Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
Chương 2 :
Các phương pháp ch ng minh
Ch ng minh b t ñ ng th c ñòi h i k năng và kinh nghi m. Không th khơi khơi mà ta
ñâm ñ u vào ch ng minh khi g p m t bài b t ñ ng th c. Ta s xem xét nó thu c d ng bài
nào, nên dùng phương pháp nào ñ ch ng minh. Lúc ñó vi c ch ng minh b t ñ ng th c
m i thành công ñư c.
Như v y, ñ có th ñương ñ u v i các b t ñ ng th c lư ng giác, b n ñ c c n n m v ng
các phương pháp ch ng minh. ðó s là kim ch nam cho các bài b t ñ ng th c. Nh ng
phương pháp ñó cũng r t phong phú và ña d ng : t ng h p, phân tích, quy ư c ñúng, ư c
lư ng non già, ñ i bi n, ch n ph n t c c tr … Nhưng theo ý ki n ch quan c a mình,
nh ng phương pháp th t s c n thi t và thông d ng s ñư c tác gi gi i thi u trong
chương 2 : “Các phương pháp ch ng minh”.
M cl c:
2.1. Bi n ñ i lư ng giác tương ñương ………………………………………... 32
2.2. S d ng các bư c ñ u cơ s ……………………………………………... 38
2.3. ðưa v vector và tích vô hư ng ………………………………………….. 46
2.4. K t h p các b t ñ ng th c c ñi n ……………………………………….. 48
2.5. T n d ng tính ñơn di u c a hàm s ……………………………………… 57
2.6. Bài t p ……………………………………………………………………. 64
The Inequalities Trigonometry 31
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
2.1. Bi n ñ i lư ng giác tương ñương :
Có th nói phương pháp này là m t phương pháp “xưa như Trái ð t”. Nó s d ng các
công th c lư ng giác và s bi n ñ i qua l i gi a các b t ñ ng th c. ð có th s d ng
t t phương pháp này b n ñ c c n trang b cho mình nh ng ki n th c c n thi t v bi n ñ i
lư ng giác (b n ñ c có th tham kh o thêm ph n 1.2. Các ñ ng th c,b t ñ ng th c
trong tam giác).
Thông thư ng thì v i phương pháp này, ta s ñưa b t ñ ng th c c n ch ng minh v
d ng b t ñ ng th c ñúng hay quen thu c. Ngoài ra, ta cũng có th s d ng hai k t qu
quen thu c sin x ≤ 1 ; cos x ≤ 1 .
Ví d 2.1.1.
π
1 − sin
CMR : 14 > 3 cos π
π 7
2 sin
14
L i gi i :
Ta có :
π 3π π 5π 3π 7π 5π
1 − sin = sin − sin + sin − sin + sin − sin
14 14 14 14 14 14 14
π π 2π 3π
= 2 sin cos + cos + cos
14 7 7 7
π
1 − sin
⇒ 14 = cos π + cos 2π + cos 3π (1)
π 7 7 7
2 sin
14
M t khác ta có :
π 1 π 3π 5π π 4π 2π
cos = cos + cos + cos + cos + cos + cos
7 2 7 7 7 7 7 7
π 2π 2π 3π 3π π
= cos cos + cos cos + cos cos (2)
7 7 7 7 7 7
π 2π 3π
ð t x = cos ; y = cos ; z = cos
7 7 7
Khi ñó t (1), (2) ta có b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
x + y + z > 3( xy + yz + zx ) (3)
mà x, y, z > 0 nên :
(3) ⇔ (x − y )2 + ( y − z )2 + (z − x )2 >0 (4 )
The Inequalities Trigonometry 32
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
Vì x, y, z ñôi m t khác nhau nên (4) ñúng ⇒ ñpcm.
Như v y, v i các b t ñ ng th c như trên thì vi c bi n ñ i lư ng giác là quy t ñ nh
s ng còn v i vi c ch ng minh b t ñ ng th c. Sau khi s d ng các bi n ñ i thì vi c gi i
quy t b t ñ ng th c tr nên d dàng th m chí là hi n nhiên (!).
Ví d 2.1.2.
