Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
Chương 1 :
CÁC BƯ C ð U CƠ S
ð b t ñ u m t cu c hành trình, ta không th không chu n b hành trang ñ lên ñư ng.
Toán h c cũng v y. Mu n khám phá ñư c cái hay và cái ñ p c a b t ñ ng th c lư ng
giác, ta c n có nh ng “v t d ng” ch c ch n và h u d ng, ñó chính là chương 1: “Các
bư c ñ u cơ s ”.
Chương này t ng quát nh ng ki n th c cơ b n c n có ñ ch ng minh b t ñ ng th c
lư ng giác. Theo kinh nghi m cá nhân c a mình, tác gi cho r ng nh ng ki n th c này là
ñ y ñ cho m t cu c “hành trình”.
Trư c h t là các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev
…) Ti p theo là các ñ ng th c, b t ñ ng th c liên quan cơ b n trong tam giác. Cu i cùng
là m t s ñ nh lý khác là công c ñ c l c trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c (ñ nh lý
Largare, ñ nh lý v d u c a tam th c b c hai, ñ nh lý v hàm tuy n tính …)
M cl c:
1.1. Các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n…………………………………………… 4
1.1.1. B t ñ ng th c AM – GM…...……………............................................ 4
1.1.2. B t ñ ng th c BCS…………………………………………………….. 8
1.1.3. B t ñ ng th c Jensen……………………………………………….... 13
1.1.4. B t ñ ng th c Chebyshev…………………………………………..... 16
1.2. Các ñ ng th c, b t ñ ng th c trong tam giác…………………………….. 19
1.2.1. ð ng th c……………………………………………………………... 19
1.2.2. B t ñ ng th c………………………………………………………..... 21
1.3. M t s ñ nh lý khác………………………………………………………. 22
1.3.1. ð nh lý Largare ………………………..……………………………. 22
1.3.2. ð nh lý v d u c a tam th c b c hai………………………………….. 25
1.3.3. ð nh lý v hàm tuy n tính…………………………………………….. 28
1.4. Bài t p…………………………………………………………………….. 29
The Inequalities Trigonometry 3
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
1.1. Các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n :
1.1.1. B t ñ ng th c AM – GM :
V i m i s th c không âm a1 , a 2 ,..., a n ta luôn có
a1 + a 2 + ... + a n n
≥ a1 a 2 ...a n
n
B t ñ ng th c AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) là m t b t ñ ng th c
quen thu c và có ng d ng r t r ng rãi. ðây là b t ñ ng th c mà b n ñ c c n ghi nh rõ
ràng nh t, nó s là công c hoàn h o cho vi c ch ng minh các b t ñ ng th c. Sau ñây là
hai cách ch ng minh b t ñ ng th c này mà theo ý ki n ch quan c a mình, tác gi cho
r ng là ng n g n và hay nh t.
Ch ng minh :
Cách 1 : Quy n p ki u Cauchy
V i n = 1 b t ñ ng th c hi n nhiên ñúng. Khi n = 2 b t ñ ng th c tr thành
a1 + a 2
2
(
≥ a1 a 2 ⇔ a1 − a 2 ≥ 0
2
)
(ñúng!)
Gi s b t ñ ng th c ñúng ñ n n = k t c là :
a1 + a 2 + ... + a k k
≥ a1a 2 ...a k
k
Ta s ch ng minh nó ñúng v i n = 2k . Th t v y ta có :
(a1 + a 2 + ... + ak ) + (a k +1 + ak +2 + ... + a 2k ) (a1 + a 2 + ... + ak )(ak +1 + ak +2 + ... + a2k )
≥
2k k
≥
(k k )(
a1 a 2 ...a k k k a k +1 a k + 2 ...a 2 k )
k
= 2 k a1 a 2 ...a k a k +1 ...a 2 k
Ti p theo ta s ch ng minh v i n = k − 1 . Khi ñó :
a1 + a 2 + ... + a k −1 + k −1 a1a 2 ...a k =1 ≥ k k a1 a 2 ...a k −1 k −1 a1a 2 ...a k −1
= k k −1 a1 a 2 ...a k −1
⇒ a1 + a 2 + ... + a k −1 ≥ (k − 1)k −1 a1 a 2 ...a k −1
Như v y b t ñ ng th c ñư c ch ng minh hoàn toàn.
ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a 2 = ... = a n
Cách 2 : ( l i gi i c a Polya )
The Inequalities Trigonometry 4
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
a 1 + a 2 + ... + a n
G i A =
n
Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i
a1 a 2 ...a n ≤ A n (*)
Rõ ràng n u a1 = a 2 = ... = a n = A thì (*) có d u ñ ng th c. Gi s chúng không b ng
nhau. Như v y ph i có ít nh t m t s , gi s là a1 < A và m t s khác, gi s là a 2 > A
t c là a1 < A < a 2 .
