Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
Chương 4 :
M t s chuyên ñ bài vi t hay,
thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và
lư ng giác
ðúng như tên g i c a mình, chương này s bao g m các bài vi t chuyên ñ v b t ñ ng
th c và lư ng giác. Tác gi c a chúng ñ u là các giáo viên, h c sinh gi i toán mà tác gi
ñánh giá r t cao. N i dung c a các bài vi t chuyên ñ ñ u d hi u và m ch l c. B n ñ c
có th tham kh o nhi u ki n th c b ích t chúng. Vì khuôn kh chuyên ñ nên tác gi
ch t p h p ñư c m t s bài vi t th t s là hay và thú v :
M cl c:
Xung quanh bài toán Ecdôs trong tam giác ……………………………………….78
ng d ng c a ñ i s vào vi c phát hi n và ch ng minh b t ñ ng th c trong tam
giác…………………………………………………………………………………82
Th tr v c i ngu n c a môn Lư ng giác………………………………...............91
Phương pháp gi i m t d ng b t ñ ng th c lư ng giác trong tam giác…….............94
The Inequalities Trigonometry 77
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
Xung quanh bài toán Ecdôs trong tam giác
Nguy n Văn Hi n
(Thái Bình)
B t ñ ng th c trong tam giác luôn là ñ tài r t hay. Trong bài vi t nh này, chúng ta
cùng trao ñ i v m t b t ñ ng th c quen thu c : B t ñ ng th c Ecdôs.
Bài toán 1 : Cho m t ñi m M trong ∆ABC . G i Ra , Rb , Rc là kho ng cách t M ñ n
A, B, C và d a , d b , d c là kho ng cách t M ñ n BC , CA, AB thì :
Ra + Rb + Rc ≥ 2(d a + d b + d c ) (E )
Gi i : Ta có :
2S − 2S BMC
R a ≥ ha − d a = ABC
a
2S + 2S AMC
= AMB
a
cd + bd b
= c
a
B ng cách l y ñ i x ng M qua phân giác góc A
bd + cd b
⇒ Ra ≥ c
a
ad c + cd a
Tương t : Rb ≥ (1)
b
ad b + bd a
Rc ≥
c
b c a c a b
⇒ Ra + Rb + Rc ≥ d a + + d b + + d c + ≥ 2(d a + d b + d c ) ⇒ ñpcm.
c b c a b a
Th c ra (E ) ch là trư ng h p riêng c a t ng quát sau :
Bài toán 2 : Ch ng minh r ng :
k k k
( k k
Ra + Rb + Rc ≥ 2 k d a + d b + d c
k
)
(2)
v i 1≥ k > 0
Gi i : Trư c h t ta ch ng minh :
B ñ 1 : ∀x, y > 0 và 1 ≥ k > 0 thì :
( x + y )k (
≥ 2 k −1 x k + y k ) (H )
Ch ng minh :
k
k
(H ) ⇔ x + 1 ≥ 2 k −1 x k + 1 ⇔ f (a ) = (a + 1)k − 2 k −1 a k + 1 ≥ 0 v i x = a > 0
y y ( )
y
[ k −1 k −1
]
Vì f ' (a ) = k (a + 1) − (2a ) = 0 ⇔ a = 1 ho c k = 1 . V i k = 1 thì (H ) là ñ ng th c
ñúng.
Do a > 0 và 1 > k > 0 thì ta có :
f (a ) ≥ 0 ∀a > 0 và 1 > k > 0
The Inequalities Trigonometry 78
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
⇒ (H ) ñư c ch ng minh.
Tr l i bài toán 2 :
T h (1) ta có :
k bd c cd b
k
k −1 bd c
k
cd b
k
Ra ≥ + ≥ 2 +
a a a a
bd cd
( Áp d ng b ñ (H ) v i x = c ; y = b )
a a
Tương t :
k
k −1 ad c
k
cd a
k
Rb ≥ 2 +
b b
k
ad b k bd a k
k −1
Rc ≥ 2 +
c c
k b k c k
k a
k
c
k
k a
k
b
k
⇒ Ra + Rb + Rc ≥ 2 k −1 d a + + d b + + d c +
k k k
c b
c a
b a
( k k
≥ 2k da + db + dc
k
)
⇒ ñpcm.
ð ng th c x y ra khi ∆ABC ñ u và M là tâm tam giác. Áp d ng (E ) ta ch ng minh
ñư c bài toán sau :
Bài toán 3 : Ch ng minh r ng :
1 1 1 1 1 1
+ + ≥ 2R + + (3)
d a db dc a Rb Rc
Gi i : Th c hi n phép ngh ch ñ o tâm M, phương tích ñơn v ta ñư c :
1 1
MA* = MA ' ' =
Ra da
1 1
MB* = và MB ' ' =
Rb db
1 1
MC* = MC ' ' =
Rc dc
Áp d ng (E ) trong ∆A ' ' B ' ' C ' ' :
MA ' '+ MB ' '+ MC ' ' ≥ 2(MA * + MB * + MC *)
1 1 1 1 1 1
⇔ + + ≥ 2 R + R + R
da db dc a b c
⇒ ñpcm.
