dx <
π
4
π
4
π
4 3
1
4. Ñaët f(x) = tgx(7 − 4 tgx) = .4 tgx( 7 − 4 tgx)
4
4
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
2
1 4 tgx + 7 − 4 tgx 49
f ( x) ≤ =
4 2 16
∏
49 ∏ 4 ∏
49 ∏
⇒ ∫ 4 f ( x ) dx
0 16 ∫0
dx ⇒ ∫ 4 tgx 7 − 4 tgx dx
0
( ) 16
5. sin 4 x.cos 6 x = (1 − cos 2 x).(1 − cos 2 x).cos 2 x . cos 2 x . cos 2 x
1
= (2 − 2 cos 2 x)(1 − cos 2 x).cos 2 x.cos 2 x.cos 2 x
2
5
1 2 − 2 cos 2 x + 1 − cos 2 x + cos 2 x + cos 2 x + cos 2 x
≤
2 5
243 ∏ 243 ∏
⇒ sin 4 x.cos 6 x ≤ ⇒ ∫ sin 4 x.cos 6 xdx ≤
6250 0 6250
Chöùng minh raèng :
( ) 5∏ 2
∏
∫ cos 2 x + 3sin 2 x + sin 2 x + 3cos 2 x dx
2
1.
−∏ 3 3
2. ∫
1
e
( 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x dx ) 4 ( e − 1)
∏ 3 cos x + sin x ∏
3. −
4 ∫ x2 + 4
dx
4
Baøi giaûi :
1. Ñaët f ( x ) = 1 cos 2 x + 3sin 2 x + 1. sin 2 x + 3cos 2 x
f 2( x ) 2 ( cos 2 x + 3sin 2 x + 3cos 2 x + sin 2 x ) ⇒ f ( x ) 2 2
( )
∏ ∏ ∏
5∏ 2
⇒ ∫ ∏2 f ( x ) dx 2 2 ∫ ∏2 dx ⇒ ∫ ∏2 cos 2 x + 3sin 2 x + sin 2 x + 3cos 2 x dx
− − − 3
3 3 3
2. Ñaët f ( x ) = 1 3 + 2 ln 2 x + 1 5 − 2 ln 2 x
f ( x ) 2 ≤ 2 ( 3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x ) ⇒ f ( x ) ≤ 4
e
⇒ ∫ f ( x ) dx 4 ∫ dx ⇒ ∫
1
e
1
e
(
3 + 2 ln 2 x + 5 − 2 ln 2 x dx ≤ 4 ( e − 1)
1 )
3. 3 cos x + sin x ≤ ( 3)2 + 1 ( cos 2 x + sin 2 x )
3 cos x + sin x 2 2 3 cos x + sin x 2 dx
⇒ ≤ ⇒∫ ≤ 2∫
x +4
2
x2 + 4 0 x +4
2 0 x +4
2
5
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
Ñaët x = 2tgt ⇒ dx = 2 (1 + tg 2 t ) dt
x 0 1 2 dx ∏ 2 (1 + tg 2t ) 1 ∏ ∏
⇒∫ =∫ 4 dt = ∫ 4 dt =
∏ x +4 4 (1 + tg t )
2 2
t 0 0 0 2 0 8
4
2 3 cos x + sin x ∏ ∏ 2 3 cos x + sin x ∏
⇒∫ dx ⇒− ∫ dx
0 x +4
2
4 4 0 x2 + 4 4
ÑAÙNH GIAÙ TÍCH PHAÂN DÖÏA VAØO TAÄP GIAÙ TRÒ
CUÛA HAØM DÖÔÙI DAÁU TÍCH PHAÂN
Chöùng minh raèng :
∏ ∏ ∏
sin x ∏ sin x
1.∫ 4
sin 2 xdx ≤ 2∫ 4
cos xdx 4..∫ 2
dx > ∫∏ dx
0 0 0 x 2 x
∏ ∏ 2 2
2.∫ 2
sin 2 xdx 2∫ 2
sin xdx 5. ∫ (ln x) 2 dx < ∫ ln xdx
0 0 1 1
2 x −1 2x − 12 ∏ ∏
3.∫ dx < ∫ dx 6. ∫ 4