Trong tích P = a1 a 2 ...a n ta hãy thay a1 b i a'1 = A và thay a 2 b i a' 2 = a1 + a 2 − A .
Như v y a'1 + a' 2 = a1 + a 2 mà a'1 a' 2 −a 2 a 2 = A(a1 + a 2 − A) − a1a 2 = (a1 − A)(a 2 − A) > 0
⇒ a'1 a' 2 > a1 a 2
⇒ a1 a 2 a3 ...a n < a'1 a' 2 a3 ...a n
Trong tích P ' = a '1 a' 2 a3 ...a n có thêm th a s b ng A . N u trong P ' còn th a s khác
A thì ta ti p t c bi n ñ i ñ có thêm m t th a s n a b ng A . Ti p t c như v y t i ña
n − 1 l n bi n ñ i ta ñã thay m i th a s P b ng A và ñư c tích A n . Vì trong quá trình
bi n ñ i tích các th a s tăng d n. ⇒ P < A n . ⇒ ñpcm.
Ví d 1.1.1.1.
Cho A,B,C là ba góc c a m t tam giác nh n. CMR :
tan A + tan B + tan C ≥ 3 3
L i gi i :
tan A + tan B
Vì tan ( A + B ) = − tan C ⇔ = − tan C
1 − tan A tan B
⇒ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
Tam giác ABC nh n nên tanA,tanB,tanC dương.
Theo AM – GM ta có :
tan A + tan B + tan C ≥ 33 tan A tan B tan C = 33 tan A + tan B + tan C
⇒ (tan A + tan B + tan C ) ≥ 27(tan A + tan B + tan C )
2
⇒ tan A + tan B + tan C ≥ 3 3
ð ng th c x y ra ⇔ A = B = C ⇔ ∆ABC ñ u.
Ví d 1.1.1.2.
Cho ∆ABC nh n. CMR :
cot A + cot B + cot C ≥ 3
The Inequalities Trigonometry 5
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
L i gi i :
Ta luôn có : cot ( A + B ) = − cot C
cot A cot B − 1
⇔ = − cot C
cot A + cot B
⇔ cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1
Khi ñó :
(cot A − cot B )2 + (cot B − cot C )2 + (cot C − cot A)2 ≥ 0
⇔ (cot A + cot B + cot C ) ≥ 3(cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A) = 3
2
⇒ cot A + cot B + cot C ≥ 3
D u b ng x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Ví d 1.1.1.3.
CMR v i m i ∆ABC nh n và n ∈ N * ta luôn có :
n −1
tan n A + tan n B + tan n C
≥3 2
tan A + tan B + tan C
L i gi i :
Theo AM – GM ta có :
tan n A + tan n B + tan n C ≥ 33 (tan A tan B tan C ) = 33 (tan A + tan B + tan C )
n n
n −1
tan n A + tan n B + tan n C
⇒
tan A + tan B + tan C
≥ 33 (tan A + tan B + tan C ) ≥ 33 3 3
n −3
( ) n −3
=3 2
⇒ ñpcm.
Ví d 1.1.1.4.
Cho a,b là hai s th c th a :
cos a + cos b + cos a cos b ≥ 0
CMR : cos a + cos b ≥ 0
L i gi i :
Ta có :
cos a + cos b + cos a cos b ≥ 0
⇔ (1 + cos a )(1 + cos b ) ≥ 1
Theo AM – GM thì :
The Inequalities Trigonometry 6
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
(1 + cos a ) + (1 + cos b ) ≥ (1 + cos a )(1 + cos b ) ≥ 1
2
⇒ cos a + cos b ≥ 0
Ví d 1.1.1.5.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC nh n ta có :
cos A cos B cos B cos C cos C cos A 2 A B B C C A 3
+ + ≤ sin sin + sin sin + sin sin +
A
cos cos
B B
cos cos
C C
cos cos
A 3 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
L i gi i :
Ta có
cos A A A
= sin cot
A 2 2
2 cos
2
3
cos A cos B
4 A B 3
= sin sin cot A cot B
A B 2 2 4
4 cos cos
2 2
Theo AM – GM thì :
2
3 A B 3
cos A cos B sin sin + cot A cot B
4 ≤ 2 2 4
A B 2
4 cos cos
2 2
cos A cos B 2 A B 3
⇒ ≤ sin sin + cot A cot B
A
cos cos
B 3 2 2 4
2 2
Tương t ta có :
cos B cos C 2 B C 3
≤ sin sin + cot B cot C
B
cos cos
C 3 2 2 4
2 2
cos C cos A 2 C A 3
≤ sin sin + cot C cot A
C
cos cos
A 3 2 2 4
2 2
C ng v theo v các b t ñ ng th c trên ta ñư c:
The Inequalities Trigonometry 7
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
cos A cos B cos B cos C cos C cos A
+ +
A B B C C A
cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
2 A B B C C A 3
≤ sin sin + sin sin + sin sin + (cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A)
3 2 2 2 2 2 2 2
2 A B B C C A 3
= sin sin + sin sin + sin sin + ⇒ ñpcm.