M r ng k t qu này ta có bài toán sau :
Bài toán 4 : Ch ng minh r ng :
( k k k
)
2 k d a + d b + d c ≥ Ra + Rb + Rc (4)
k k k
The Inequalities Trigonometry 79
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
v i 0 > k ≥ −1
Hư ng d n cách gi i : Ta th y (4) d dàng ñư c ch ng minh nh áp d ng (2) trong
phép bi n hình ngh ch ñ o tâm M, phương tích ñơn v . ð ng th c x y ra khi ∆ABC ñ u
và M là tâm tam giác.
Bây gi v i k > 1 thì t h (1) ta thu ñư c ngay :
Bài toán 5 : Ch ng minh r ng :
2 2 2 2
( 2 2
Ra + Rb + Rc > 2 d a + d b + d c (5) )
Xu t phát t bài toán này, ta thu ñư c nh ng k t qu t ng quát sau :
Bài toán 6 : Ch ng minh r ng :
k k k
(
Ra + Rb + Rc > 2 d a + d b + d c (6)
k k k
)
v i k >1
Gi i : Chúng ta cũng ch ng minh m t b ñ :
B ñ 2 : ∀x, y > 0 và k > 1 thì :
( x + y )k ≥ x k + y k (G )
Ch ng minh :
k
(G ) ⇔ x + 1 > x k + 1 ⇔ g (a ) = (a + 1)k − a k − 1 > 0 (ñ t x = a > 0 )
k
y
y y
[ k −1
Vì g ' (a ) = k (a + 1) − a k −1
]
> 0 ∀a > 0 ; k > 1
⇒ g (a ) > 0 ∀a > 0 ; k > 1
⇒ (G ) ñư c ch ng minh xong.
S d ng b ñ (G ) vào bài toán (6) :
T h (1) :
k k k
k bd cd bd cd bd c cd
Ra ≥ c + b > c + b (ñ t x = ; y= b)
a a a a a a
Tương t :
k k
k ad c cd a
Rb > +
b b
k k
k ad bd
Rc > b + a
c c
k b
k
c
k
k a
k
c
k
k a
k
b
k
⇒ Ra + Rb + Rc > d a + + d b + + d c +
k k k
c b
c a
b a
( k
≥ 2 da + db + dc
k k
)
⇒ ñpcm.
Bài toán 7 : Ch ng minh r ng :
k k k k k
d a + d a + d a > 2 Ra + Ra + Ra
k
( ) (7)
v i k < −1
The Inequalities Trigonometry 80
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
Hư ng d n cách gi i : Ta th y (7 ) cũng ñư c ch ng minh d dàng nh áp d ng (6)
trong phép bi n hình ngh ch ñ o tâm M, phương tích ñơn v . ð ng th c không th x y ra
trong (6) và (7 ) .
Xét v quan h gi a (Ra , Rb , Rc ) v i (d a , d b , d c ) ngoài b t ñ ng th c (E ) và nh ng m
r ng c a nó, chúng ta còn g p m t s b t ñ ng th c r t hay sau ñây. Vi c ch ng minh
chúng xin dành cho b n ñ c :
1) Ra Rb Rc ≥ 8d a d b d c
db + dc da + dc da + db
2) + + ≤3
Ra Rb Rc
3) Ra Rb Rc ≥ (d a + d b )(d a + d c )(d b + d c )
2 2 2
4) Ra Rb Rc ≥ (Ra d a + Rb d b )(Ra d a + Rc d c )(Rb d b + Rc d c )
The Inequalities Trigonometry 81
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
ng d ng c a ñ i s vào vi c phát hi n và ch ng
minh b t ñ ng th c trong tam giác
Lê Ng c Anh
(HS chuyên toán khóa 2005 – 2008
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng, C n Thơ)
π
1/ Chúng ta ñi t bài toán ñ i s sau: V i ∀ x ∈ 0, ta luôn có:
2
x x 2x
< tg < < sinx < x .
2 2 π
2x x 2x
Ch ng minh: Ta ch ng minh 2 b t ñ ng th c: sin x > và tg < .
π 2 π
1 π
ð t f ( x) = sin x là hàm s xác ñ nh và liên t c trong 0, .
x 2
xcos x- sin x π
Ta có: f '( x) = 2
. ð t g ( x) = xcos x- sin x trong 0, khi ñó
x 2
π
g ' ( x ) = − x sin x ≤ 0 ⇒ g ( x ) ngh ch bi n trong ño n 0, nên g ( x ) < g ( 0 ) =0 v i
2
π π π 2 2x
x ∈ 0, . Do ñó f ' ( x ) < 0 v i ∀x ∈ 0, suy ra f ( x ) > f = hay sin x >
2 2 2 π π
π
v i ∀x ∈ 0, .
2
1 π
ð t h ( x ) = tgx xác ñ nh và liên t c trên 0, .
x 2
x − sin x π
Ta có h ' ( x ) = > 0 ∀x ∈ 0, nên hàm s h ( x ) ñ ng bi n, do
2 x 2 cos 2
x 2
2
x π x 2x π
ñó h ( x ) < h = hay tg < v i ∀x ∈ 0, .
2 2 2 π 2
x x
Còn 2 b t ñ ng th c tg > và sin x < x dành cho b n ñ c t ch ng minh.
