Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác
Chương 3 :
Áp d ng vào m t s v n ñ khác
“Có h c thì ph i có hành”
Sau khi ñã xem xét các b t ñ ng th c lư ng giác cùng các phương pháp ch ng minh
thì ta ph i bi t v n d ng nh ng k t qu ñó vào các v n ñ khác.
Trong các chương trư c ta có các ví d v b t ñ ng th c lư ng giác mà d u b ng
thư ng x y ra trư ng h p ñ c bi t : tam giác ñ u, cân hay vuông …Vì th l i phát sinh
ra m t d ng bài m i : ñ nh tính tam giác d a vào ñi u ki n cho trư c.
M t khác v i nh ng k t qu c a các chương trư c ta cũng có th d n ñ n d ng toán
tìm c c tr lư ng giác nh b t ñ ng th c. D ng bài này r t hay : k t qu ñư c “gi u” ñi,
b t bu c ngư i làm ph i t “mò m m” ñi tìm ñáp án cho riêng mình. Công vi c ñó th t
thú v ! Và t t nhiên mu n gi i quy t t t v n ñ này thì ta c n có m t “v n” b t ñ ng th c
“kha khá”.
Bây gi chúng ta s cùng ki m tra hi u qu c a các b t ñ ng th c lư ng giác trong
chương 3 : “Áp d ng vào m t s v n ñ khác”
M cl c:
3.1. ð nh tính tam giác…………………………………………………………67
3.1.1. Tam giác ñ u…………………………………………………………..67
3.1.2. Tam giác cân…………………………………………………………..70
3.1.3. Tam giác vuông………………………………………………………..72
3.2. C c tr lư ng giác……………………………………………………….....73
3.3. Bài t p……………………………………………………………………...76
The Inequalities Trigonometry 66
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác
3.1. ð nh tính tam giác :
3.1.1. Tam giác ñ u :
Tam giác ñ u có th nói là tam giác ñ p nh t trong các tam giác. nó ta có ñư c s
ñ ng nh t gi a các tính ch t c a các ñư ng cao, ñư ng trung tuy n, ñư ng phân giác,
tâm ngo i ti p, tâm n i ti p, tâm bàng ti p tam giác … Và các d ki n ñó l i cũng trùng
h p v i ñi u ki n x y ra d u b ng các b t ñ ng th c lư ng giác ñ i x ng trong tam
giác. Do ñó sau khi gi i ñư c các b t ñ ng th c lư ng giác thì ta c n ph i nghĩ ñ n vi c
v n d ng nó tr thành m t phương pháp khi nh n d ng tam giác ñ u.
Ví d 3.1.1.1.
9
CMR ∆ABC ñ u khi th a : ma + mb + mc = R
2
L i gi i :
Theo BCS ta có :
(
(ma + mb + mc )2 ≤ 3 ma 2 + mb 2 + mc 2 )
9 2
⇔ (ma + mb + mc ) ≤
2
4
(
a + b2 + c2 )
2
(
⇔ (ma + mb + mc ) ≤ 9 R 2 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C )
9
mà : sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤
4
9 81
⇒ (ma + mb + mc ) ≤ 9 R 2 ⋅ = R 2
2
4 4
9
⇒ m a + mb + mc ≤ R
2
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u ⇒ ñpcm.
Ví d 3.1.1.2.
A B ab
CMR n u th a sin sin = thì ∆ABC ñ u.
2 2 4c
L i gi i :
Ta có :
The Inequalities Trigonometry 67
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác
A+ B A− B A− B
2 R.2 sin cos cos
ab a + b 2 R(sin A + sin B ) 2 2 = 2 ≤ 1
≤ = =
4c 8c 2 R.8 sin C C C C A+ B
2 R.8.2 sin cos 8 sin 8 cos
2 2 2 2
A B 1
⇒ sin sin ≤
2 2 A+ B
8 cos
2
A+ B A B
⇔ 8 cos sin sin ≤ 1
2 2 2
A+ B A− B A+ B
⇔ 4 cos cos − cos −1 ≤ 0
2 2 2
A+ B A+ B A− B
⇔ 4 cos 2 − 4 cos cos +1 ≥ 0
2 2 2
2
A+ B A− B 2 A−B
⇔ 2 cos − cos + sin ≥0
2 2 2
⇒ ñpcm.
Ví d 3.1.1.3.
