Bài tập giới hạn hàm số
Tài liệu tham khảo Bài tập giới hạn hàm số - ôn thi đại học, cao đẳng
CHỦ ĐỀ 15: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
a.Giới hạn hữu hạn.
Giả sử ( b)là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định
a;
trên khoảng ( b)\x . Khi đó lm f( 0 )= L nếu ∀ s ( ) trong tập
a; 0
i x
x→x0
d∙y è x n
hợp ( b)\x0 mà lm xn = x0 ,ta đều có lm f( n )= L .
a; i i x
b.Giới hạn vô cực.
x→x0 (
x→x0 )
lm f( = +∞ hay lm f( = −∞ nếu ∀ dãy x ∈ ( b)\x mà
i x) i x)
n a; 0
lm xn = x0 , ta đều có lm f( n )= +∞ ( hay i f( n )= −∞ ) .
i i x lm x
2.Giới hạn hàm số tại vô cực.
+/ Giả sử ta có hàm số f xác định trên ( +∞). Ta nói rằng hàm số f
a;
có giới hạn là số thực L khi x dần đến +∞ nếu với mọi dãy ( n ) trong
x
khoảng ( +∞) mà lm xn = +∞ ,ta đều có lm f( n )= L .
a; i i x
Ta viết lm f( = L .
i
x→+∞
x)
+/ ¬ng ù a lm f( = +∞,lm f( = −∞,lm f( )= L,
T t t cã i x) i x) i x
x→+∞ x→+∞ x→−∞
lm f( = +∞,lm f( = −∞ .
i x) i x)
x→−∞ x→−∞
2.Một số định lý về giới hạn.
Định lý 1: Giả sử xi f( = L x→x0 g( = M . Khi đó:
lm x)
→∞
vµ lm x)
i
a/ x→x0 [ f( + g( ] = L + M .
lm x) x)
i
b/ x→x0 [ f( − g( ] = L − M .
lm x) x)
i
c/ x→x0 [ f( . x) = L. bi lm0 ( cf( ) = cL.
lm x)g( ]
i M ®Æc Öt i
x→x
x)
f( L
x)
lm
i
d/ x→x = , ≠ 0.
M
0 g(x) M
Định lý 2: Giả sử lm f( 0 )= L , khi đó:
i x
x→x0
a/ x→x0 f x) = L .
lm (
i
b/ x→x f( 0 )= L .
3
lm 3 x
i
0
c/ Nếu f x)≥ 0 x∈ J\{ 0},trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm
( ∀ x
x0 thì L ≥ 0 vµ lm f( 0 )= L .
i
x→x0
x
4. Giới hạn một bên.
+/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( 0; .Ta nói hàm số f có
x b)
giới hạn bên phải là L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ),nếu với mỗi
dãy ( n ) trong khoảng ( 0; mà lm xn = x0 ,ta đều có lm f( n )= L .
x x b) i i x
Ta viết lm+ f x)= L .
i (
x→x0
+/ Định nghĩa tương tự cho x→x0 f( = L .
lm− x)
i
+/ Hàm số có giới hạn tại x0 và x→x0 f( = L tồn tại x→x0 f x),
lm x)
i lm+ (
i
lm f x)và lm+ f x)= lm− = L .
i (
−
i ( i
x→x0 x→x0 x→x0
5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.
1
+/ Nếu x→x0 f x) = +∞ thì x→x
lm (
i lm
i = 0.
0 f(x)
+/ Quy tắc 1.
Nếu x→x0 f( = ±∞ x→x0 g( = L ≠ 0,thì x→x0 [ f( . x) cho bởi bảng
lm x)
i vµ lm x)
i lm x)g( ]
i
sau:
lm f(
i x)
x→x0
Dấu của L lm [ f( . x)
i x)g( ]
x→x0
+∞ + +∞
+∞ − −∞
−∞ + −∞
−∞ − +∞
Quy tắc 2: x→x0 f( = L ≠ 0 và x→x0 g( = 0 g( ≥ 0
lm x)
i lm x) vµ x) hoÆc x)≤ 0 ∀
i g(
f(x)
x∈ J\{ 0}, trong đó J làmộy khoảng nào đó chứa điểm x0 ,thì lm
x i
x→x0 g(x)
cho bởi bảng sau:
Dấu của L Dấu của f(x) f(x)
lm
i
x→x0 g(x)
+ + +∞
+ − −∞
− + −∞
− − +∞
6. Một số dạng vô định
0
Dạng :
0
Cách khử :
+/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ước nhân tử chung.
+/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân
cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
∞
Dạng :
∞
+/ Chia cả tử và mẫu cho xk ,với k là số mũ cao nhất của biến số x.
(Hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước).