2 2
Bây gi m i là ph n ñáng chú ý:
Xét ∆ABC : BC = a , BC = b , AC = b . G i A, B, C là ñ l n các góc b ng radian;
r, R, p, S l n lư t là bán kính ñư ng tròn n i ti p, bán kính ñư ng tròn ngo i ti p, n a
chu vi và di n tích tam giác; la, ha, ma, ra, tương ng là ñ dài ñư ng phân giác, ñư ng
cao, ñư ng trung tuy n và bán kính ñư ng tròn bàng ti p ng v i ñ nh A...
Bài toán 1: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
pπ p
< Acos 2 x + Bcos 2 B + Ccos 2C <
4R R
The Inequalities Trigonometry 82
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
Nh n xét:
p
T ñ nh lí hàm s sin quen thu c trong tam giác ta có: sin A + sin B + sin B = và
R
A 4
bài toán ñ i s ta d dàng ñưa ra bi n ñ i sau Acos2 A < 2tg cos2 A = sin A < Acos2 A , t
2 π
ñó ñưa ñ n l i gi i như sau.
L i gi i:
A 4 p
Ta có: Acos 2 A < 2tg cos 2 A = sin A < Acos 2 A ⇒ ∑ Acos 2 A < ∑ sin A =
2 π R
4 p pπ
và
π
∑ Acos2 A > ∑ sin A = R ⇒ ∑ Acos2 A > 4 R . T ñây suy ra ñpcm.
A B B C C A
Trong m t tam giác ta có nh n xét sau: tg tg + tg tg + tg tg = 1 k t h p
2 2 2 2 2 2
x 2x 2 A 2B 2B 2C 2C 2 A A B B C C A
v i tg < nên ta có + + > tg tg + tg tg + tg tg = 1 ⇒
2 π π π π π π π 2 2 2 2 2 2
2
π x x
A.B + B.C + C. A > (1). M t khác tg > nên ta cũng d dàng có
4 2 2
A B B C C A A B B C C A
+ + < tg tg + tg tg + tg tg = 1 t ñây ta l i có
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A.B + B.C + C. A < 4 (2). T (1) và (2) ta có bài toán m i.
Bài toán 2: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
π2
< A.B + B.C + C. A < 4
4
Lưu ý: Khi dùng cách này ñ sáng t o bài toán m i thì ñ toán là ∆ABC ph i là nh n
π
vì trong bài toán ñ i s thì ∀x ∈ 0, . L i gi i bài toán tương t như nh n xét trên.
2
2
M t khác, áp d ng b t ñ ng th c ab + bc + ca ≤
(a + b + c) thì ta có ngay
3
2
( A+ B + C) π2
A.B + B.C + C. A ≤ = . T ñây ta có bài toán “ch t” hơn và “ñ p” hơn:
3 3
π2 π2
〈 A.B + B.C + C. A ≤
4 3
Bây gi ta th ñi t công th c la, ha, ma, ra ñ tìm ra các công th c m i.
A A
Trong ∆ABC ta luôn có: 2S = bc sin A = cla sin + bla sin
2 2
The Inequalities Trigonometry 83
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
1 b+c b+c 11 1
⇒ = > = +
la 2bccos A 2bc 2 b c
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
⇒ + + > + + > + +
la lb lc a b c 2 R sin A sin B sin C
1 1 1 1 1 1 1
⇒ + + > + + .
la lb lc 2 R A B C
Như v y chúng ta có Bài toán 3.
Bài toán 3: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
1 1 1 1 1 1 1
+ + > + +
la lb lc 2 R A B C
bc b+c 2 R ( sin B + sin C )
M t khác, ta l i có = = . Áp d ng bài toán ñ i s ta
la 2cos A π A
2sin −
2 2 2
ñư c:
2( B + C )
R(B + C) R π R ( B + C ) bc 4 R ( B + C )
bc π bc 4 R
π> > ⇒ > > ⇒ πR > > .
π−A la π A B+C la π (B + C) la π
−
2 2
ab 4 R ca 4 R
Hoàn toàn tương t ta có: π R > > và π R > > . T ñây, c ng 3 chu i b t
lc π lb π
ñ ng th c ta ñư c:
Bài toán 4: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
12 R ab bc ca
< + + < 3π R
π lc la lb
h h h h h h
Trong tam giác ta có k t qu sin A = b = c , sin B = c = a và sin C = a = b ,
c b a c b a
mà t k t qu c a bài toán ñ i s ta d dàng có 2 < sin A + sin B + sin C < π , mà
1 1 1 1 1 1
2 ( sin A + sin B + sin C ) = ha + + hb + + hc + , t ñây ta có ñư c Bài
b c c a a b
toán 5.
Bài toán 5: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
1 1 1 1 1 1
4 < ha + + hb + + hc + < 2π
b c c a a b
Ta xét ti p bài toán sau:
Bài toán 6: Ch ng minh r ng trong tam giác nh n ta luôn có:
4 2 2 2 ma + mb + mc2
2 2
2 (
A + B +C ) < 2
< A2 + B 2 + C 2
π 3R
The Inequalities Trigonometry 84
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
2 2 b2 + c2 a2
Nh n xét:Liên h v i ma trong tam giác ta có ma = − , t ñó ta suy ra
2 4
3
ma + mb + mc2 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 3R 2 ( sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ) và t ñưa ñ n l i gi i.