CMR : a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2(ab sin 3x + ca cos 2 x − bc sin x )
L i gi i :
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
( ) ( )
a sin 2 2 x + cos 2 2 x + b 2 sin 2 x + cos 2 x + c 2 ≥ 2ab(sin x cos 2 x + sin 2 x cos x ) +
2
+ 2ca cos 2 x − 2bc sin x
(
⇔ a 2 cos 2 2 x + b 2 sin 2 x + c 2 − 2ab cos 2 x sin x − 2ca cos 2 x + 2bc sin x )
(
+ a sin 2 x − 2ab sin 2 x cos x + b 2 cos 2 x ≥ 0
2 2
)
⇔ (a cos 2 x − b sin x − c ) + (a sin 2 x − b cos x ) ≥ 0
2 2
B t ñ ng th c cu i cùng luôn ñúng nên ta có ñpcm.
Ví d 2.1.3.
CMR v i ∆ABC b t kỳ ta có :
9
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤
4
L i gi i :
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
1 − cos 2 B 1 − cos 2C 9
1 − cos 2 A + + ≤
2 2 4
1 1
⇔ cos 2 A + (cos 2 B + cos 2C ) + ≥ 0
2 4
1
⇔ cos 2 A − cos A cos(B − C ) + ≥ 0
4
2
cos(B − C ) 1 2
⇔ cos A − + sin (B − C ) ≥ 0
2 4
⇒ ñpcm.
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
The Inequalities Trigonometry 33
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
Ví d 2.1.4.
π
Cho α , β , γ ≠ + kπ (k ∈ Z ) là ba góc th a sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1 . CMR :
2
2
tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α 2 2 2
≤ 1 − 2 tan α tan β tan γ
3
L i gi i :
Ta có :
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1
⇔ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 2
1 1 1
⇔ + + =2
1 + tan α 1 + tan β 1 + tan 2 γ
2 2
⇔ tan 2 α tan 2 β + tan 2 β tan 2 γ + tan 2 γ tan 2 α = 1 − 2 tan 2 α tan 2 β tan 2 γ
Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
2
tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α 2 2 2 2 2 2
≤ tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α
3
⇔ (tan α tan β − tan β tan γ ) + (tan β tan γ − tan γ tan α ) + (tan γ tan α − tan α tan β ) ≥ 0
2 2 2
⇒ ñpcm.
tan α tan β = tan β tan γ
ð ng th c x y ra ⇔ tan β tan γ = tan γ tan α ⇔ tan α = tan β = tan γ
tan γ tan α = tan α tan β
Ví d 2.1.5.
CMR trong ∆ABC b t kỳ ta có :
A B C A B C
cot + cot + cot ≥ 3 tan + tan + tan
2 2 2 2 2 2
L i gi i :
Ta có :
A B C A B C
cot + cot + cot = cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C x, y , z > 0
ð t x = cot ; y = cot ; z = cot thì
2 2 2 x + y + z = xyz
Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
The Inequalities Trigonometry 34
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
1 1 1
x + y + z ≥ 3 + +
x y z
3( xy + yz + zx )
⇔ (x + y + z ) ≥
xyz
⇔ ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx )
2
⇔ (x − y ) + ( y − z ) + (z − x ) ≥ 0
2 2 2
⇒ ñpcm.
ð ng th c x y ra ⇔ cot A = cot B = cot C
⇔ A=B=C
⇔ ∆ABC ñ u.
Ví d 2.1.6.
1 1 2
CMR : + ≤
3 + sin x 3 − sin x 2 + cos x
L i gi i :
Vì − 1 ≤ sin x ≤ 1 và cos x ≥ −1 nên :
3 + sin x > 0 ; 3 − sin x > 0 và 2 + cos > 0
Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
(
6(2 + cos x ) ≤ 2 9 − sin 2 x )
(
⇔ 12 + 6 cos x ≤ 18 − 2 1 − cos 2 x )
⇔ 2 cos 2 x − 6 cos x + 4 ≥ 0
⇔ (cos x − 1)(cos x − 2) ≥ 0
do cos x ≤ 1 nên b t ñ ng th c cu i cùng luôn ñúng ⇒ ñpcm.
Ví d 2.1.7.