3 2 2 2 2 2 2 2
Bư c ñ u ta m i ch có b t ñ ng th c AM – GM cùng các ñ ng th c lư ng giác nên
s c nh hư ng ñ n các b t ñ ng th c còn h n ch . Khi ta k t h p AM – GM cùng BCS,
Jensen hay Chebyshev thì nó th c s là m t vũ khí ñáng g m cho các b t ñ ng th c
lư ng giác.
1.1.2. B t ñ ng th c BCS :
V i hai b s (a1 , a2 ,..., an ) và (b1 , b2 ,..., bn ) ta luôn có :
(a1b1 + a2 b2 + ... + a n bn )2 ≤ (a1 2 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 )
N u như AM – GM là “cánh chim ñ u ñàn” trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c thì
BCS (Bouniakovski – Cauchy – Schwartz) l i là “cánh tay ph i” h t s c ñ c l c. V i
AM – GM ta luôn ph i chú ý ñi u ki n các bi n là không âm, nhưng ñ i v i BCS các
bi n không b ràng bu c b i ñi u ki n ñó, ch c n là s th c cũng ñúng. Ch ng minh b t
ñ ng th c này cũng r t ñơn gi n.
Ch ng minh :
Cách 1 :
Xét tam th c :
f ( x) = (a1 x − b1 ) + (a 2 x − b2 ) + ... + (a n x − bn )
2 2 2
Sau khi khai tri n ta có :
( 2 2 2
) 2 2
(
f ( x) = a1 + a 2 + ... + a n x 2 − 2(a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn )x + b1 + b2 + ... + bn
2
)
M t khác vì f ( x) ≥ 0∀x ∈ R nên :
( 2 2 2
)(
∆ f ≤ 0 ⇔ (a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ) ≤ a1 + a 2 + ... + a n b1 + b2 + ... + bn
2 2 2 2
) ⇒ ñpcm.
a1 a 2 a
ð ng th c x y ra ⇔ = = ... = n (quy ư c n u bi = 0 thì ai = 0 )
b1 b2 bn
Cách 2 :
The Inequalities Trigonometry 8
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
S d ng b t ñ ng th c AM – GM ta có :
2 2
ai bi 2 ai bi
+ 2 ≥
2 2
a1 + a 2 + ... + a n
2 2
b1 + b2 + ... + bn
2
(a 2 2
+ a 2 + ... + a n b1 + b2 + ... + bn
1
2
)( 2 2 2
)
Cho i ch y t 1 ñ n n r i c ng v c n b t ñ ng th c l i ta có ñpcm.
ðây cũng là cách ch ng minh h t s c ng n g n mà b n ñ c nên ghi nh !
Bây gi v i s ti p s c c a BCS, AM – GM như ñư c ti p thêm ngu n s c m nh, như
h m c thêm cánh, như r ng m c thêm vây, phát huy hi u qu t m nh hư ng c a mình.
Hai b t ñ ng th c này bù ñ p b sung h tr cho nhau trong vi c ch ng minh b t ñ ng
th c. Chúng ñã “lư ng long nh t th ”, “song ki m h p bích” công phá thành công nhi u
bài toán khó.
“Trăm nghe không b ng m t th y”, ta hãy xét các ví d ñ th y rõ ñi u này.
Ví d 1.1.2.1.