+/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đưa xk ra ngoài
(k là bậc cao nhất của x trong căn) trước khi chia cả tử và mẫu cho lũy
thừa của x.
Dạng ∞ − ∞ và dạng 0. : ∞
+/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x
dưới dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức.
II. Kĩ năng cơ bản.
Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc
tìm giới hạn vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số.
III. Một số ví dụ:
A.Ví dụ tự luận:
Ví dụ 1: Áp dụng định nghĩa tính
3x2 − x + 1
lm
i .
x→2 x−1
Giải :
3x2 − x + 1
+/ Hàm số f x)=
( xác định trên ¡ \{ 1 .
}
x−1
+/ Giả sử ( xn ) là dãy số tùy ý mà xn → 2 .
Khi đó
3xn2 − xn + 1 3. 2 − 2 + 1
2
lm f( n )=
i x = = 11
xn − 1 2−1
3x2 − x + 1
+/ Vậy lm
i = 11.
x→2 x−1
Ví dụ 2: Áp dụng định nghĩa tính
x2 + 2x − 3
lm 2
i .
x→1 2x − x − 1
Giải :
+/ Hàm số f x)= 2
(
x2 + 2x − 3
2x − x − 1
{ }
1
xác định trên ¡ \ 1, .
2
+/ Giả sử ( xn ) là dãy số tùy ý mà xn → 1.
Khi đó
x2 + 2xn − 3
f xn )= lm n 2
( i
2xn − xn − 1
( n − 1) xn + 3)
x (
= lm
i
1
2( n − 1) xn + )
x (
2
xn + 3 4
= lm
i =
1
2( n + ) 3
x
2
x + 2x − 3 4
2
+/ Vậy lm 2
i = .
x→1 2x − x − 1 3
Ví dụ 3: Tính
x− 5 x− 5
1/ lm+ 2
i 2/ lm− 2
i .
x→5 x − 25 x→5 x − 25
Giải :
1/ Ta có :
x− 5 x− 5 1 1
lm+ 2
i = lm+
i = lm+
i = .
x→5 x − 25 x→5 ( − 5) x + 5) x→5 x + 5 10
x (
2/ Ta có :
x− 5 5− x −1 1
lm− 2
i = lm−
i = lm−
i =− .
x→5 x − 25 x→5 ( − 5) x + 5) x→5 x + 5
x ( 10
x− 5 x− 5 x− 5
Lưu ý : Do lm+ 2
i ≠ lm− 2
i nên ∃ lm 2
i .
x→5 x − 25 x→5 x − 25 x→5 x − 25
7x2 − 4x + 3 khi ≥ 1
x
Ví dụ 3: Cho hàm số f x)=
( .
+ 2 khi < 1
4x x
Tính lm f( .
i x)
x→1
Giải :
+/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập ¡ .
+/ lm f( = lm ( − 4x + 3)= 6 .
i x) i 7x2
x→1 x→1
+/ xi1− f( = x→1− ( + 2)= 6 .
lm x) lm 4x
→
i
+/ Do x→1+ f( = x→1− f( = 6 nên l→1 f( = 6 .
lm x) lm x)
i i
x
i x)
m
Ví dụ 4: Tính
1 x2 + 7x
1/ lm
i 3/ lm ( − 2x) 3 −
i 1 ( )
x→−∞ 3x3 − x2 + 2 x→+∞ x2 − 1
3x3 + x + 1
2/ lm 2i .
x→−∞ x + 3x − 1
Giải :
1
1 x3
1/ Ta có lm i = lm i = 0.
x→−∞ 3x3 − x2 + 2 x→−∞ 1 2
3− + 3
x x
1
V × i 3 = 0
lm
x→−∞ x
1 2
i 3 − + 3 = 3.
lm
x→∞ x x
1 1
x3 3 + 2 + 3
3x + x + 1
3
2/ i 2
lm = lm
i x x
x→−∞ x + 3x − 1 x→∞ 2 3 1
x 1+ − 2
x x
1 1
3+ 2 + 3
= lm x ⋅
i x x
x→−∞ 3 1
1+ − 2
x x
= − ∞ .
7
1 1+
x + 7x
2
3/ lm ( − 2x) 3 −
i 1 ( ) = lm x − 2 3 −
i x
x→+∞ x −1
2 x→+∞ x 1
1−
x
= −∞ .
V × i x = +∞
lm
x→∞
7
1+
1 x=2.
lm − 2 = −2,lm 3 −
i i
x→+∞ x 1
x→+∞
1−
x
Ví dụ 5: Tính
( + 3) − 27
x 2 3
3− x − 1
1/ lmi 2/ lm
i
x→0 x x→2 x− 2
9 − 5x − 2 5 − x − 3 x2 + 7 .