CMR ∆ABC ñ u khi nó th a : 2(ha + hb + hc ) = (a + b + c ) 3
L i gi i :
ði u ki n ñ bài tương ñương v i :
r r r
2.2 p + + = (a + b + c ) 3
a b c
r r r 3
⇔ + + =
a b c 2
1 1 1 3
⇔ + + =
A B B C C A 2
cot + cot cot + cot cot + cot
2 2 2 2 2 2
M t khác ta có :
1 1 1
1
≤
1
+ = tan A + tan B
A B 4 A B 4 2 2
cot + cot cot cot
2 2 2 2
Tương t :
The Inequalities Trigonometry 68
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác
1 1 B C
≤ tan + tan
B C 4 2 2
cot
+ cot
2 2
1 1 C A
≤ tan + tan
C A 4 2 2
cot + cot
2 2
1 1 1 1 A B C
⇒ + + ≤ tan + tan + tan
A B B C C A 2 2 2 2
cot + cot cot + cot cot + cot
2 2 2 2 2 2
3 1 A B C A B C
⇒ ≤ tan + tan + tan ⇔ tan + tan + tan ≥ 3
2 2 2 2 2 2 2 2
⇒ ñpcm.
Ví d 3.1.1.4.
3
CMR n u th a S = 3Rr thì ∆ABC ñ u.
2
L i gi i :
Ta có :
A B C A B C
S = 2 R 2 sin A sin B sin C = 2 R 2 .2.2.2. sin
sin sin cos cos cos
2 2 2 2 2 2
A B C A B C A B C
= 4 R sin sin sin 4 R cos cos cos = r 4 R cos cos cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3
≤ r 4R = Rr
8 2
⇒ ñpcm.
Ví d 3.1.1.5.
CMR ∆ABC ñ u khi nó th a ma mb mc = pS
L i gi i :
Ta có :
1 1 1 A
ma = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) = (b 2 + c 2 + 2bc cos A) ≥ bc(1 + cos A) = bc cos 2
2
4 4 2 2
mà :
The Inequalities Trigonometry 69
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác
b2 + c2 − a2 2 A b2 + c2 − a2
cos A = ⇒ 2 cos −1 =
2bc 2 2bc
2
b + c − a + 2bc (b + c ) − a 2 p( p − a )
2 2 2
⇒ cos 2 A = = =
4bc 4bc bc
⇒ ma ≥ p( p − a )
Tương t :
m b ≥ p ( p − b )
m c ≥ p ( p − c )
⇒ ma mb mc ≥ p p( p − a )( p − b )( p − c ) = pS
⇒ ñpcm.
3.1.2. Tam giác cân :
Sau tam giác ñ u thì tam giác cân cũng ñ p không kém. Và ñây thì chúng ta s xét
nh ng b t ñ ng th c có d u b ng x y ra khi hai bi n b ng nhau và khác bi n th ba. Ví
π 2π
d A = B = ;C = . Vì th nó khó hơn trư ng h p xác ñ nh tam giác ñ u.
6 3
Ví d 3.1.2.1.
A+ B
CMR ∆ABC cân khi nó th a ñi u ki n tan 2 A + tan 2 B = 2 tan 2 và nh n.
2
L i gi i :
sin ( A + B ) 2 sin ( A + B ) 2 sin C
Ta có : tan A + tan B = = =
cos A cos B cos( A + B ) + cos( A − B ) cos( A − B ) − cos C
C
vì cos( A − B ) ≤ 1 ⇒ cos( A − B ) − cos C ≤ 1 − cos C = 2 sin 2
2
C C
4 sin cos
2 sin C 2 sin C 2 2 = 2 cot C = 2 tan A + B
⇒ ≥ =
cos( A − B ) − cos C C C 2 2
2 sin 2 2 sin 2
2 2
A+ B
⇒ tan A + tan B ≥ 2 tan
2
2
2 2 A+ B
2 tan A + tan B
T gi thi t : tan A + tan B = 2 tan ≤ 2
2 2
(2 2
) 2 2
⇔ 2 tan A + tan B ≤ tan A + tan B + 2 tan A tan B
The Inequalities Trigonometry 70
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác
2
⇔ (tan A − tan B ) ≤ 0
⇔ tan A = tan B
⇔ A=B
⇒ ñpcm.
Ví d 3.1.2.2.
A
CMR ∆ABC cân khi th a ha = bc cos
2
L i gi i :
2bc A
Trong m i tam giác ta luôn có : ha ≤ l a = cos
b+c 2
2bc bc
mà b + c ≥ 2 bc ⇒ ≤ = bc
b+c bc
2bc A A A
⇒ cos ≤ bc cos ⇒ ha ≤ bc cos
b+c 2 2 2
ð ng th c x y ra khi ∆ABC cân ⇒ ñpcm.
Ví d 3.1.2.3.
B
CMR n u th a r + ra = 4 R sin thì ∆ABC cân.