π π
CMR ∀ ≤ α ;β < ta có :
3 2
2 1 1
−1 ≤ − 1
cos β − 1
cos α + cos β cos α
L i gi i :
π π 1
T ∀ ≤ α ;β < ⇒ 0 < cos α ; cos β ≤
3 2 2
The Inequalities Trigonometry 35
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
0 < cos α + cos β ≤ 1
do ñó 1
0 < cos α cos β ≤ 4
ð t a = cos α + cos β ; b = cos α cos β
B t ñ ng th c ñã cho tr thành :
2−a 1− a + b
≤
a b
2
2−a 1− a + b
⇔ ≤
a b
⇔ (2 − a ) b ≤ a 2 (1 − a + b )
2
⇔ a 3 − a 2 − 4ab + 4b ≤ 0
( )
⇔ (a − 1) a 2 − 4b ≤ 0
B t ñ ng th c cu i cùng ñúng vì a ≤ 1 và a 2 − 4b = (cos α − cos β ) ≥ 0 ⇒ ñpcm.
2
Ví d 2.1.8.
Cho các góc nh n a và b th a sin 2 a + sin 2 b < 1 . CMR :
sin 2 a + sin 2 b < sin 2 (a + b )
L i gi i :
π
Ta có : sin 2 a + sin 2 − a = 1
2
2 2
nên t ñi u ki n sin a + sin b < 1 suy ra :
π π
b< −a ; 0 < a+b <
2 2
M t khác ta có :
sin 2 (a + b ) = sin 2 a cos 2 b + sin 2 b cos 2 a + 2 sin a sin b cos a cos b
nên thay cos 2 b = 1 − sin 2 b vào thì b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
2 sin 2 a sin 2 b < 2 sin a sin b cos a cos b
⇔ sin a sin b < cos a cos b
⇔ 0 < cos(a + b )
(ñ ý 2 sin a sin b > 0 nên có th chia hai v cho 2 sin a sin b )
π
B t ñ ng th c sau cùng hi n nhiên ñúng do 0 < a + b < ⇒ ñpcm.
2
The Inequalities Trigonometry 36
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
Ví d 2.1.9.
Cho ∆ABC không vuông. CMR :
( )
3 tan 2 A tan 2 B tan 2 C − 5 tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C ≤ 9 + tan 2 A tan 2 B + tan 2 B tan 2 C + tan 2 C tan 2 A
L i gi i :
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
( ) ( )( )(
4 tan 2 A tan 2 B tan 2 C − 4 tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C − 8 ≤ 1 + tan 2 A 1 + tan 2 B 1 + tan 2 C )
1 1 1 1 1 1 1
⇔ 4 − 1 − 1 − 1 − 4 + + − 3 − 8 ≤
cos A cos B cos C cos A cos B cos C
2 2 2 2 2 2
cos A cos 2 B cos 2 C
2
4 1 1 1 1
⇔ − + + ≤
cos A cos B cos C cos A cos B cos B cos C cos C cos A cos A cos 2 B cos 2 C
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≥
4
1 + cos 2 A 1 + cos 2 B 3
⇔ + + cos 2 C ≥
2 2 4
⇔ 2(cos 2 A + cos 2 B ) + 4 cos C + 1 ≥ 0
2
⇔ 2 cos( A + B ) cos( A − B ) + 4 cos 2 C + 1 ≥ 0
⇔ 4 cos 2 C − 4 cos C cos( A − B ) + 1 ≥ 0
⇔ (2 cos C − cos( A − B )) + sin 2 ( A − B ) ≥ 0
2
⇒ ñpcm.
Ví d sau ñây, theo ý ki n ch quan c a tác gi , thì l i gi i c a nó x ng ñáng là b c
th y v bi n ñ i lư ng giác. Nh ng bi n ñ i th t s l t léo k t h p cùng b t ñ ng th c
m t cách h p lý ñúng ch ñã mang ñ n cho chúng ta m t bài toán th t s ñ c s c !!!
Ví d 2.1.10.