CMR v i m i a,b, α ta có :
2
(sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ 1 + a + b
2
L i gi i :
Ta có :
(sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) = sin 2 α + (a + b )sin α cos α + ab cos 2 α
1 − cos 2α (a + b ) 1 + cos 2α
= + sin 2α + ab
2 2 2
1
= (1 + ab + (a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α ) (1)
2
Theo BCS ta có :
A sin x + B cos x ≤ A2 + B 2 (2)
Áp d ng (2) ta có :
(a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α ≤ (a + b )2 + (ab − 1)2 = (a 2
)(
+1 b2 +1 ) (3)
Thay (3) vào (1) ta ñư c :
(sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ 1 (1 + ab +
2
(a 2
)(
+1 b2 +1 )) (4)
Ta s ch ng minh b t ñ ng th c sau ñây v i m i a, b :
2
1
2
(1 + ab + (a 2
)( )) a+b
+1 b2 +1 ≤ 1 +
2
(5)
The Inequalities Trigonometry 9
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
Th t v y :
1 ab 1 a 2 + b 2 ab
(5) ⇔ + +
2 2 2
(a 2
)( )
+1 b2 +1 ≤ 1+
4
+
2
a2 + b2 + 2
⇔ ( )(
a 2 +1 b2 +1 ≤
2
)
) (
a +1 + b2 +1 ) ( )
2
2
(
⇔ a +1 b +1 ≤ 2
)( 2
(6)
Theo AM – GM thì (6) hi n nhiên ñúng ⇒ (5) ñúng.
T (1) và (5) suy ra v i m i a,b, α ta có :
2
(sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ 1 + a + b
2
ð ng th c x y ra khi x y ra ñ ng th i d u b ng (1) và (6)
a 2 = b 2 a = b a = b
⇔ a+b ab − 1 ⇔ a+b ⇔ 1 a+b π
= tgα = α = arctg +k (k ∈ Z )
sin 2α cos 2α ab − 1 2 ab − 1 2
Ví d 1.1.2.2.
Cho a, b, c > 0 và a sin x + b cos y = c . CMR :
cos 2 x sin 2 y 1 1 c2
+ ≤ + − 3
a b a b a + b3
L i gi i :
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i :
1 − sin 2 x 1 − cos 2 y 1 1 c2
+ ≤ + − 3
a b a b a + b3
sin 2 x cos 2 y c2
⇔ + ≥ 3 (*)
a b a + b3
Theo BCS thì :
( )(
(a1b1 + a 2 b2 )2 ≤ a12 + a 2 2 b1 2 + b2 2 )
sin x cos y
a1 = ; a2 =
v i a b
b = a a ; b = b b
1 2
sin 2 x cos 2 y 3
⇒ (
3
)
a + b a + b ≥ (a sin x + b cos y )
2
do a + b > 0 và a sin x + b cos y = c ⇒ (*) ñúng ⇒ ñpcm.
3 3
The Inequalities Trigonometry 10
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
a1 a 2 sin x cos y
ð ng th c x y ra ⇔ = ⇔ 2 = 2
b1 b2 a b
sin x cos y
= 2
⇔ a2 b
a sin x + b cos y = c
a 2c
sin x = 3
a + b3
⇔ 2
cos y = b c
a3 + b3
Ví d 1.1.2.3.
CMR v i m i ∆ABC ta có :
a2 + b2 + c2
x+ y+ z≤
2R
v i x, y, z là kho ng cách t ñi m M b t kỳ n m bên trong ∆ABC ñ n ba c nh
BC , CA, AB .
A
L i gi i :
Ta có : P
S ABC = S MAB + S MBC + S MCA Q z y
S MAB S MBC S MCA ha M
⇔ + + =1
S ABC S ABC S ABC x
B C
z y x N
⇔ + + =1
hc hb ha
x y z
⇒ ha + hb + hc = (ha + hb + hc ) + +
h
a hb hc
Theo BCS thì :
x y z x y z
x + y + z = ha + hb + hc ≤ (ha + hb + hc )
+ + = ha + hb + hc
ha hb hc ha hb hc
1 1
mà S = aha = ab sin C ⇒ ha = b sin C , hb = c sin A , hc = a sin B
2 2
ab bc ca
⇒ ha + hb + hc = (a sin B + b sin C + c sin A) = + +
2R 2R 2R
T ñó suy ra :
ab + bc + ca a2 + b2 + c2
x+ y+ z≤ ≤ ⇒ ñpcm.
2R 2R
The Inequalities Trigonometry 11
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
a = b = c
ð ng th c x y ra khi và ch khi ⇔ ∆ABC ñ u và M là tâm n i ti p ∆ABC .
x = y = z
Ví d 1.1.2.4.
Ch ng minh r ng :
π
cos x + sin x ≤ 4 8 ∀x ∈ 0 ;
2
L i gi i :
Áp d ng b t ñ ng th c BCS liên ti p 2 l n ta có :
( cos x + sin x ) ≤ ((1
4 2
)+ 12 (cos x + sin x ) )
2
≤ (1 + 1 ) (1
2 2 2 2
)(
+ 12 cos 2 x + sin 2 x = 8 )
⇒ cos x + sin x ≤ 8 4
π
ð ng th c x y ra khi và ch khi x = .
4
Ví d 1.1.2.5.