sin xdx < ∫ 4
cos xdx
1 x 1 x +1 0 0
Baøi giaûi :
∏ 0 ≤ sin x ≤ 1
1.∀x ∈ 0; ⇒
⇒ 2sin x.cos x ≤ 2 cos x
4 0 ≤ cos x ≤ 1
∏ ∏
4 4
⇔ sin 2 x ≤ 2 cos x ⇒∫ sin 2 xdx ≤ 2 ∫ cos xdx
0 0
6
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
∏ cos x ≤ 1
2. ∀x ∈ 0; ⇒
⇒ 2 sin 2 x.cos x ≤ 2sin x
2 0 ≤ sin x
∏ ∏
2 2
⇔ sin 2 x ≤ 2sin x ⇒ ∫ sin 2 xdx ≤ 2 ∫ sin xdx
0 0
x -1 2 x − 1 −x 2 + x − 1
3. ∀x ∈ [ 1;2 ] Xeùt hieäu :
− = 0 ⇒ < ⇒∫ dx < ∫ dx
∏−x x 0 ∏−x ∏ x
2 sin x
∏ ∏ sin x
⇒∫ dx > ∫∏ dx
0 x 2 x
5. Haøm soá y = f(x) = lnx lieân tuïc treân [1,2] neân y = g(x) = (lnx)2 cuõng lieân tuïc treân [1,2]
1 x 2 ⇒ 0 ln x ln 2 < 1 (*) ⇒ 0 (ln x )2 < ln x
2 2
∀x ∈ [ 1,2 ] ⇒ ∫ (ln x )2 dx < ∫ ln xdx
1 1
Chuù yù : daáu ñaúng thöùc (*) xaûy ra taïi x0 = 1⊂ [1,2]
∏ ∏ sin x
6. 0 < x < ⇒ 0 < tgx < tg = 1 ⇔ Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
Baøi Giaûi:
1. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x 2 ≤ 1 ⇒ 4 ≤ x 2 + 4 ≤ 5 ⇒ 2 x2 + 4 ≤ 5
1 1 1 1
⇒ 2 ∫ dx ≤ ∫ x 2 + 4 dx ≤ 5 ∫ dx ⇒ 2 ≤ ∫ x 2 + 4 dx ≤ 5
0 0 0 0
2. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x 8 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ x 8 + 1 ≤ 2
1 1
⇒ 0 ≤ x8 + 1 ≤ 2 ⇒ ≤1
≤
2
x8 + 1
1 1 1 dx 1 1 1 dx
⇒ ∫ dx ≤ ∫ ≤ ∫ dx ⇒ ≤∫ ≤1
2 0 0
x8 + 1 0
2 0
x8 + 1
3. 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 1 x10 + 1 2 ⇒1 3
x10 + 1 3
2
1 1 x 25
x 25
⇒ 1⇔ x 25
3
2 3
x +1
10 3
2 3
x +110
1 1 1 x 25
1 1 1 x 25 1
⇒ ∫ x 25 dx ∫ dx ∫ x 25 dx ⇒ ∫ dx
3
2 0 0 3
x +1
10 0
26 23 0 3
x +1
10 26
x sin x x
4. Tröôùc heát ta chöùng minh : ;(1) ∀x ∈ [ 0,1] .
1 + x sin x 1+ x
Giaû söû ta coù : (1).
1 1 1 1
(1) ⇔ 1 − 1− ; ∀x [ 0.1] ⇔
1 + x sin x 1+ x 1 + x sin x 1 + x
⇔ 1 + x 1 + x.sin x ⇔ x (1 − sin x ) 0 ñuùng ∀x ∈ [ 0,1]
1x sin x 1 x 1 1
(1) ⇔ ∫ dx ∫ dx = ∫ 1 −
dx
0 x + x sin x 0 1+ x 1+ x
0
1 x .sin x 1
Vaäy (1) ñaúng thöùc ñuùng , khi ñoù: ⇔∫ dx ( x − ln 1 + x ) = 1 − ln 2
0 1 + x sin x 0
1 x.sin x
⇒∫ dx 1 − ln 2.