Cho n a ñư ng tròn bán kính R , C là m t ñi m tùy ý trên n a ñư ng tròn. Trong hai
hình qu t n i ti p hai ñư ng tròn, g i M và N là hai ti p ñi m c a hai ñư ng tròn v i
ñư ng kính c a n a ñư ng tròn ñã cho. CMR : MN ≥ 2 R 2 − 1 ( )
L i gi i :
π
G i O1 ,O2 là tâm c a hai ñư ng tròn. ð t ∠CON = 2α (như v y 0 < α < )
2
và OO1 = R1 ; OO2 = R2
Ta có :
∠O2 ON = α
π
∠O1OM = −α
2
The Inequalities Trigonometry 37
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
V y:
π
MN = MO + ON = R1 cot − α + R2 cot α = R1 tan α + R2 cot α
2
Trong ∆ vuông O1 MO có :
π
R1 = O1O sin − α = (R − R1 ) cos α
2
R cos α
R1 (1 + cos α ) = R cos α ⇒ R1 =
1 + cos α
Tương t :
R sin α
R2 = OO2 sin α = (R − R2 ) sin α ⇒ R2 =
1 + sin α
Do ñó :
R cos α sin α R sin α cos α
MN = ⋅ + ⋅
1 + cos α cos α 1 + sin α sin α
R sin α R cos α
= + C
1 + cos α 1 + sin α
sin α + cos α + 1
=R
(1 + sin α )(1 + cos α ) O1
O2
α α α
2 cos sin + cos
2 2 2
=R 2 M O N
α α 2 α
sin + cos .2 cos
2 2 2
1
=R
α α α
cos sin + cos
2 2 2
2R
=
sin α + cos α + 1
π
mà sin α + cos α ≤ 2 α − ≤ 2 ⇒ MN ≥
2R
( )
= 2 R 2 − 1 ⇒ ñpcm.
4 2 +1
π
ð ng th c x y ra ⇔ α = ⇔ OC ⊥ MN .
4
2.2. S d ng các bư c ñ u cơ s :
Các bư c ñ u cơ s mà tác gi mu n nh c ñ n ñây là ph n 1.2. Các ñ ng th c, b t
ñ ng th c trong tam giác. Ta s ñưa các b t ñ ng th c c n ch ng minh v các b t ñ ng
th c cơ b n b ng cách bi n ñ i và s d ng các ñ ng th c cơ b n. Ngoài ra, khi tham gia
các kỳ thi, tác gi khuyên b n ñ c nên ch ng minh các ñ ng th c, b t ñ ng th c cơ b n
s d ng như m t b ñ cho bài toán.
The Inequalities Trigonometry 38
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
Ví d 2.2.1.
Cho ∆ABC . ðư ng phân giác trong các góc A, B, C c t ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC
l n lư t t i A1 , B1 , C1 . CMR :
S ABC ≤ S A1B1C1
L i gi i :
G i R là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC thì nó cũng là bán kính ñư ng tròn
ngo i ti p ∆A1 B1C1 . A
B1
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
2 R 2 sin A sin B sin C ≤ 2 R 2 sin A1 sin B1 sin C1 (1)
C1
B+C C+A A+ B
Do A1 = ; B1 = ; C1 = nên :
2 2 2
(1) ⇔ sin A sin B sin C ≤ sin B + C sin C + A sin A + B
2 2 2 B C
A B C A B C A B C
⇔ 8 sin sin sin cos cos cos ≤ cos cos cos (2)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C
Vì cos cos cos > 0 nên : A1
2 2 2
(2) ⇔ sin A sin B sin C ≤ 1 ⇒ ñpcm.
2 2 2 8
ð ng th c x y ra ⇔ ∆ABC ñ u.
Ví d 2.2.2.
CMR trong m i tam giác ta ñ u có :
7 A B C
sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ + 4 sin sin sin
4 2 2 2
L i gi i :
A B C
Ta có : cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin
2 2 2
B t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i :
3
sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ + cos A + cos B + cos C (1)
4
mà :
The Inequalities Trigonometry 39
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
cos A = sin B sin C − cos B cos C
cos B = sin C sin A − cos C cos A
cos C = sin A sin B − cos A cos B
nên :
(1) ⇔ cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ 3 (2)
4
Th t v y hi n nhiên ta có :
1
cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ (cos A + cos B + cos C )2 (3)
3
3
M t khác ta có : cos A + cos B + cos C ≤
2
⇒ (3) ñúng ⇒ (2) ñúng ⇒ ñpcm.
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Ví d 2.2.3.
Cho ∆ABC b t kỳ. CMR :
1 1 1
+ + ≥1
1 + 2 cos A + 4 cos A cos B 1 + 2 cos B + 4 cos B cos C 1 + 2 cos C + 4 cos C cos A
L i gi i :
ð t v trái b t ñ ng th c c n ch ng minh là T.