Ch ng minh r ng v i m i s th c a và x ta có
( )
1 − x 2 sin a + 2 x cos a
≤1
1+ x2
L i gi i :
Theo BCS ta có :
((1 − x )sin a + 2 x cos a )
2 2
((
≤ 1− x2 ) + (2 x ) )(sin
2 2 2
a + cos 2 a )
2 4 2 2 4
= 1 − 2x + x + 4x = 1 + 2x + x
(( )
⇒ 1 − x 2 sin a + 2 x cos a ) ≤ (1 + x ) 2 2 2
⇔
(1 − a )sin a + 2 x cos a ≤ 1
2
1+ x2
⇒ ñpcm.
The Inequalities Trigonometry 12
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
1.1.3. B t ñ ng th c Jensen :
Hàm s y = f (x) liên t c trên ño n [a, b] và n ñi m x1 , x 2 ,..., x n tùy ý trên ño n
[a, b] ta có :
i) f ' ' ( x) > 0 trong kho ng (a, b ) thì :
x + x 2 + ... + x n
f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) ≥ nf 1
n
ii) f ' ' ( x) < 0 trong kho ng (a, b ) thì :
x + x 2 + ... + x n
f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) ≥ nf 1
n
B t ñ ng th c AM – GM và b t ñ ng th c BCS th t s là các ñ i gia trong vi c ch ng
minh b t ñ ng th c nói chung. Nhưng riêng ñ i v i chuyên m c b t ñ ng th c lư ng giác
thì ñó l i tr thành sân chơi riêng cho b t ñ ng th c Jensen. Dù có v hơi khó tin nhưng
ñó là s th t, ñ n 75% b t ñ ng th c lư ng giác ta ch c n nói “theo b t ñ ng th c
Jensen hi n nhiên ta có ñpcm”.
Trong phát bi u c a mình, b t ñ ng th c Jensen có ñ c p ñ n ñ o hàm b c hai,
nhưng ñó là ki n th c c a l p 12 THPT. Vì v y nó s không thích h p cho m t s ñ i
tư ng b n ñ c. Cho nên ta s phát bi u b t ñ ng th c Jensen dư i m t d ng khác :
x+ y
Cho f : R + → R th a mãn f ( x) + f ( y ) ≥ 2 f +
∀x, y ∈ R Khi ñó v i m i
2
+
x1 , x 2 ,..., x n ∈ R ta có b t ñ ng th c :
x + x 2 + ... + x n
f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) ≥ nf 1
n
S th t là tác gi chưa t ng ti p xúc v i m t ch ng minh chính th c c a b t ñ ng th c
Jensen trong phát bi u có f ' ' ( x) . Còn vi c ch ng minh phát bi u không s d ng ñ o
hàm thì r t ñơn gi n. Nó s d ng phương pháp quy n p Cauchy tương t như khi ch ng
minh b t ñ ng th c AM – GM. Do ñó tác gi s không trình bày ch ng minh ñây.
Ngoài ra, m t s tài li u có th b n ñ c g p khái ni m l i lõm khi nh c t i b t ñ ng
th c Jensen. Nhưng hi n nay trong c ng ñ ng toán h c v n chưa quy ư c rõ ràng ñâu là
l i, ñâu là lõm. Cho nên b n ñ c không nh t thi t quan tâm ñ n ñi u ñó. Khi ch ng minh
ta ch c n xét f ' ' ( x) là ñ ñ s d ng b t ñ ng th c Jensen. Ok! M c dù b t ñ ng th c
Jensen không ph i là m t b t ñ ng th c ch t, nhưng khi có d u hi u manh nha c a nó
thì b n ñ c c tùy nghi s d ng .
The Inequalities Trigonometry 13
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
Ví d 1.1.3.1.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có :
3 3
sin A + sin B + sin C ≤
2
L i gi i :
Xét f ( x) = sin x v i x ∈ (0 ; π )
Ta có f ' ' ( x) = − sin x < 0 ∀x ∈ (0 ; π ) . T ñó theo Jensen thì :
A+ B+C π 3 3
f ( A) + f (B ) + f (C ) ≤ 3 f = 3 sin = ⇒ ñpcm.
3 3 2
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Ví d 1.1.3.2.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ñ u ta có :
A B C
tan + tan + tan ≥ 3
2 2 2
L i gi i :
π
Xét f ( x ) = tan x v i x ∈ 0 ;
2
2 sin x π
Ta có f ' ' ( x ) = 3
> 0 ∀x ∈ 0 ; . T ñó theo Jensen thì :
cos x 2
A B C
+ +
A B C π
f + f + f ≥ 3 f 2 2 2 = 3 sin = 3 ⇒ ñpcm.