2/ lmi 4/ lm
i
x→1 x2 − 1 x→1 x2 − 1
Giải :
1/ cã
Ta
( + 3) − 27
x 2
x3 + 9x2 + 27x
lm
i = lm
i
x→0 x x→0 x
= lm ( 2 + x + 27x)= 27.
i x
x→0
2/ Ta có
9 − 5x − 2 5 − 5x
lm
i = lm 2
i
x→1 x2 − 1 x→1 ( − 1) ( 9 − 5x + 2)
x 2
5( − x)
1
= lm
i
x→1 ( − 1) x + 1) 9 − 5x + 2)
x ( (
−5 5
= lm
i =− .
x→1 ( + 1) 9 − 5x + 2)
x ( 9
3/ Tacã
3
3− x − 1 ( − x)− 1
3
lm
i = lm
i
x→2 x− 2 x→2
( − 2) 3 ( − x) + 3 3 − x + 1
x 2
3
−1
= lm
i
x→2 3
( − x) + 3 3 − x + 1
3 2
1
= − .
3
4/ Ta có
5 − x − 3 x2 + 7 5 − x − 2 3 x2 + 7 − 2
lm
i = lm
i − .
x→1 x −1
2 x→1 x −1
2
x −1
2
Mặt khác
5− x − 2 1− x
lm
i = lm
i
x→1 x −1
2 x→1 ( − 1) x + 1) 5 − x + 2)
x ( (
−1
i
=lm
x→1 ( + 1) 5 − x + 2)
x (
1
− .
=
8
3 2
x +7−2 x2 − 1
lmi = lm
i
x→1 x2 − 1 x→1
( 2 − 1) 3 ( 2 + 7) + 3 x2 + 7 + 2
x x
2
1
= lm
i
x→1 3
( 2 + 7) + 3 x2 + 7 + 2
x 2
1
= ⋅
12
Vậy lm 5 − x − 3 x2 + 7 1 1 5
i =− − =− .
x→1 x2 − 1 8 12 24
Ví dụ 6: Tính
5x + 3 1− x
1/ i
lm
x→−∞ 1− x
x2 + 2x + 3x
2/ i
lm
x→+∞
4x2 + 1 − x + 2
3/ i
lm ( x2 + x − x)
x→+∞
4/ i x x2 + 1 − x .
lm
x→−∞
Giải:
3 1− x
5x + 3 1− x 5+
1/ i
lm = lm
i x
x→−∞ 1− x x→−∞ 1
−1
x
1 1
5+ 3 2 −
lm
= i x x
x→−∞ 1
−1
x
− 5 .
=
2
x 1+
+ 3x
x + 2x + 3x
2
x
2/ i
lm = lm
i
x→+∞ x→+∞ 1
4x + 1 − x + 2
2
x 4+ − x+ 2
x
2
x 1+ + 3
= lm
i x
x→+∞ 1 2
x 4 + − 1+
x x
2
1+ +3
= lm
i x
x→+∞ 1 2
4+ − 1+
x x
= .
4
3/ i
lm ( x2 + x − x) = lm
i
x
x→+∞ x→+∞
x2 + x + x
x
= lm
i
x→+∞ 1
x 1+ + 1
x
1
= lm
i
x→+∞ 1
1+ + 1
x
1
=
2
x
4/ i x x2 + 1 − x = lm
lm i
x→−∞ x→+∞
x2 + 1 + x
x
lm
= i
x→+∞ 1
x 1+ 2 + 1
x
1
lm
= i
x→+∞ 1
1+ 2 + 1
x
1
= ⋅
2
B. Ví dụ trắc nghiệm.
Chọn phương án đúng cho mỗi ví dụ sau:
2x − 1
Ví dụ 7: lmi bằng:
x→1 x + 2
1 1
A.0 B. C. D.2
3 2
x + 3x − 1
2
Ví dụ 8 : lmi bằng:
x→0 x+1
A.1 B.0 C. −1 D. −3
1 1
Ví dụ 9: lm − 2 bằng:
i
x→0 x x
A.2 B.4 C. +∞ D. −∞
x− 3
Ví dụ 10: lm
i bằng:
x→2 x−1
A. −1 B. − 2 C.1 D.2
Ví dụ 11:
x2 + 2x khix ≥ 1
Cho hàm số f x)=
(
3x khix A.2 B.0 C.1 D. −1
x + 3x − 4
3
Ví dụ 13: lm
i bằng:
x→1 x2 − 1
A.1 B.1,5 C.3 D.3,5
x − 3x + 2
3
Ví dụ 14: lm 2
i bằng:
x→1 x + 2x − 3
A. +∞ B. −3 C.1 D.0
2x +3
Ví dụ 15: xlm
i
→−∞
bằng:
x2 + x + 5
A. −∞ B. +∞ C.1 D.2
Đáp án:
VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15
B C D C D A C C D
II.Bài tập
A.Bài tập tự luận
Bài1:Dùng định nghĩa tính giới hạn.
x+ 5
1/ lm 2
i
x→3 x − 4
x2 − 3x + 2
2/ i
lm .
x→2 x− 2
HD:
+/ Xem lại ví dụ 1.