2 2
4
L i gi i:
4x2 4 A2
Áp d ng bài toán ñ i s ta ñư c: 2 < sin x < x ta l n lư t có: 2 < sin2 A < A2 ,
2 2
π π
2 2
4B 4C
2
< sin 2 B < B 2 và 2
< sin 2 C < C 2 .
π π
C ng 3 chu i b t ñ ng th c trên ta ñư c:
4
π 2 (A 2
+ B 2 + C 2 ) < sin 2 A + s in 2 B + sin 2 C < A 2 + B 2 + C 2 , mà ta có:
ma + mb + mc2
2 2
ma + mb + mc2 = 3R 2 ( sin 2 A + sin 2 B + sin C 2 ) ⇔
2 2
2
= ( sin2 A + sin2 B + sin2 C ) , t
3R
4 ma + mb + mc2
2 2
ñây ta ñư c: 2 (
A2 + B 2 + C 2 ) < 2
< A2 + B 2 + C 2 (ñpcm).
π 3R
Bây gi ta th sáng t o m t b t ñ ng th c liên quan t i ra, ta có công th c tính ra là
A x x 2x A r 2A
ra = ptg , t bài toán ñ i s < tg < ch c ch n ta d dàng tìm th y < a <
2 2 2 π 2 p π
B r 2B C r 2C
, tương t ta cũng có < a < và < a < , c ng 3 chu i b t
2 p π 2 p π
A + B + C ra + rb + rc 2 ( A + B + C )
ñ ng th c ta thu ñư c < < và ta thu ñư c Bài toán 7.
2 p π
Bài toán 7: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
A + B + C ra + rb + rc 2 ( A + B + C )
< <
2 p π
Ta tìm hi u bài toán sau:
Bài toán 8: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
π ( 2 R − r ) < aA + bB + cC < 4 ( 2 R − r )
A B C A
Nh n xét: Ta có các k t qu : ra = ptg , rb = ptg , rc = ptg , r = ( p − a ) tg =
2 2 2 2
B C A B C
= ( p − b ) tg = ( p − c ) tg d n ñ n ra = r + atg , rb = r + btg , rc = r + ctg và
2 2 2 2 2
ra + rb + rc = 4 R + r (các k t qu này b n ñ c t ch ng minh), t ñó ta suy ra
A A A
4 R + r = 3r + ptg + ptg + ptg và nh k t qu này ta d dàng ñánh giá t ng
2 2 2
aA + bB + cC t bài toán ñ i s nên ta d có l i gi i như sau.
L i gi i:
The Inequalities Trigonometry 85
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
A B C A B C
Ta có: ra = ptg , rb = ptg , rc = ptg , r = ( p − a ) tg = ( p − b) tg = ( p − c) tg , t
2 2 2 2 2 2
A B C
ñó d n ñ n ra = r + atg , rb = r + btg , rc = r + ctg . Mà ta l i có: ra + rb + rc = 4 R + r
2 2 2
A A A
suy ra 4R + r = 3r + ptg + ptg + ptg . Áp d ng bài toán ñ i s ta ñư c:
2 2 2
A A A 2
● 4R + r = 3r + ptg + ptg + ptg < 3r + ( aA + bB + cC )
2 2 2 π
⇔ π ( 2R − r ) < aA + bB + cC
A A A 1
● 4R + r = 3r + ptg + ptg + ptg > 3r + ( aA + bB + cC )
2 2 2 2
⇔ 4 ( 2R − r ) > aA + bB + cC
K t h p 2 ñi u trên ta có ñi u ph i ch ng minh.
Sau ñây là các bài toán ñư c hình thành t các công th c quen thu c ñ các b n luy n
t p:
Bài toán: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
a/ 2π p − 8 ( R + r ) < aA + bB + cC < 2π p − 2π ( R + r ) .
πS
b/ < ( p − a )( p − b ) + ( p − b )( p − c ) + ( p − c )( p − a ) < 2S .
2
π
c/ abc < a 2 ( p − a ) + b 2 ( p − b ) + c 2 ( p − c ) < abc .
2
1 1 1 1 1 1
d/ 4 < la + + lb + + lc + < 2π .
b c c a a b
x
2/Chúng ta xét hàm: f ( x ) = v i ∀ x ∈ ( 0,π ) .
sinx
s inx-xcosx
Ta có f ( x ) là hàm s xác ñ nh và liên t c trong ( 0, π ) và f ' ( x ) = .ð t
sin 2 x
g ( x ) = s inx-xcosx , x ∈ ( 0, π ) , ta có g ' ( x ) = x sin x ≥ 0 ⇒ g ( x ) ñ ng bi n trong ño n
⇒ g ( x ) > g ( 0 ) = 0 ⇒ f ' ( x ) > 0 nên hàm f ( x ) ñ ng bi n .
( 0, π )
Chú ý 3 b t ñ ng th c ñ i s :
1.B t ñ ng th c AM-GM:
Cho n s th c dương a1 , a2 ,..., an , ta luôn có:
a1 + a2 + ... + an n
≥ a1a2 ...an
n
D u “=” x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an .