2
L i gi i :
Ta có :
B
sin
B B B B 2
r + ra = ( p − b ) tan + p tan = (2 p − b ) tan = (a + c ) tan = 2 R(sin A + sin C )
2 2 2 2 B
cos
2
B B
sin sin
A+C A−C B
2 = 4 R cos cos A−C 2 = 4 R sin B cos A − C ≤ 4 R sin B
= 4 R sin cos ⋅ ⋅
2 2 B 2 2 B 2 2 2
cos cos
2 2
B
⇒ r + ra ≤ 4 R sin ð ng th c x y ra khi ∆ABC cân ⇒ ñpcm.
2
The Inequalities Trigonometry 71
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác
Ví d 3.1.2.4.
1 2
CMR n u S =
4
( )
a + b 2 thì ∆ABC cân.
L i gi i :
1 2 1 1
Ta có : a 2 + b 2 ≤ 2ab ⇒
4
( )
a + b 2 ≥ ab ≥ ab sin C = S
2 2
1 2
⇒
4
( )
a + b 2 ≥ S ⇒ ∆ABC cân n u th a ñi u ki n ñ bài.
Ví d 3.1.2.5.
9
CMR ∆ABC cân khi th a 2 cos A + cos B + cos C =
4
L i gi i :
Ta có :
A B+C B−C
2 cos A + cos B + cos C = 21 − 2 sin 2 + 2 cos cos
2 2 2
2
A A B−C 1 9 A 1 B −C 1 2 B−C 1 9
= −4 sin 2 + 2 sin cos − + = − 2 sin − cos + cos − +
2 2 2 4 4 2 2 2 4 2 4 4
2
A 1 B−C 1 2 B−C 9 9
= − 2 sin − cos − sin + ≤
2 2 2 4 2 4 4
ð ng th c x y ra khi B = C ⇒ ñpcm.
3.1.3. Tam giác vuông :
Cu i cùng ta xét ñ n tam giác vuông, ñ i di n khó tính nh t c a tam giác ñ i v i b t
ñ ng th c lư ng giác. Dư ng như khi nh n di n tam giác vuông, phương pháp bi n ñ i
tương ñương các ñ ng th c là ñư c dùng hơn c . Và ta hi m khi g p bài toán nh n di n
tam giác vuông mà c n dùng ñ n b t ñ ng th c lư ng giác.
Ví d 3.1.3.1.
CMR ∆ABC vuông khi th a 3 cos B + 6 sin C + 4 sin B + 8 cos C = 15
L i gi i :
The Inequalities Trigonometry 72
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác
Theo BCS ta có :
3 cos B + 4 sin B ≤ 3 2 + 4 2 cos 2 B + sin 2 B = 5
( )( )
( )(
6 sin C + 8 cos C ≤ 6 2 + 8 2 sin 2 C + cos 2 C = 10
)
⇒ 3 cos B + 4 sin B + 6 sin C + 8 cos C ≤ 15
ð ng th c x y ra khi và ch khi :
cos B sin B 4
3 cos B + 4 sin B = 5 3 = 4
tan B = 3
π
⇔ ⇔ ⇔ tan B = cot C ⇔ B + C =
6 sin C + 8 cos C = 10 sin C = cos C cot C = 4 2
6
8
3
⇒ ñpcm.
3.2. C c tr lư ng giác :
ðây là lĩnh v c v n d ng thành công và tri t ñ b t ñ ng th c lư ng giác vào gi i
toán. ð c bi t trong d ng bài này, g n như ta là ngư i ñi trong sa m c không bi t
phương hư ng ñư ng ñi, ta s không bi t trư c k t qu mà ph i t mình dùng các b t
ñ ng th c ñã bi t ñ tìm ra ñáp án cu i cùng. Vì l ñó mà d ng toán này thư ng r t “khó
xơi”, nó ñòi h i ta ph i bi t khéo léo s d ng các b t ñ ng th c cũng như c n m t v n
li ng kinh nghi m v b t ñ ng th c không nh .
Ví d 3.2.1.
Tìm giá tr nh nh t c a hàm s :
a sin 4 x + b cos 4 y a cos 4 x + b sin 4 y
f (x , y ) = +
c sin 2 x + d cos 2 y c cos 2 x + d sin 2 y
v i a, b, c, d là các h ng s dương.