2 2 2 3 6
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Ví d 1.1.3.3.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có :
2 2 2 2 2 2
A B C
tan + tan + tan ≥ 31− 2
2 2 2
L i gi i :
The Inequalities Trigonometry 14
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
π
Xét f ( x ) = (tan x )
2 2
v i x ∈ 0;
2
( )
Ta có f ' ( x ) = 2 2 1 + tan 2 x (tan x )
2 2 −1
(
= 2 2 (tan x )
2 2 −1
+ (tan x )
2 2 +1
)
(( )( )
f ' ' ( x ) = 2 2 2 2 − 1 1 + tan 2 x (tan x ) (
+ 2 2 + 1 1 + tan 2 x (tan x )
2 2 −2
)(
>0 ) 2 2
)
Theo Jensen ta có :
A B C
+ + 2 2
A B C π
f + f + f ≥ 3 f 2 2 2 = 3 tg = 31− 2 ⇒ ñpcm.
2 2 2 3 6
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Ví d 1.1.3.4.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có :
A B C A B C 3
sin + sin + sin + tan + tan + tan ≥ + 3
2 2 2 2 2 2 2
L i gi i :
π
Xét f ( x ) = sin x + tan x v i x ∈ 0 ;
2
Ta có f ' ' (x ) =
( 4
sin x 1 − cos x ) π
> 0 ∀x ∈ 0 ;
4
cos x 2
Khi ñó theo Jensen thì :
A B C
+ +
A B C π π 3
f + f + f ≥ 3 f 2 2 2 = 3 sin + tan = + 3 ⇒ ñpcm.
2 2 2 3 6 6 2
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Ví d 1.1.3.5.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC nh n ta có :
3 3
2 2
(sin A) (sin B ) (sin C )
sin A sin B sin C
≥
3
L i gi i :
Ta có
The Inequalities Trigonometry 15
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2 cos A cos B cos C
sin A + sin B + sin C ≥ sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C
3 3
và sin A + sin B + sin C ≤
2
3 3
⇒ 2 < sin A + sin B + sin C ≤
2
Xét f ( x ) = x ln x v i x ∈ (0 ;1]
Ta có f ' ( x ) = ln x + 1
1
f ' ' ( x ) = > 0 ∀x ∈ (0 ;1]
x
Bây gi v i Jensen ta ñư c :
sin A + sin B + sin C sin a + sin B + sin C sin A(ln sin A) + sin B(ln sin B ) + sin C (ln sin C )
ln ≤
3 3 3
sin A+ sin B + sin C
sin A + sin B + sin C
≤ ln(sin A) + ln(sin B ) + ln(sin C )
sin A sin B sin C
⇔ ln
3
sin A + sin B + sin C sin A+sin B +sin C
⇔ ln [
≤ ln (sin A) (sin B ) (sin C )
sin A sin B sin C
]
3
⇔
(sin A + sin B + sin C )sin A+sin B +sin C ≤ (sin A)sin A (sin B )sin B (sin C )sin C
sin A+ sin B + sin C
3
3 3
sin A + sin B + sin C
2 sin A+sin B +sin C 2 2 2
⇒ (sin A) (sin B ) (sin C )
sin A sin B sin C
≥ sin A+sin B +sin C = ≥
3 3 3
⇒ ñpcm.
1.1.4. B t ñ ng th c Chebyshev :
V i hai dãy s th c ñơn ñi u cùng chi u a1 , a 2 ,..., a n và b1 , b2 ,..., bn thì ta có :
1
a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ≥ (a1 + a 2 + ... + a n )(b1 + b2 + ... + bn )
n
Theo kh năng c a mình thì tác gi r t ít khi s d ng b t ñ ng th c này. Vì trư c h t
ta c n ñ ý t i chi u c a các bi n, thư ng ph i s p l i th t các bi n. Do ñó bài toán
c n có yêu c u ñ i x ng hoàn toàn gi a các bi n, vi c s p x p th t s không làm m t
tính t ng quát c a bài toán. Nhưng không vì th mà l i ph nh n t m nh hư ng c a b t
ñ ng th c Chebyshev trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c lư ng giác, m c dù nó có m t
ch ng minh h t s c ñơn gi n và ng n g n.
The Inequalities Trigonometry 16
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
Ch ng minh :
B ng phân tích tr c ti p, ta có ñ ng th c :
n
∑ (a − a )(b − b ) ≥ 0
n(a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ) − (a1 + a 2 + ... + a n )(b1 + b2 + ... + bn ) =
i , j =1
i j i j
Vì hai dãy a1 , a 2 ,..., a n và b1 , b2 ,..., bn ñơn ñi u cùng chi u nên (a − a )(b − b ) ≥ 0
i j i j
N u 2 dãy a1 , a 2 ,..., a n và b1 , b2 ,..., bn ñơn ñi u ngư c chi u thì b t ñ ng th c ñ i
chi u.