2.B t ñ ng th c Cauchy-Schwarz:
Cho 2 b n s ( a1 , a2 ,..., an ) và ( b1 , b2 ,..., bn ) trong ñó bi > 0, i = 1, n . Ta luôn có:
The Inequalities Trigonometry 86
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
2
a12 a2 2
a 2 ( a + a + ... + an )
+ + ... + n ≥ 1 2
b1 b2 bn b1 + b2 + ... + bn
a a a
D u “=” x y ra ⇔ 1 = 2 = ... = n .
b1 b2 bn
3.B t ñ ng th c Chebyshev:
Cho 2 dãy ( a1 , a2 ,..., an ) và ( b1 , b2 ,..., bn ) cùng tăng ho c cùng gi m, t c là:
a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an
ho c , thì ta có:
b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn
a1b1 + a2b2 + ... + an bn a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn
≤ .
n n n
a1 = a2 = ... = an
D u “ = ” x y ra .
b1 = b2 = ... = bn
N u 2 dãy ñơn ñi u ngư c chi u thì ñ i chi u d u b t ñ ng th c.
Xét trong tam giác ABC có A ≥ B (A,B s ño hai góc A,B c a tam giác theo
radian).
A B x
● A≥ B ⇒ ≥ ( theo ch ng minh trên thì hàm f ( x ) = )
sin A sin B sinx
A B A a A a
⇒ ≥ ⇒ ≥ , mà A ≥ B ⇔ a ≥ b . Như v y ta suy ra n u a ≥ b thì ≥
a b B b B b
2R 2R
(i).
A B C
• Hoàn toàn tương t : a ≥ b ≥ c ⇒ ≥ ≥ và như v y ta có
a b c
A B
( a − b ) − ≥ 0 , ( b − c ) − ≥ 0 và ( c − a ) − ≥ 0 .C ng 3
B C C A
a b b c c a
A B A
b t ñ ng th c ta ñư c ∑ ( a − b ) − ≥ 0 ⇔ 2 ( A + B + C ) ≥ ∑( b + c ) (1).
cyc a b cyc a
- C ng A+ B +C vào 2 v c a (1) ta thu ñư c:
A B C
3( A + B + C ) ≥ ( a + b + c) + + (2)
a b c
A
- Tr A + B + C vào 2 v c a (1) ta thu ñư c: ( A + B + C ) ≥ 2∑ ( p − a ) (3).
cyc a
A
Chú ý r ng A + B + C = π và a + b + c = 2 p nên (2) ⇔ 3π ≥ 2 p ∑ ⇔
cyc a
A 3π A π
∑ a ≤ 2 p (ii), và (3) ⇔ ∑ ( p − a ) a ≤ 2 (iii).
cyc cyc
The Inequalities Trigonometry 87
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
● M t khác ta có th áp d ng b t ñ ng th c Chebyshev cho 2 b s
A B C
A B C ≥ ≥
, , và ( p − a, p − b, p − c) . Ta có: a ≥ b ≥ c ⇒ a b c
a b c p−a ≤ p−b ≤ p−c
∑( p − a) a ( p − a + p − b + p − c) a + B + C
A A A
p∑
⇒
cyc
≤ b c A a
⇔ ∑ ( p − a ) ≤ cyc . Mà
3 3 3 cyc a 3
A 3π A
p∑ p p∑
A 3π A a 2p A a π
∑ a ≤ 2 p ta suy ra: ∑( p − a) a ≤ cyc ≤ 3 hay ∑ ( p − a ) a ≤ cyc ≤ 2 (iv).
cyc cyc 3 cyc 3
● Ta chú ý ñ n hai b t ñ ng th c (ii) và (iii):
1
A B C A A.B.C 3
-Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM cho 3 s , , ta ñư c:
a b c
∑ a ≥ 3 a.b.c k t
cyc
1
3
A.B.C 3 3π a.b.c 2 p
h p v i b t ñ ng th c (ii) ta suy ra 3 ≤ ⇔ ≥ (v). M t
a.b.c 2p A.B.C π
1 1
a a.b.c 3 a.b.c 3 2 p
khác, ta l i có ∑ ≥ 3 , mà theo (v) ta d dàng suy ra ≥ , t ñó ta
cyc A A.B.C A.B.C π
a 6p
có b t ñ ng th c ∑ ≥ (vi).
cyc A π
-Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy-Schwarz , ta có :
2
A A2 ( A + B + C ) π2
∑ a cyc aA Aa + Bb + Cc Aa + Bb + Cc
cyc
=∑ ≥ = (vii), mà ta ñã tìm ñư c
2π p − 8 ( R + r ) < Aa + Bb + Cc < 2π p − 2π ( R + r ) (bài t p a/ ph n trư c) nên
A π2
∑ a 2π ( p − R − r )
cyc
> (viii) (ch ñúng v i tam giác nh n).
A B C
-Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM cho 3 s ( p − a) , ( p − b ) , ( p − c ) ta ñư c:
a b c
A B C . .
ABC S 2 ABC
. . S.ABC
. .
( p − a) + ( p − b) + ( p − c) ≥ 3 3 ( p − a)( p − b)( p − c) =33 =33 ⇒
a b c ..
abc p 4S.R 4 p.R
A
2
p∑
A S A.B.C A a π
∑ ( p − a ) a ≥ 3 3 p 4S.R (4)mà ∑ ( p − a ) a ≤ cyc ≤ 2 (theo iv) nên t (4)
cyc cyc 3
A
p∑ 3 3
4 A 4 3π
2
S A.B.C cyc a π 729S . A.B.C 729S. A.B.C
⇒ 33 ≤ ≤ ⇔ ≤ p ∑ ⇒ ≤p
p 4S .R 3 2 4R cyc a 4R 2p
⇔ 54S . A.B.C ≤ π 3 . p.R (ix).