Theo AM – GM ta có :
T [3 + 2(cos A + cos B + cos C ) + 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A)] ≥ 9 (1)
3
mà : cos A + cos B + cos C ≤
2
và hi n nhiên : cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤
(cos A + cos B + cos C )2 ≤ 3
3 4
⇒ 3 + 2(cos A + cos B + cos C ) + 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A) ≤ 9 (2 )
T (1), (2) suy ra T ≥ 1 ⇒ ñpcm.
Ví d 2.2.4.
CMR v i m i ∆ABC b t kỳ, ta có :
a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3S + (a − b ) + (b − c ) + (c − a )
2 2 2
L i gi i :
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
The Inequalities Trigonometry 40
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
2(ab + bc + ca ) ≥ 4 3S + a 2 + b 2 + c 2 (1)
Ta có :
b2 + c2 − a2
cot A =
4S
c + a2 − b2
2
cot B =
4S
a + b2 − c2
2
cot C =
4S
Khi ñó :
(1) ⇔ 4S 1 + 1 + 1 ≥ 4 3S + 4S (cot A + cot B + cot C )
sin A sin B sin C
1 1 1
⇔ − cot A + − cot B + − cot C ≥ 3
sin A sin B sin C
A B C
⇔ tan + tan + tan ≥ 3
2 2 2
⇒ ñpcm.
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Ví d 2.2.5.
CMR trong m i tam giác, ta có :
A B B C C A 5 r
sin sin + sin sin + sin sin ≤ +
2 2 2 2 2 2 8 4R
L i gi i :
A B C
Áp d ng công th c : r = 4 R sin sin sin , ta ñưa b t ñ ng th c ñã cho v d ng
2 2 2
tương ñương sau :
A B B C C A A B C 5
sin sin + sin sin + sin sin − sin sin sin ≤ (1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 8
A B C
Ta có : cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin
2 2 2
Do ñó :
(1) ⇔ sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A − 1 (cos A + cos B + cos C − 1) ≤ 5 (2)
2 2 2 2 2 2 4 8
Theo AM – GM, ta có :
A B A B
cos cos cos cos
2 + 2 ≥ 2 ⇒ sin A sin B 2 + 2 ≥ 2 sin A sin B
2
cos
B A 2 B A 2 2
cos cos cos
2 2 2 2
The Inequalities Trigonometry 41
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
A B 1 B A
⇒ 2 sin sin ≤ sin A tan + sin B tan
2 2 2 2 2
Tương t ta có :
B C 1 C B
2 sin sin ≤ sin B tan + sin C tan
2 2 2 2 2
C A 1 A C
2 sin sin ≤ sin C tan + sin A tan
2 2 2 2 2
T ñó suy ra :
A B B C C A
2 sin sin + sin sin + sin sin ≤
2 2 2 2 2 2
1 A B C
≤ tan (sin B + sin C ) + tan (sin C + sin A) + tan (sin A + sin B )
2 2 2 2
A B B C C A
⇒ cos A + cos B + cos C ≥ 2 sin sin + sin sin + sin sin
2 2 2 2 2 2
Khi ñó :
A B B C C A 1
sin sin + sin sin + sin sin − (cos A + cos B + cos C − 1) ≤
2 2 2 2 2 2 4
1 1 1 1
≤ (cos A + cos B + cos C ) − (cos A + cos B + cos C − 1) = (cos A + cos B + cos C ) =
2 4 4 4
3
mà cos A + cos B + cos C ≤
2
A B B C C A 1 5
⇒ sin sin + sin sin + sin sin − (cos A + cos B + cos C − 1) ≤
2 2 2 2 2 2 4 8
⇒ (2) ñúng ⇒ ñpcm.
Ví d 2.2.6.
Cho ∆ABC b t kỳ. CMR :
3
a2 + b2 + c2 a 2b 2c 2
≤
cot A + cot B + cot C
A B C
tan tan tan
2 2 2
L i gi i :
Ta có :
a2 + b2 + c2
= 4S
cot A + cot B + cot C
nên b t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i :
The Inequalities Trigonometry 42
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
a 2b 2 c 2
64S 3 ≤ (1)
A B C
tan tan tan
2 2 2
M t khác ta cũng có :
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ⇒ a 2 ≥ 2bc − 2bc cos A
A
⇒ a 2 ≥ 4bc sin 2
2
A
4bc sin 2
a2 2 = 2bc sin A = 4 S
⇒ ≥
A A
tan tan
2 2
Tương t ta cũng có :
b2 c2
≥ 4S ; ≥ 4S
B C
tan tan
2 2
⇒ (1) ñúng ⇒ ñpcm.