0 1 + x .sin x
1 1
0 < e− x = x e− x sin x
1, 3 ⊂ ( 0, ∏ ) ⇒
5. x ∈ e e⇒0< 2 <
1
0 < sin x < 1 x +1 e ( x + 1)
2
3 e − x sin x 1 3 dx 1 3 dx
⇒0Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
x 1 3
⇒ Ι = ∫∏
∏ (1 + tg t )dt =
2
∏ ∏ ∏
∫∏ 4 dt = t =
3 3 3
∏
t ∏ ∏ 4 1 + tg t 2
4 12
4 4
3 e − x sin x ∏
Vaäy 0 < ∫ dx <
1 x +1
2
12e
6. 0 x 1⇒ 0 x3 x2 ⇒ − x2 − x3 0
⇒ 4 − 2x2 4 − x 2 − x3 4 − x2
⇒ 4 − 2x2 4 − x2 − x3 4 − x2
1 1 1
⇒
4 − 2x2 4− x −x 2 3
4 − x2
1 1 1 1 1 1
⇒I =∫ dx ∫ dx ∫ dx = J
0
4 − x2 0
4 − x2 − x3 0
4 − 2 x2
Ñaët x = 2sin t ⇒ dx = 2 cos tdt
x 0 1 ∏ 2 cos tdt ∏ ∏
⇒I =∫ 6 = ∫ 6 dt =
t 0 ∏ 0
4 − ( 2sin t )
2 0 6
6
Ñaët x = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt
x 0 1
t 0 ∏
4
∏
∏ 2 cos tdt 2
4
∏ 2
⇒J =∫ 4
= =
( ) 2 8
0 2
4−2 2 sin t 0
∏ 1 dx ∏ 2
⇒ ≤∫ ≤
6 0
4 − x 2 − x3 8
Chöùng minh raèng :
e −1 1 − x2 ∏ ∏
1 ∏ 6
1. ∫0 e dx 1 3. ≤ ∫ 2 1 + sin 2 x .dx ≤
e 2 0 2 4
∏ ∏ ∏ 1 1
sin 2 x
2. ∫0 2 e dx 2 e 4. 0.88 < ∫ dx < 1
2 0
1 + x4
Baøi giaûi :
9
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
1.°0 x 1 ⇒ 0 x 2 x 1 ⇒ 0 < e x
2
ex
1 1
e− x (1)
2
⇒ x2 x
⇔ e− x
e e
°x 2 1( 2 )
2 2
0 ⇒ ex e0 = 1 ⇒ e− x
Töø (1) vaø (2) suy ra : e − x
2
1 e− x
1 1 1 e −1 1
⇒ ∫ e − x dx ∫e ∫0 dx ⇒ e ∫e
2
− x2 − x2
dx dx 1
0 0 0
2
2. 0 sin 2 x 1⇒1 esin x
e
∏ ∏ ∏
∏ ∏
∏
⇒∫ ∫ e.∫ ∫
2 2
2
dx 2
esin x dx 2
dx ⇒ 2
esin x dx e
0 0 0 2 0 2
1 2 1 1 3
3. 0 sin 2 x 1⇒ 0 sin x ⇒1 1 + sin 2 x
2 2 2 2
∏ ∏
1 3 ∏2 ∏ ∏
1 ∏ 6
⇒∫ 2
dx ∫
2
1 + sin 2 x dx ∫0 dx ⇒ 2 ∫
2
1 + sin 2 x .dx
0 0 2 2 0 2 4
4. Caùch 1:
1 1
∀x ∈ ( 0,1) thì x 4 < x 2 ⇒ 1 + x 4 < 1 + x 2 ⇒ >
1+ x 4
1 + x2
( )
1
1 1 1 1
⇒∫ dx > ∫ dx = ln x + 1 + x 2 = ln 1 + 2 > 0,88
0 0
1 + x4 1 + x2 0
1 1 1
Maët khaùc : 1 + x 4 > 1 ⇒ ⇒∫ dx > I
1+ x 4
1+ x 2 0
1 + x4
1 1
Vôùi : I = ∫ dx
0
1 + x2
dt = (1 + tg 2t ) dt
1
Ñaët x = tgt ⇒ dx =
cos 2
10
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
x 0 1
I =∫
(1 + tg t ) dt =
∏
2
∏
1
∫
4 4
dt
∏
t 0
4 (1 + tg t )
0 2 0 cos t
∏
cos t
I =∫ 4
dt
0 1 − sin 2 t
t 0 ∏
Ñaët u = sin t ⇒ du = cos tdt 4
u 0 1
2
1
du 1 1
1− u + u +1 1 1
1 1
I =∫ 2
= ∫ 2
du = ∫ 2
+ du
0 1− u 2
2 0 (1 − u )(1 + u ) 2 0 1+ u 1− u
1
1 1 1 1 1 1 1 1+ u 2
= ∫ 2 du + ∫ 2 du = ln
2 0 1+ u 2 0 1− u 2 1− u 0
1 2+ 2 1 1
I= ln > 0,88 ⇒ ∫ dx > 0,88
2 2− 2 0
1 + x4
1