The Inequalities Trigonometry 88
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
2 2 2
x y z x y z
● Xét t ng T = .
b By a Ax a Ax c Cz c Cz b By
+ +
+ + +
Ta có: T ≥ 0
y+z 1 z+x 1 x+ y 1 1 1 1
⇔ . 2 + . 2 + . 2 − 2 + + ≥ 0.
x a A y b B z cC ab AB bc BC ca CA
y + z bc z + x ca x + y ab c a b
⇔ . + . + . − 2 + + ≥0
x aA y bB z cC AB BC CA
y + z bc z + x ca x + y ab a b c
⇔ . + . + . ≥ 2 + + (5).
x aA y bB z cC BC CA AB
1
a b c abc 3 6 p
Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM ta ñư c: + + ≥ 3 ≥ (6).
BC CA AB ABC π
y + z bc z + x ca x + y ab 6 p
T (5) và (6) ta ñư c: . + . + . ≥ (7).
x aA y bB z cC π
Thay (x, y, z) trong (7) b ng (p-a, p-b, p-c) ta ñư c:
bc ca ab 12 p
+ + ≥ (x)
A( p − a) B ( p − b) C ( p − c) π
b + c c + a a + b 12 p
Thay (x, y, z) trong (7) b ng (bc, ca, ab) ta ñư c: + + ≥ (xi).
A B C π
2x π
3/ Chúng ta xét b t ñ ng th c sau: sinx ≥ v i ∀ x ∈ 0, (ph n ch ng minh b t
π 2
ñ ng th c này dành cho b n ñ c).
a
Theo ñ nh lí hàm s sin ta có sin A = và k t h p v i b t ñ ng th c trên ta ñư c
2R
a 2A a 4R a 12 R
≥ ⇔ ≥ , t ñó ta d dàng suy ra ∑ > .
2R π A π cyc A π
sin x π 2 - x 2
4/ B t ñ ng th c: ≥ 2 v i ∀ x ∈ (0,π ] (b t ñ ng th c này xem như bài
x π + x2
t p dành cho b n ñ c).
sin x 2 x2 2 x3
B t ñ ng th c trên tương ñương ≥ 1− 2 ⇔ sin x ≥ x − 2 (1).
x π + x2 π + x2
3 3
Trong tam giác ta có: sin A + sin B + sin C ≤ (2) (b n ñ c t ch ng minh).T (1)
2
3 3 A3 B3 C3
và (2) ta thu ñư c ≥ ∑ sin A > A + B + C − 2 2 2
+ 2 2
+ 2 2
⇒
2 cyc π + A π + B π +C
3 3 A3 B3 C3 A3 B3 C3 π 3 3
> π − 2 2 2
+ 2 2
+ 2 2
⇔ 2 2
+ 2 2
+ 2 2
> − .
2 π + A π + B π +C π + A π + B π +C 2 4
The Inequalities Trigonometry 89
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
sin A π 2 − A2
M t khác, áp d ng b t ñ ng th c cho 3 góc A, B, C ta thu ñư c > 2 ,
A π + A2
sin B π 2 − B 2 sin C π 2 − C 2
> 2 và > 2 , c ng các b t ñ ng th c ta ñư c:
B π + B2 C π + C2
sin A sin B sin C π 2 − A2 π 2 − B2 π 2 − C 2
+ + > 2 + + , t ñây áp d ng ñ nh lí hàm s sin
A B C π + A2 π 2 + B2 π 2 + C 2
a b c
a π 2 − A2 π 2 − B2 π 2 − C2 a π 2 − A2
sin A = ta có 2R + 2R + 2R > 2 2 + 2 2 + 2 2 hay ∑ > 2 R ∑ 2 .
2R A B C π + A π + B π +C cyc A π + A2
The Inequalities Trigonometry 90
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
Th tr v c i ngu n c a môn lư ng giác
Lê Qu c Hán
ð i h c Sư ph m Vinh
“Lư ng giác h c” có ngu n g c t Hình h c. Tuy nhiên ph n l n h c sinh khi h c
môn Lư ng giác h c (gi i phương trình lư ng giác, hàm s lư ng giác …), l i th y nó
như là m t b ph n c a môn ð i s h c, ho c như m t công c ñ gi i các bài toán hình
h c (ph n tam giác lư ng) mà không th y m i liên h hai chi u gi a các b môn y.
Trong bài vi t này, tôi hy v ng ph n nào có th cho các b n m t cách nhìn “m i” :
dùng hình h c ñ gi i các bài toán lư ng giác.