Ví d 2.2.7.
CMR trong m i tam giác ta có :
(1 + b + c − bc ) cos A + (1 + c + a − ca ) cos B + (1 + a + b − ab) cos C ≤ 3
L i gi i :
Ta có v trái c a b t ñ ng th c c n ch ng minh b ng :
(cos A + cos B + cos C ) + [(b + c ) cos A + (c + a )cos B + (a + b) cos C ] − (ab cos C + bc cos A + ca cos B )
ð t:
P = cos A + cos B + cos C
Q = (b + c ) cos A + (c + a ) cos B + (a + b ) cos C
R = ab cos C + bc cos A + ca cos B
3
D th y P ≤
2
M t khác ta có :
b cos C + c cos B = 2 R(sin B cos C + sin C cos B ) = 2 R sin (B + C ) = 2 R sin A = a
Tương t :
c cos A + a cos C = b
a cos B + b cos A = c
⇒Q = a+b+c
Và ta l i có :
The Inequalities Trigonometry 43
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2
ab cos C + bc cos A + ca cos B = + +
2 2 2
2 2 2
a +b +c
⇒R=
2
3
⇒ P + Q + R ≤ + (a + b + c ) −
a2 + b2 + c2
= 3−
(a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≤ 3
2 2 3
⇒ ñpcm.
Ví d 2.2.8.
Cho ∆ABC b t kỳ. CMR :
R+r ≥4 3 S
L i gi i :
Ta có :
abc 2 R 3 sin A sin B sin C S
R= = =
4S 8 2 sin A sin B sin C
S S 8 2 sin A sin B sin C
r= = =
p R(sin A + sin B + sin C ) sin A + sin B + sin C
V y:
1 S 1 S 8 2 sin A sin B sin C
R+r = + +
2 2 sin A sin B sin C 2 2 sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C
Theo AM – GM ta có :
R+r 3 S S sin A sin B sin C
≥
3 8 sin A sin B sin C (sin A + sin B + sin C )
mà :
3 3
sin A + sin B + sin C ≤
2
3 3
sin A sin B sin C ≤
8
4S S
⇒ R+r ≥3 = 4 3 S ⇒ ñpcm.
4
4 27 .3 3
Ví d 2.2.9.
CMR trong m i tam giác ta có :
The Inequalities Trigonometry 44
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
2 2
8 S ab ab bc bc ca ca 8 S
≥ + + ≥
3 2r a+b b+c c+a 3 R
L i gi i :
Theo AM – GM ta có :
ab ab bc bc ca ca ab + bc + ca
+ + ≤
a+b b+c c+a 2
2
8 S
Do S = pr ⇒ =
(a + b + c ) 2
3 2r 6
L i có :
ab + bc + ca (a + b + c )
2
≤
2 6
2
8 S ab ab bc bc ca ca
⇒ ≥ + + ⇒ v trái ñư c ch ng minh xong.
3 2r a+b b+c c+a
Ta có :
a + b + c = 2 R(sin A + sin B + sin C )
3 3
sin A + sin B + sin C ≤
2
⇒ a + b + c ≤ 3R 3
Theo AM – GM ta có :
S2 = p ( p − a )( p − b ) ( p − b )( p − c ) ( p − c )( p − a ) ≤ p abc
8
abc
2 p
8 S 8 8 9 abc 9abc
⇒ ≤ ⋅ = ⋅ =
3 R 3 a+b+c 2
2 a + b + c (a + b ) + (b + c ) + (c + a )
3 3
M t l n n a theo AM – GM ta có :
9abc 9abc ab ab bc bc ca ca
≤ ≤ + +
(a + b ) + (b + c ) + (c + a ) 3. 3 (a + b )(b + c )(c + a ) a + b b + c c + a
⇒ v ph i ch ng minh xong ⇒ B t ñ ng th c ñư c ch ng minh hoàn toàn.
Ví d 2.2.10.