L i gi i :
sin 4 x cos 4 x
ð t f ( x , y ) = af 1 + bf 2 v i f 1 = +
c sin 2 x + d cos 2 y c cos 2 x + d sin 2 y
cos 4 x sin 4 x
f2 = +
c sin 2 x + d cos 2 y c cos 2 x + d sin 2 y
( ) (
Ta có : c + d = c sin 2 x + cos 2 x + d sin 2 y + cos 2 y )
Do ñó :
The Inequalities Trigonometry 73
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác
sin 4 x cos 4 x
(c + d ) f1 = [(c sin 2 x + d cos 2 y ) + (c cos 2 x + d sin 2 y )] 2 2
+ 2 2
c sin x + d cos y c cos x + d sin y
2
sin 2 x cos 2 x
≥ c sin 2 x + d cos 2 y + c cos 2 x + d sin 2 y =1
2 2
c sin x + d cos y c cos x + d sin y
2 2
1 1 a+b
⇒ f1 ≥ Tương t : f 2 ≥ .V y f ( x , y ) = af 1 + bf 2 ≥
c+d c+d c+d
Ví d 3.2.2.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :
P = cos 3 A + cos 3B − cos 3C
L i gi i :
Ta có : cos 3C = cos 3[π − ( A + B )] = cos[3π − 3( A + B )] = − cos 3( A + B ) nên
A+ B A− B 2 A+ B
P = cos 3 A + cos 3B + cos 3( A + B ) = 2 cos 3 cos 3 + 2 cos 3 −1
2 2 2
3 A+ B A− B A+ B 1
⇒ P + = 2 cos 2 3 + 2 cos 3 cos 3 + = f (x , y )
2 2 2 2 2
A− B 3
∆' = cos 2 3 −1 ≤ 0 ⇒ P ≥ −
2 2
∆ ' = 0
3
P=− ⇔ A+ B 1 A− B
2 cos 3 2 = − 2 cos 3 2
2 A− B
cos 3 2 = 1
⇔
cos 3 A + B = − 1 cos 3 A − B
2 2 2
A = B
A = B
A = 2π
⇔ 1 ⇔ 9
cos 3 A = − 2
4π
A =
9
2π 5π
3 A = B = 9 ,C = 9
V y Pmin =− ⇔
2 A = B = 4π , C = π
9 9
The Inequalities Trigonometry 74
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác
Ví d 3.2.3.
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C
P=
cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C
L i gi i :
Ta có :
3
P= −1
cos A + cos 2 B + cos 2 C
2
3
= −1
(
3 − sin A + sin 2 B + sin 2 C
2
)
3
≤ −1 = 3
9
3−
4
Do ñó : Pmax = 3 ⇔ ∆ABC ñ u.
Ví d 3.2.4.
Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a y = 4 sin x − cos x
L i gi i :
ði u ki n : sin x ≥ 0 , cos x ≥ 0
Ta có : y = 4 sin x − cos x ≤ 4 sin x ≤ 1
sin x = 1 π
D u b ng x y ra ⇔ ⇔ x = + k 2π
cos x = 0 2
M t khác : y = 4 sin x − cos x ≥ − cos x ≥ −1
sin x = 0
D u b ng x y ra ⇔ ⇔ x = k 2π
cos x = 1
π
y max = 1 ⇔ x = + k 2π
V y 2
y min = −1 ⇔ x = k 2π
Ví d 3.2.5.
2 + cos x
Cho hàm s y= . Hãy tìm Max y trên mi n xác ñ nh c a nó.
sin x + cos x − 2
The Inequalities Trigonometry 75
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 3 Áp d ng vào m t s v n ñ khác
L i gi i :
Vì sinx và cosx không ñ ng th i b ng 1 nên y xác ñ nh trên R.
2 + cos x
Y0 thu c mi n giá tr c a hàm s khi và ch khi Y0 = có nghi m.
sin x + cos x − 2
⇔ Y0 sin x + (Y0 − 1) cos x = 2Y0 + 2 có nghi m.
(2Y0 + 2)2 ≤ Y0 2 + (Y0 − 1)2
2
⇔ 2Y0 + 10Y0 + 3 ≤ 0
− 5 − 19 − 5 + 19
⇔ ≤ Y0 ≤
2 2
− 5 + 19
V y y max =
2
3.3. Bài t p :
CMR ∆ABC ñ u n u nó th a m t trong các ñ ng th c sau :
3
3.3.1. cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A =
4
3.3.2. sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = sin A + sin B + sin C
1 1 1 3 1
3.3.3. + + = + tan A tan B tan C
sin 2 A sin 2 B sin 2C 2 2
2
a2 + b2 + c2 a 2b 2c 2
3.3.4. cot A + cot B + cot C =
A B C
tan tan tan
2 2 2
a cos A + b cos B + c cos C 1
3.3.5. =
a+b+c 2
A B C
3.3.6. ma mb mc = abc cos cos cos
2 2 2
A B C
3.3.7. l a lb l c = abc cos cos cos
2 2 2
A B C
3.3.8. bc cot + ca cot + ab cot = 12 S
2 2 2
1 1 1 26 3
3.3.9. 1 + 1 + 1 + = 5+
sin A sin B sin C 9
sin A sin B sin C 1
3.3.10. 2
=
(sin A + sin B + sin C ) 6 3
The Inequalities Trigonometry 76
Copyright by webtailieu.net