Trư c h t, ta l y m t k t qu quen thu c trong hình h c sơ c p : “N u G là tr ng tâm
tam giác ABC và M là m t ñi m tùy ý trong m t ph ng ch a tam giác ñó thì” :
1 1
( ) ( )
MG 2 = MA 2 + MB 2 + MC 2 − a 2 + b 2 + c 2 (ð nh lý Lép-nít)
3 9
N u M ≡ O là tâm ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC thì MA 2 + MB 2 + MB 2 = 3R 2 nên áp
4
d ng ñ nh lý hàm s sin, ta suy ra : OG 2 = R 2 − R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C )
9
4 9
⇒ OG 2 = R 2 − (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ) (1)
9 4
T ñ ng th c (1) , suy ra :
9
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ (2)
4
D u ñ ng th c x y ra khi và ch khi G ≡ O , t c là khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Như v y, v i m t ki n th c hình h c l p 10 ta ñã phát hi n và ch ng minh ñư c b t ñ ng
th c (2) . Ngoài ra, h th c (1) còn cho ta m t “ngu n g c hình h c” c a b t ñ ng th c
(2) , ñi u mà ít ngư i nghĩ ñ n. B ng cách tương t , ta hãy tính kho ng cách gi a O và
tr c tâm H c a ∆ABC . Xét trư ng h p ∆ABC có 3 góc nh n. G i E là giao ñi m c a
AH v i ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC . Th thì :
℘H / (O ) = OH 2 − R 2 = HE. HA
Do ñó : OH 2 = R 2 − AH . HE (*)
v i:
AF cos A cos A
AH = = AB. = 2 R sin C = 2 R cos A
sin C sin C sin C
và HE = 2 HK = 2 BK cot C = 2 AB cos B cot C
cos C
= 2.2 R sin C cos B = 4 R cos B cos C
sin C
Thay vào (*) ta có :
1
OH 2 = 8R 2 − cos A cos B cos C (3)
8
The Inequalities Trigonometry 91
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
N u ∠BAC = 90 0 ch ng h n, thì (3) là hi n nhiên. Gi s ∆ABC có góc A tù. Khi ñó
℘H / (O ) = R 2 − OH 2 = HA . HE trong ñó AH = −2 R cos A nên ta cũng suy ra (3) .
T công th c (3) , ta suy ra :
1
cos A cos B cos C ≤ (4 )
8
(D u ñ ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u). Cũng
như b t ñ ng th c (2) , b t ñ ng th c (4) ñã ñư c phát
hi n và ch ng minh ch v i ki n th c l p 10 và có m t
“ngu n g c hình h c” khá ñ p. C n nh r ng, “xưa
nay” chưa nói ñ n vi c phát hi n, ch riêng vi c ch ng
minh các b t ñ ng th c ñó, ngư i ta thư ng ph i dùng
các công th c lư ng giác (chương trình lư ng giác l p
11) và ñ nh lý v d u tam th c b c hai.
Có ñư c (1) và (3) , ta ti p t c ti n t i. Ta th s d ng “ñư ng th ng Ơle”.
N u O, G, H là tâm ñư ng tròn ngo i ti p, tr ng tâm và tr c tâm ∆ABC thì O, G, H
1 1
th ng hàng và : OG = OH . T OG 2 = OH 2 .
3 9
T (1)(3) ta có :
9 1
4
( )
− sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = (1 − 8 cos A cos B cos C )
4
2 2 2
hay sin A + sin B + sin C = 2 + 2 cos A cos B cos C
Thay sin 2 α b ng 1 − cos 2 α vào ñ ng th c cu i cùng, ta ñư c k t qu quen thu c :
cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C + 2 cos A cos B cos C = 1 (5)
Chưa nói ñ n vi c phát hi n ra (5) , ch riêng vi c ch ng minh ñã làm “nh c óc” không
bi t bao nhiêu b n tr m i làm quen v i lư ng giác. Qua m t vài ví d trên ñây, h n các
b n ñã th y vai trò c a hình h c trong vi c phát hi n và ch ng minh các h th c “thu n
túy lư ng giác”. M t khác, nó cũng nêu lên cho chúng ta m t câu h i : Ph i chăng các h
th c lư ng giác trong m t tam giác khi nào cũng có m t “ngu n g c hình h c” làm b n
ñư ng ? M i các b n gi i vài bài t p sau ñây ñ c ng c ni m tin c a mình.
A B C
1. Ch ng minh r ng, trong m t tam giác ta có d 2 = R 2 1 − 8 sin sin sin trong ñó
2 2 2
d là kho ng cách gi a ñư ng tròn tâm ngo i ti p và n i ti p tam giác ñó.
T ñó hãy suy ra b t ñ ng th c quen thu c tương ng.
• 2. Cho ∆ABC . D ng trong m t ph ng ABC các ñi m O1 và O2 sao cho các tam
giác O1 AB và O2 AC là nh ng tam giác cân ñ nh O1 ,O2 v i góc ñáy b ng 30 0 và
sao cho O1 và C cùng m t n a m t ph ng b AB, O2 và B cùng m t n a m t
ph ng b AC.