Cho ∆ABC b t kỳ. CMR :
4
a8 b8 c8 abc 6
+ + ≥
3R
2 A 2 B 2 C
cos cos cos
2 2 2
The Inequalities Trigonometry 45
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
L i gi i :
Áp d ng BCS ta có :
a8
+ +
b8
≥
c8
+ b4 + c4 (a 4
)
2
A B C A B C
cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 + cos 2 + cos 2
2 2 2 2 2 2
mà :
A B C 9
cos 2 + cos 2 + cos 2 ≤
2 2 2 4
4
abc
= 16 S
2 2
( )
R
Vì th ta ch c n ch ng minh : a 4 + b 4 + c 4 ≥ 16S 2
Trư c h t ra có : a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c ) (1)
( ) ( )
Th t v y : (1) ⇔ a 2 a 2 − bc + b 2 b 2 − ca + c 2 c 2 − ab ≥ 0 ( )
[ ] [ ] [
⇔ a 2 + (b + c ) (b − c ) + b 2 + (c + a ) (c − a ) + c 2 + (a + b ) (a − b ) ≥ 0 (ñúng!)
2 2 2 2 2
] 2
M t khác ta cũng có :
16 S 2 = 16 p( p − a )( p − b )( p − c ) = (a + b + c )(a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) (2 )
T (1), (2) thì suy ra ta ph i ch ng minh : abc ≥ (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) (3)
ð t:
x = a+b−c
y =b+c−a
z = c+a−b
vì a, b, c là ba c nh c a m t tam giác nên x, y, z > 0
Khi ñó theo AM – GM thì :
abc =
( )( )( )
(x + y )( y + z )(z + x ) ≥ 2 xy 2 yz 2 zx = xyz = (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b )
8 8
⇒ (3) ñúng ⇒ ñpcm.
2.3 ðưa v vector và tích vô hư ng :
Phương pháp này luôn ñưa ra cho b n ñ c nh ng l i gi i b t ng và thú v . Nó ñ c
trưng cho s k t h p hoàn gi a ñ i s và hình h c. Nh ng tính ch t c a vector l i mang
ñ n l i gi i th t sáng s a và ñ p m t. Nhưng s lư ng các bài toán c a phương pháp này
không nhi u.
Ví d 2.3.1.
The Inequalities Trigonometry 46
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
CMR trong m i tam giác ta có :
3
cos A + cos B + cos C ≤
2
L i gi i :
L y các vector ñơn v e1 , e2 , e3 l n lư t trên các c nh AB, BC , CA .
Hi n nhiên ta có : A
(e + e
1 2) ≥0
+ e3
2
e1
⇔ 3 + 2 cos(e , e ) + 2 cos(e , e ) + 2 cos(e , e ) ≥ 0
1 2 2 3 3 1
⇔ 3 − 2(cos A + cos B + cos C ) ≥ 0
3 e3
⇔ cos A + cos B + cos C ≤ B
2 e2 C
⇒ ñpcm.
Ví d 2.3.2.
Cho ∆ABC nh n. CMR :
3
cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ −
2
L i gi i :
G i O, G l n lư t là tâm ñư ng tròn ngo i ti p và tr ng tâm ∆ABC .
A
Ta có : OA + OB + OC = 3OG
Hi n nhiên :
(OA + OB + OC ) ≥ 0 2
⇔ 3R + 2 R [cos(OA, OB ) + cos (OB, OC ) + cos(OC , OA)] ≥ 0
2 2
O
⇔ 3R + 2 R (cos 2C + cos 2 A + cos 2 B ) ≥ 0
2 2
B C
3
⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ −
2
⇒ ñpcm.
ð ng th c x y ra ⇔ OA + OB + OC = 0 ⇔ OG = 0 ⇔ O ≡ G ⇔ ∆ABC ñ u.
Ví d 2.3.3.
The Inequalities Trigonometry 47
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
Cho ∆ABC nh n. CMR ∀x, y, z ∈ R ta có :
1 2
yz cos 2 A + zx cos 2 B + xy cos 2C ≥ −
2
(x + y2 + z2 )
A
L i gi i :
G i O là tâm ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC .
Ta có :
(xOA + yOB + zOC ) 2
≥0
O
B C
⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyOA.OB + 2 yz OB.OC + 2 zxOC.OA ≥ 0
⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy cos 2C + 2 yz cos 2 A + 2 zx cos 2 B ≥ 0
1 2
⇔ yz cos 2 A + zx cos 2 B + xy cos 2C ≥ −
2
(
x + y2 + z2 )
⇒ ñpcm.