Ví d 1.1.4.1.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có :
aA + bB + cC π
≥
a+b+c 3
L i gi i :
Không m t tính t ng quát gi s :
a≤b≤c⇔ A≤ B≤C
Theo Chebyshev thì :
a + b + c A + B + C aA + bB + cC
≤
3 3 3
aA + bB + cC A + B + C π
⇒ ≥ =
a+b+c 3 3
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Ví d 1.1.4.2.
Cho ∆ABC không có góc tù và A, B, C ño b ng radian. CMR :
sin A sin B sin C
3(sin A + sin B + sin C ) ≤ ( A + B + C ) + +
A B C
L i gi i :
sin x π
Xét f ( x ) = v i x ∈ 0;
x 2
cos x( x − tan x ) π
Ta có f ' ( x ) = 2
≤ 0 ∀x ∈ 0 ;
x 2
The Inequalities Trigonometry 17
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
V y f ( x ) ngh ch bi n trên 0 ; π
2
Không m t t ng quát gi s :
sin A sin B sin C
A≥ B≥C⇒ ≤ ≤
A B C
Áp d ng b t ñ ng th c Chebyshev ta có :
( A + B + C ) sin A + sin B + sin C ≥ 3(sin A + sin B + sin C ) ⇒ ñpcm.
A B C
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Ví d 1.1.4.3.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có :
sin A + sin B + sin C tan A tan B tan C
≤
cos A + cos B + cos C 3
L i gi i :
Không m t t ng quát gi s A ≥ B ≥ C
tan A ≥ tan B ≥ tan C
⇒
cos A ≤ cos B ≤ cos C
Áp d ng Chebyshev ta có :
tan A + tan B + tan C cos A + cos B + cos C tan A cos A + tan B cos B + tan C cos C
≥
3 3 3
sin A + sin B + sin C tan A + tan B + tan C
⇔ ≤
cos A + cos B + cos C 3
Mà ta l i có tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
⇒ ñpcm.
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
Ví d 1.1.4.4.
Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có :
3 sin 2 A + sin 2 B + sin 2C
2(sin A + sin B + sin C ) ≥
2 cos A + cos B + cos C
L i gi i :
Không m t t ng quát gi s a≤b≤c
The Inequalities Trigonometry 18
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
sin A ≤ sin B ≤ sin C
⇒
cos A ≥ cos B ≥ cos C
Khi ñó theo Chebyshev thì :
sin A + sin B + sin C cos A + cos B + cos C sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C
≥
3 3 3
3 sin 2 A + sin 2 B + sin 2C
⇔ 2(sin A + sin B + sin C ) ≥
2 cos A + cos B + cos C
⇒ ñpcm.
ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u.
1.2. Các ñ ng th c b t ñ ng th c trong tam giác :
Sau ñây là h u h t nh ng ñ ng th c, b t ñ ng th c quen thu c trong tam giác và trong
lư ng giác ñư c dùng trong chuyên ñ này ho c r t c n thi t cho quá trình h c toán c a
b n ñ c. Các b n có th dùng ph n này như m t t ñi n nh ñ tra c u khi c n thi t.Hay
b n ñ c cũng có th ch ng minh t t c các k t qu như là bài t p rèn luy n. Ngoài ra tôi
cũng xin nh c v i b n ñ c r ng nh ng ki n th c trong ph n này khi áp d ng vào bài t p
ñ u c n thi t ñư c ch ng minh l i.