a) Ch ng minh :
1
2
(
O1O2 = a 2 + b 2 + c 2 − 4 3S
6
)
b) Suy ra b t ñ ng th c tương ng :
The Inequalities Trigonometry 92
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
2 2 2
sin A + sin B + sin C ≥ 2 3 sin A sin B sin C
3. Ch ng minh r ng n u ∆ABC có 3 góc nh n, thì :
sin A + sin B + sin C
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
Phương pháp gi i m t d ng b t ñ ng th c lư ng
giác trong tam giác
Nguy n Lái
GV THPT Lương Văn Chánh – Phú Yên
Gi s f ( A, B, C ) là bi u th c ch a các hàm s lư ng giác c a các góc trong ∆ABC
Gi s các góc A, B, C th a mãn hai ñi u ki n :
A+ B 2 A + B
1) f ( A) + f (B ) ≥ 2 f ho c f ( A) f (B ) ≥ f (1)
2 2
ñ ng th c x y ra khi và ch khi A = B
π π
C + C +
π 3 ho c f (C ) f π 3 (2)
2) f (C ) + f ≥ 2 f ≥ f
2
3 2 3 2
π
ñ ng th c x y ra khi và ch khi C = Khi c ng ho c nhân (1)(2) ta s có b t
3
ñ ng th c :
π π
f ( A) + f (B ) + f (C ) ≥ 3 f ho c f ( A) f (B ) f (C ) ≥ f 3
3 3
ð ng th c x y ra khi và ch khi A = B = C . Tương t ta cũng có b t ñ ng th c v i chi u
ngư c l i. ð minh h a cho phương pháp trên ta xét các bài toán sau ñây :
Thí d 1. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta luôn có :
1 1 1 3 2
+ + ≥
1 + sin A 1 + sin B 1 + sin C 2+4 3
L i gi i. Ta có :
1 1 4 4 2
+ ≥ ≥ ≥
1 + sin A 1 + sin B 2 + sin A + sin B 2 + 2(sin A + sin B ) A+ B
1 + sin
2
1 1 2
⇒ + ≥ (3)
1 + sin A 1 + sin B A+ B
1 + sin
2
1 1 2
Tương t ta có : + ≥ (4)
1 + sin C π π
1 + sin C+
3 1 + sin 3
2
C ng theo v (3) và (4) ta có :
The Inequalities Trigonometry 94
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
1 1 1 1 1 1 4
+ + + ≥ 2 + ≥
1 + sin A 1 + sin B 1 + sin C π 1 + sin A + B π 1 + sin π
1 + sin C+
3 2 3 3
1 + sin
2
1 1 1 3 2
⇒ + + ≥
1 + sin A 1 + sin B 1 + sin C 2+4 3
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Thí d 2. Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta luôn có :
3
1 1 1 2
1 + 1 + 1 + ≥ 1 +
sin A sin B sin C 3
L i gi i. Ta có :
2
1 1 1 1 1 2 1
1 + 1 + = 1+ + + ≥ 1+ +
sin A sin B sin A sin B sin A sin B sin A sin B sin A sin B
2
1
2
2
2
2
2
1
= 1 +
= 1 +
≥ 1 + = 1 +
sin A sin B cos( A − B ) − cos( A + B ) 1 − cos( A + B ) sin A + B
2
2
1 1 1
⇒ 1 + 1+ ≥ 1 + (5)
sin A sin B sin A + B
2
2
1
1 + 1 ≥ 1 + 1
Tương t : 1+ (6)
sin C sin π π
C+
3 sin 3
2
Nhân theo v c a (5) và (6) ta có :
2
2 4
1 1 1 1 1
1 + 1
≥ 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + ≥ 1 +
sin A sin B sin C sin π sin A + B π π
C+ sin
3 2 sin 3 3
2
The Inequalities Trigonometry 95
Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v
liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác
3
1 1 1 2
⇒ 1 + 1 + 1 + ≥ 1 +
sin A sin B sin C 3
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Thí d 3. Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta có :
A B C 3
sin 6 + sin 6 + sin 6 ≥
2 2 2 64
L i gi i. Trư ng h p tam giác ABC tù ho c vuông.
π
π A− B C +
Gi s A = max{A, B, C} ≥ , lúc ñó cos > 0 và cos 3 > 0.
2 2 2
Ta có :
3
6A B 2 A B
sin + sin 6 sin + sin 2 3
2 2 ≥ 2 2 = 1 1 − cos A + cos B = 1 1 − cos A + B cos A − B
2 2 8 2 8 2 2
3
1 A+ B 6 A+ B A B A+ B
≥ 1 − cos = sin ⇒ sin 6 + sin 6 ≥ 2 sin 6 (7 )
8 2 4 2 2 4
π π
C+
C
Tương t ta có : sin 6 + sin 6 3 ≥ 2 sin 6 3 (8)
2 2 4
C ng theo v c a (7 ) và (8) ta ñư c :
π π π
A B C A+ B
C+ A+ B+C +
sin 6 + sin 6 + sin 6 + sin 6 3 ≥ 2 sin 6 + sin 6 3 ≥ 4 sin 6 3
2 2 2 2 4 4 8
A B C π 3
⇒ sin 6 + sin 6 + sin 6 ≥ 3 sin 6 = (9)
2 2 2 6 64
Trư ng h p tam giác ABC nh n, các b t ñ ng th c (7 ), (8), (9) luôn ñúng.
Thí d 4. Ch ng minh r ng v i m i tam giác ABC ta luôn có :
3
(cos A + sin A)(cos B + sin B )(cos C + sin C ) ≤ 2 2 2 + 6
4
4
L i gi i. Ta có :
(cos A + sin A)(cos B + sin B )(cos C + sin C ) = 2 2 cos A − π cos B − π cos C − π
4 4 4
nên b t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i :
The Inequalities Trigonometry 96