2.4. K t h p các b t ñ ng th c c ñi n :
V n i dung cũng như cách th c s d ng các b t ñ ng th c chúng ta ñã bàn chương
1: “Các bư c ñ u cơ s ”. Vì th ph n này, ta s không nh c l i mà xét thêm m t s ví
d ph c t p hơn, thú v hơn.
Ví d 2.4.1.
CMR ∀∆ABC ta có :
A B C A B C 9 3
sin + sin + sin cot + cot + cot ≥
2 2 2 2 2 2 2
L i gi i :
Theo AM – GM ta có :
A B C
sin + sin + sin
2 2 2 ≥ 3 sin A sin B sin C
3 2 2 2
M t khác :
A B C
cos cos cos
A B C A B C 2 2 2
cot + cot + cot = cot cot cot =
2 2 2 2 2 2 A B C
sin sin sin
2 2 2
The Inequalities Trigonometry 48
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
1
(sin A + sin B + sin C ) sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C
= 4 = 2 2 2 2 2 2
A B C A B C
sin sin sin 2 sin sin sin
2 2 2 2 2 2
3 sin
A A B B C C
cos sin cos sin cos
3 2 2 2 2 2 2
≥ ⋅
2 A B C
sin sin sin
2 2 2
Suy ra :
A B C A B C
sin + sin + sin cot + cot + cot ≥
2 2 2 2 2 2
A B C A A B B C C
3 sinsin sin sin cos sin cos sin cos
9 2 2 2 2 2 2 2 2 2
≥ ⋅
2 A B C
sin sin sin
2 2 2
9 A B C
= 3 cot cot cot (1)
2 2 2 2
A B C
mà ta cũng có : cot cot cot ≥ 3 3
2 2 2
9 A B C 9 9 3
⇒ ⋅ 3 cot cot cot ≥ ⋅ 3 3 3 = (2)
2 2 2 2 2 2
T (1) và (2) :
A B C A B C 9 3
⇒ sin + sin + sin cot + cot + cot ≥
2 2 2 2 2 2 2
⇒ ñpcm.
Ví d 2.4.2.
Cho ∆ABC nh n. CMR :
(cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 9 3
2
L i gi i :
Vì ∆ABC nh n nên cos A, cos B, cos C , tan A, tan B, tan C ñ u dương.
cos A + cos B + cos C 3
Theo AM – GM ta có : ≥ cos A cos B cos C
3
sin A sin B sin C
tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C =
cos A cos B cos C
The Inequalities Trigonometry 49
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
1
(sin 2 A + sin 2 B + sin 2C ) sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C
= 4 =
cos A cos B cos C 2 cos A cos B cos C
3
3 sin A cos A sin B cos B sin C cos C
≥ ⋅
2 2 cos A cos B cos C
Suy ra :
3
(cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 9 ⋅ cos A cos B cos C sin A cos A sin B cos B sin C cos C
2 cos A cos B cos C
93
= tan A tan B tan C (1)
2
M t khác : tan A tan B tan C ≥ 3 3
9 3 9 9 3
⇒⋅ tan A tan B tan C ≥ ⋅ 3 3 3 = (2)
2 2 2
T (1) và (2) suy ra :
(cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 9 3
2
⇒ ñpcm.
Ví d 2.4.3.
Cho ∆ABC tùy ý. CMR :
tan A + 1 + tan B + 1 + tan C + 1 ≥4 3
2
tan
A 2
tan
B 2 C
tan
2 2 2
L i gi i :
π
Xét f ( x ) = tan x ∀x ∈ 0 ;
2
Khi ñó : f ' ' ( x ) =
A B C
Theo Jensen thì : tan + tan + tan ≥ 3 (1)
2 2 2
π
Xét g ( x ) = cot x ∀x ∈ 0 ;
2
π
Và g ' ' ( x ) = 2(1 + cot 2 x )cot x > 0 ∀x ∈ 0 ;
2
A B C
Theo Jensen thì : cot + cot + cot ≥ 3 3 (2)
2 2 2
V y (1) + (2)⇒ ñpcm.
The Inequalities Trigonometry 50
Copyright by webtailieu.net