Maët khaùc :1 + x 4 > 1 ⇒ Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
Ta coù :
α α
0 ∫ 0
x tgx dx
xdx ∫ 0
β β
∏ ∏
0 < ∫ x tgx dx < ∫ xdx ⇒ 0 ∫
4
x tgx dx < ∫ 4
xdx
α α 0 0
∏ ∏
0 ∫ x tgx dx ∫ xdx
4 4
β β
∏
∏ 2
⇒ 0 < ∫ 4 x tgx dx <
0 32
α β
Chuù yù : (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì
b b
∫ a
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f( x ) dx
b α β
Tuy nhieân neáu : m f( x ) M thì :
b b b b
m ∫ dx ∫ f( x ) dx M ∫ dx ⇒ m ( b − a ) ∫ f( x ) dx M (b − a )
a a a a
Nhöng (α , β ) ⊂ [ a, b ] thì m ∫ dx < ∫ f( x ) dx < M ∫ f( x ) dx
b b b
a a a
(Ñaây laø phaàn maéc phaûi sai laàm phoå bieán nhaát )Do chöa hieåu heát yù nghóa haøm soá f( x ) chöùa (α , β ) lieân
tuïc [ a, b ] maø (α , β ) ⊂ [ a, b ] )
cos nx
1 1 cos nx 1 cos nx 1 1 1
2. ∫0 1 + x dx ∫ 0 1+ x
dx = ∫
0 1+ x
dx ∫0 1 + x = ln 1 + x 0 = ln 2
1cos nx
⇒ ∫ 0 1+ x
dx ln 2
e − x e −1 = 1
3. 1 x 3⇒ e
sin x 1
1
3 e− x .sin x 3 e − x .sin x 3
e dx
⇒ ∫ 1 1 + x2
dx ∫ 1 + x2
dx ∫
1 1 + x2
3 e− x .sin x 1 3 1
⇒ ∫ dx .I vôùi I = ∫ dx
1 1 + x2 e 1 1 + x2
Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt
x 1 3
⇒ Ι = ∫∏
∏ (1 + tg t )dt =
2
∏
∏
∫ dt =
3 3
t ∏ ∏ 4 1 + tg t 4
2 ∏
12
4 3
−x
3 e .sin x ∏
⇒ ∫ dx (*) (Caùch 2 xem baøi 4 döôùi ñaây )
1 1+ x 12e
Ñaúng thöùc xaûy ra khi :
12
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
e − x = e −1 x = 1
⇔ ⇒ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3
sin x = 1 sin x = 1
−x
3 e .sin x ∏
Vaäy : ∫ dx <
1 1+ x 2
12e
Xem laïi chuù yù treân , ñaây laø phaàn sai laàm thöôøng maéc phaûi khoâng ít ngöôøi ñaõ voäi keát luaän ñaúng thöùc (*)
ñuùng . Thaät voâ lyù
3 e− x cos x 3 e − x cos x 3 e− x
4. ∫
1 1 + x2
dx ∫1 1 + x2
dx ∫
1 1 + x2
dx
Do y = e− x giaûm ⇒ max ( e− x ) = e −1 =
1
e
3 e− x cos x 1 3 1 ∏
⇒ ∫ dx ∫1 1 + x 2 dx = 12e ;do I baøi 3
1 1 + x2 e
Daáu ñaúng thöùc :
e− x = e −1 x = 1
⇔ ⇔ x ∈ ∅, ∀x ∈ 1, 3
cos x = 1 cos x = 1
3 e − x cos x ∏
Vaäy ∫ dx <
1 1+ x 2
12e
u = 1
du = − 1 x 2 dx
5. Ñaët x ⇒
dv = cos xdx
v = sin x
200 ∏
200 ∏ cos x 1 200 ∏ sin x
⇒∫ dx = sin x +∫ dx
100 ∏ x x 100 ∏
100 ∏ x2
200 ∏
cos x
200 ∏ 200 ∏ 1 1 1
⇒∫ dx ∫ dx = − =
100 ∏ x 100 ∏ x 2
x 100 ∏ 200 ∏
200 ∏ cos x 1
Vaäy ∫ dx
100 ∏
x 200 ∏
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöong phaùp ñaïo haøm .