1.2.1. ð ng th c :
a b c
= = = 2R
sin A sin B sin C
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A a = b cos C + c cos B
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B b = c cos A + a cos C
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C c = a cos B + b cos A
1 1 1
S= a.ha = b.hb = c.hc
2 2 2
1 1 1
= bc sin A = ca sin B = ab sin C
2 2 2
abc
= = 2 R 2 sin A sin B sin C = pr
4R
= ( p − a )ra = ( p − b )rb = ( p − c )rc
= p( p − a )( p − b )( p − c )
The Inequalities Trigonometry 19
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
A
2bc cos A
la = 2 r = ( p − a ) tan
2 2b 2 + 2c 2 − a 2 b+c 2
ma =
4 B B
2ca cos = ( p − b ) tan
2 2c + 2a 2 − b 2
2
2 2
mb = lb =
4 c+a C
= ( p − c ) tan
2 2a + 2b 2 − c 2
2
C 2
mc = 2ab cos
4 lc = 2 A B C
= 4 R sin sin sin
a+b 2 2 2
A− B
tan
a−b
= 2
a+b A+ B b2 + c2 − a2
tan cot A =
2 4S
B−C c + a2 − b2
2
tan cot B =
b−c
= 2 4S
b+c B+C a + b2 − c2
2
tan cot C =
2 4S
C − A a2 + b2 + c2
tan cot A + cot B + cot C =
c−a
= 2 4S
c+a C + A
tan
2
A ( p − b )( p − c ) A p( p − a ) tan
A
=
( p − b)( p − c )
sin = cos =
2 bc 2 bc 2 p( p − a )
sin
B
=
( p − c )( p − a ) cos
B
=
p( p − b )
tan
B
=
( p − c )( p − a )
2 ca 2 ca 2 p( p − b )
sin
C
=
( p − a )( p − b) cos
C
=
p( p − c ) C ( p − a )( p − b )
tan =
2 ab 2 ab 2 p( p − c )
A B C p
sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos =
2 2 2 R
sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2(1 + cos A cos B cos C )
A B C r
cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin = 1 +
2 2 2 R
2 2 2
cos A + cos B + cos C = 1 − 2 cos A cos B cos C
The Inequalities Trigonometry 20
Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
A B C A B C
cot + cot + cot = cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tan tan + tan tan + tan tan = 1
2 2 2 2 2 2
cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1
A B C
sin (2k + 1) A + sin (2k + 1)B + sin (2k + 1)C = (− 1) 4 cos(2k + 1) cos(2k + 1) cos(2k + 1)
k
2 2 2
sin 2kA + sin 2kB + sin 2kC = (− 1)
k +1
4 sin kA sin kB sin kC
A B C
cos(2k + 1) A + cos(2k + 1)B + cos(2k + 1)C = 1 + (− 1) 4 sin (2k + 1) sin (2k + 1) sin (2k + 1)
k
2 2 2
cos 2kA + cos 2kB + cos 2kC = −1 + (− 1) 4 cos kA cos kB cos kC
k
tan kA + tan kB + tan kC = tan kA tan kB tan kC
cot kA cot kB + cot kB cot kC + cot kC cot kA = 1
A B B C C A
tan (2k + 1) tan (2k + 1) + tan (2k + 1) tan (2k + 1) + tan (2k + 1) tan (2k + 1) = 1
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
cot (2k + 1) + cot (2k + 1) + cot (2k + 1) = cot (2k + 1) cot (2k + 1) cot (2k + 1)
2 2 2 2 2 2
cos kA + cos kB + cos kC = 1 + (− 1) 2 cos kA cos kB cos kC
2 2 2 k
sin 2 kA + sin 2 kB + sin 2 kC = 2 + (− 1)
k +1
2 cos kA cos kB cos kC
1.2.2. B t ñ ng th c :
a−b < c < a+b a≤b⇔ A≤ B
b−c < a Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 1 Các bư c ñ u cơ s
A B C
cos 2 + cos 2 + cos 2
3 2 2 2
cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≥
4 A B C
sin 2 + sin 2 + sin 2
9 2 2 2
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤
4 A B C
2 2 2 tan 2 + tan 2 + tan 2 ≥ 1
tan A + tan B + tan C ≥ 9 2 2 2
cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C ≥ 1 A B C
cot 2 + cot 2 + cot 2
2 2 2
1 A B C 3 3
cos A cos B cos C ≤ cos cos cos ≤
8 2 2 2 8
3 3 A B C 1
sin A sin B sin C ≤ sin sin sin ≤
8 2 2 2 8
A A A 1
tan A tan B tan C ≥ 3 3 tan tan tan ≤
2 2 2 3 3
1
cot A cot B cot C ≤ A A A
3 3 cot cot cot ≥ 3 3
2 2 2
1.3. M t s ñ nh lý khác :
1.3.1. ð nh lý Lagrange :
N u hàm s y = f ( x ) liên t c trên ño n [a ; b] và có ñ o hàm trên kho ng (a ; b )
thì t n t i 1 ñi m c ∈ (a ; b ) sao cho :
f (b ) − f (a ) = f ' (c )(b − a )
Nói chung v i ki n th c THPT, ta ch có công nh n ñ nh lý này mà không ch ng minh.
Ví ch ng minh c a nó c n ñ n m t s ki n th c c a toán cao c p. Ta ch c n hi u cách
dùng nó cùng nh ng ñi u ki n ñi kèm trong các trư ng h p ch ng minh.
Ví d 1.3.1.1.
Ch ng minh r ng ∀a, b ∈ R, a < b thì ta có :
sin b − sin a ≤ b − a
L i gi i :
The Inequalities Trigonometry 22