13
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
1 ex e
6. 0 x 1⇒1 ex e⇒
(1 + x ) (1 + x ) (1 + x )
n n n
1 1 1 ex 1 1
⇒∫ dx ∫ (1 + x ) dx e∫ dx
(1 + x ) (1 + x )
0 n 0 n 0 n
1− n 1 1− n 1
( x + 1) 1 ex ( x + 1)
⇔
1− n ∫ (1 + x )
0 n
dx e.
1− n
0 0
1 1 1 e x
e 1
Vaäy : 1 − n −1 ∫ (1 + x ) dx 1 − n −1 ; n > 1
n −1 2 0 n
n −1 2
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp nhò thöùc Newton .
Chöùng minh raèng : neáu f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá lieân tuïc vaø x xaùc ñònh treân [a,b] , thì ta coù :
(∫ )
b 2 b b
a
f ( x ) .g( x ) .dx ∫a
f 2( x ) dx . ∫ g 2( x ) dx
a
Caùch 1 :
Cho caùc soá α1 , tuyø yù i ∈ 1, n ta coù : ( )
(α 2
1 + α 2 2 + ... + α 2 n )( β 21 + β 2 2 + ... + β 2 n ) (α1β1 + α 2 β 2 + ... + α n β n ) (1)
α1 α 2 α
Ñaúng thöùc (1) xaûy ra khi : = = ... n
β1 β 2 βn
Thaät vaäy : phaân hoaïch [a,b] thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia :
a = x0 < x1 < x2 < …. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
(∫ )
b 2 b b
Töø (5) ⇒ f ( x).g ( x)dx ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx
a a a
Caùch 2 : ∀t ∈ R + ta coù :
0 [tf ( x) − g ( x) ] = t 2 f 2 ( x) − 2.t. f ( x).g ( x) + g 2 ( x)
2
b b b
⇒ h(t ) = t 2 ∫ f 2 ( x)dx − 2t ∫ f ( x).g ( x)dx + ∫ g 2 ( x)dx 0
a a a
h(t) laø 1 tam thöùc baäc 2 luoân khoâng aâm neân caàn phaûi coù ñieàu kieän :
ah = t > 0
2
⇔ ∆ 'h 0
∆ h 0
2
⇔ ∫ f ( x).g ( x)dx − ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ≤ 0
b b b
a
a a
(∫ )
b 2 b b
⇒
a
f ( x).g ( x)dx ∫ a
f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx
a
Chöùng minh raèng :
1
(e − 1) e x −
x
1 5 3. e x − 1 < ∫ e2 t + e− t dt < x
1. ∫ 1 + x3 dx <
0 2 0
2
1 3∏ 1 3cos x − 4sin x 5∏
2. ∫ esin
2
x
dx > 4. ∫ dx
0 2 0 1 + x2 4
Baøi giaûi :
(∫ )
b 2 b b
1. Ta coù : f ( x).g ( x)dx ∫ f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx ( ñaõ chöùng minh baøi tröôùc )
a a a
b b b
⇒ ∫ a
f ( x).g ( x)dx ∫ a
f 2 ( x)dx . ∫ a
g 2 ( x)dx
1 + x3 = (1 + x ) . (1 − x + x 2 ) = (1 + x ) . (1 − x + x ) 2
(1 − x + x ) dx < ∫ (1 + x ) dx ∫ ( x − x + 1) dx
1 1 1 1
⇒ ∫ 1 + x3 dx = ∫
0 0
(1 + x ) 2
0 0
2
1
1
1 x2 x3 x 2 5
∫0
1 + x3 dx < + x
2 0
3
−
2
+ x =
2
0
1 5
⇒ ∫ 1 + x3 dx <
0 2
∏ ∏ ∏
2. ∫ esin dx = ∫ dx + ∫
2 2 2
x 2
esin x 2
esin x
dx
0 0 0
x ∏ ∏
x 2
Ñaët t = + t ⇒ dx = dt
2 t 0 ∏
2
15
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
⇒ ∫ esin
∏ 2
x
∏
dx = ∫ 2 esin x dx + ∫
2
∏
2
e
(
sin 2 ∏ + t
2 ) dt
0 0 0
∏ ∏ ∏
=∫ dx + ∫ ecos x dx = 2∫
2 2 2
2 2 2
esin x
esin x dx
0 0 0
∏ 2 ∏ 2
sin 2 x cos 2 x
Ta laïi coù ∫ 2
edx = ∫ 2 e 2 .e 2
dx
0 0
∏ ∏
2 2
e =∏ e ; e >
0 2 0 2
∏ 3
⇒ ∫ esin x dx >
2
0 2
Chuù yù : baøi naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm .
x x t
3. ∫ e 2t + e − t dt = ∫ e 2
et + e−2t dt
0 0
(∫ )
2
∫ e dt ∫ ( e + e −2t )dt
x t t t
e 2
et + e−2t dt t t
0 0 0
vi ( ∫ f ( x).g ( x)dx )
b 2 b b
a ∫ a
f 2 ( x)dx . ∫ g 2 ( x)dx
a
⇒ ( ∫ e + e dt )
2
x 1
(e − 1) e x − − 2 x
1 1
< ( e − 1) e −
x
2t −t x x
o
2 e 2
1
(e − 1) e x − (1)
1
⇒∫ e 2t + e − t dt x
0
2
Maët khaùc : e 2t + e − t > et ; ∀0 < t < x
x x
⇒∫ e2t + e− t dt > ∫ et dt = e x − 1 (2)
0 0
1
(e − 1) e x −
x
Töø (1) vaø (2) suy ra : e x − 1 < ∫ e 2t + e − t dt < x
0
2
3cos x − 4sin x 1 32 + ( −4 )2 sin 2 x + cos 2 x = 5
4.
1 + x2 1 + x2 x2 + 1
1 3cos x − 4sin x 1 3cos x − 4sin x 1 1
⇒ ∫ 0 1 + x2
dx ∫
0 1 + x2
dx 5∫
0 1 + x2
dx
Ñaët x = tgt ⇒ dx = (1 + tg 2t ) dt
16
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
1 (1 + tg t )
2
x 0 1 1 1 1 ∏
⇒∫ dx = ∫ dt = ∫ dt =
t 0 ∏ 0 1+ x 2 0 1 + tg t2 0 4
4
1 3cos x − 4sin x 5∏
⇒ 4. ∫ dx
0 1+ x 2
4
Chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân baèng phöông phaùp ñaïo haøm.
Chöùng minh raèng :
∫ ( ) ( )
11 ∏ ∏
∏ 2
x+7 + 11 − x dx ∫ ( sin x + cos x )dx
4
1. 54 2 108
−7
4 0 4
2. 0 < ∫ x (1 − x 2 )dx <
1 4 e 3∏
4. ∫ esin x dx >
2
0 27 0 2
Baøi giaûi :
1. Xeùt f ( x ) = ( ) (
x+7 + )
11 − x ; x ∈ [ −7,11]
11 − x − x + 7
f '( x) = ⇒ f '( x) = 0 ⇔ x = 2
2 11 − x x + 7
x -7 2 11
f’(x) + 0 -
f(x) 6
ր ց
3 2 3 2
11 11 11
⇒3 2 f ( x) 6 ⇒ 3 2 ∫ dx ∫ f ( x ) dx 6 ∫ dx
−7 −7 −7
∫ ( )
11
⇒ 54 2 x + 7 + 11 − x dx 108
−7
2. Xeùt haøm soá : f(x) = x(1-x2) ; ∀x ∈ [ 0,1] ⇒ f ' ( x) = 3x 2 - 4 x + 1
1
⇒ f’(x)=0 ⇔ x = ∨ x =1
3
x -∞ 0 1 1 +∞
3
f’(x) + 0 -
f(x) 4
27
ր ց
0 0
17
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
4
⇒0 f ( x)
27
va
( 3 3 )(
∃x ∈ 0, 1 ; 1 , 0 ⇒ 0 < f < 4
( x) 27 )
f (0) = f (1) = 0
1 4 1 1 4
⇒ 0 < ∫ f ( x)dx < ∫0 dx ⇒ 0 < ∫0 f ( x)dx < 27
0 27
3. Xeùt haøm soá :
∏ ∏
f ( x) = sin x + cos x = 2 sin x + ; x ∈ 0,
4 4
∏ ∏
f ' ( x) = 2 cos x + 0 , ∀x ∈ 0,
4 4
∏
⇒ f(x) laø haøm soá taêng ∀x ∈ 0, ⇒ f ( 0) f( x ) f ∏
4 ( 4)
∏ ∏
∏ 2
⇒ 1 sin x + cos x 2⇒ ∫0 ( sin x + cos x )dx 4
4
4
4. Nhaän xeùt ∀x > 0 thì e x > 1 + x ( ñaây laø baøi taäp Sgk phaàn chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng pp ñaïo haøm)
Xeùt f (t ) = et − 1 − t ; t 0 ⇒ f '(t ) = et − 1 > 0 ; ∀t > 0
⇒ haøm soá f(t) ñoàng bieán ∀t 0
Vì x > 0 neân f(x) > f(0) = 0 ⇒ e x − 1 − x > 0 ⇔ e x > 1 + x (1)
Do vaäy : ∀x ∈ ( 0, ∏ ) thi esin ( do(1) )
2
x
> 1 + sin 2 x
1 − cos 2 x
⇒ ∫ esin x dx > ∫ (1 + sin 2 x )dx = ∏ + ∫
∏ 2 ∏ ∏
dx
0 0 0 2
∏ 3∏
⇒ ∫ esin x dx >
2
0 2
Chöùng minh raèng :
2 x 1 ∏
2 3 3 cot gx 1
1.
5 ∫1 x2 + 1dx 2 4.
12 ∫∏ 6 x dx 3
∏
3 3 sin x 1 2 1 1 1
2. ∫∏ 4 x dx 2 5. < ∫ dx <
4 3 0 2 + x − x2 2
∏ 3 2∏ 3
( )
1
∏ 1 6. 2 4 2 < ∫ 1 + x + 4 1 − x dx < 4
∫
4
3. dx −1
3 0
cos x + cos x + 1
2 3
Baøi giaûi :
18
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
x 1 − x2
1. Xeùt : f ( x ) = ; x ∈ [1, 2] . coù f '( x ) = 0 ; ∀x ∈ [1, 2]
x +1 (1 + x 2 )
2 2
⇒ haøm soá nghòch bieán ∀x ∈ [1, 2] ⇒ f( 2) f( x ) f (1)
2 x 1 2 2 2 x 1 2
⇒ ∫ dx ∫ 2 ∫1
⇒ dx dx
5 x +1 2
2
5 1 1 x +1
2
2 2 x 1
⇒
5 ∫1 x 2 + 1 2
sin x ∏ ∏ x.cos x − sin x
2. Xeùt f ( x ) = ; ∀x ∈ ; ⇒ f '( x ) =
x 6 3 x2
∏ ∏
Ñaët Z = x.cos x − sin x ⇒ Z ' = − x x < 0 ; ∀x ∈ ;
6 3
∏ ∏
⇒ Z ñoàng bieán treân ∀x ∈ ; vaø :
6 3
∏ −3 3 ∏ ∏
Z Z∏ = < 0 ; ∀x ∈ ;
( 3) 6 6 3
∏ ∏
⇒ f '( x ) < 0 ; ∀x ∈ ;
6 3
x -∞ ∏ ∏ +∞
6 3
f’(x) −
f(x) ∏
3
ց
3 3
2∏
3 3 3
⇒ f( X )
2∏ ∏
3 3 sin x 3
hay :
2∏ x ∏
3 3 ∏3 ∏
sin x 3 ∏3 3 ∏
sin x 1
2 ∏ ∫∏ 6 ∫ ∫∏ 6 dx ⇒ 4 ∫
⇒ dx ∏
3
dx ∏
3
dx
6 x ∏ 6 x 2
3. Ñaët t = cos x ; x ∈ [ 0, ∏ ] ⇒ t ∈ [ −1,1]
vaø f (t ) = t 2 + t + 1; t ∈ [ −1,1]
19
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân
1
f '(t ) = 2t + 1; f '( t ) = 0 ⇔ t = −
2
t - ∞ -1 −1 1 +∞
2
f’(t) − 0 +
f(t) 1 3
ց ր
3
4
3
⇒ f(t ) 3 ; ∀t ∈ [ −1,1]
4
3
⇒ cos 2 x + cos x + 1 3 ; ∀x ∈ [ 0, ∏ ]
4
3 1 1 2
hay cos 2 x + cos x + 1 3 ⇒
2 3 cos 2 x + cos x + 1 3
1 ∏ ∏ 1 2 ∏
⇒ ∫ dx
3 0
∫
0 cos x + cos x + 1
2
dx ∫ dx
3 0
∏ 3 ∏ 1 2∏ 3
⇒
3 ∫
cos x + cos x + 1
0 2
dx
3
Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân phaûi laø :
∏ 3 ∏ 1 2∏ 3
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