8
+/ Đ/S: 1/
5
2/ 1 .
Bài 2 : Tính
x2 − 1
1/ i + 2
lm
x→1 x − 3x + 2
x2 + 4x − 12
2/ i −
lm
x→2 x2 + x − 6
HD :
1/ Để ý: x2 − 3x + 2 = x2 − 3x + 2 ∀ .
x>1
x2 − 1 ( x − 1) ( x + 1)
N ªn lm+ 2
i = lm+
i
x→1 x − 3x + 2 x→1 ( x − 1) ( x − 2)
x+1
lm+
= i = −2.
x→1 x − 2
2/ Để ý: x2 + x − 6 = −x2 − x + 6 ∀ ∈ ( 3;
x 2)
x2 + 4x − 12 ( x − 2) ( x + 6)
N ªn lm+ 2
i = lm+
i
x→1 x + x − 6 x→1 − ( x + 3) ( x − 2)
x+ 6 8
lm+
= i =− .
x→1 − ( x + 3) 5
x2 − 7x + 2a − 4 khix>2
Bài 3: Tìm a để hàm số f x)=
(
3ax + 4 khix ≤ 2
Có giới hạn khi x dần đến 2.
HD:
+/Ta lm+ f( = lm+ ( x2 − 7x + 2a − 4) = 2a − 14
cã i x) i
x→2 x→2
i − f( = lm− ( 3ax + 4) = 6a + 4
lm x) i
x→2 x→2
9
+/ Phải có lm+ f( = lm− f( ⇔ 2a − 14 = 6a + 4 ⇔ a = − .
i x) i x)
x→2 x→2 2
9
+/ Vậy với a = − thì hàm số có giới hạn khi x dần đến 2.
2
lm f( = −23.
i x)
x→2
Bài 4: Tính
2x + 7 + x − 4 2x + 7 − 3
1/ lm i 2/ lm
i
x→1 x3 − 4x2 + 3 x→1 2 − x + 3
3
x2 + x + 1 − 3 x3 − 1 x3 − 3x − 2
3/ lm
i i
4/ lm
x→0 x x→1 x−1
HD : Xem lại cách làm ở ví dụ 5.
4 4
Đ/S: 1/ − 2/ −
15 3
3/ Lưu ý để cho gọn ta biến đổi
x2 + x + 1 + 3 x3 − 1 = 3 x2 + x + 1( 1+ 3 x − 1)
3
Nên giới hạn cần tính bằng:
lm 3 x2 + x + 1( 1+ 3 x − 1) = lm 3 x2 + x + 1 ⋅
1
i xi 0 2
x→0 → 3 ( − 1) + 3 x − 1 + 1
x
1
.
=
3
4/ Để rút gọn ta biến đổi:
x3 − 3x − 2 x3 − 1 3x − 2 − 1 3x − 1 − 1
= − = ( 2 + x + 1)−
x
x−1 x−1 x−1 x−1
Như vậy giới hạn cần tính bằng
3x − 1 − 1 3 3
lm ( 2 + x + 1)− lm
i x i = 3 − lm
i = .
x→1 x→1 x−1 x→1 3x − 2 + 1 2
Bài 5:Tính
1+ 2x − 3 1+ 3x 3
x+ 7 − x+ 3
1/ lm i 2/ lm i
x→0 x x→1
3
x −1 x + x−1−1
3/ lm 3
i 4/ lm+i
x→1 x − 2 + 1 x→1
x2 − 1
HD:
1/ Biến đổi giới hạn cần tính bằng
1+ 2x − 1 3 1+ 3x − 1 1+ 2x − 1 3
1+ 3x − 1
lm
i − = lm
x→0i − lmi
x→0 x x x x→0 x
= 1− 1 = 0.
2/ +/ Tương tự câu 1,thêm bớt 2 ở tử.
1
+/ Đáp số .
6
3/ +/ Nhân liên hợp cả tử và mẫu.
+/ Đáp số: 1
x + x−1−1 x −1 x−1
4/ +/ Biến đổi: = +
x2 − 1 x2 + 1 x2 − 1
1
+/ Từ đó tính được giới hạn đã cho bằng .
2
Bài 6 :Tính
x2 + 2x + 3 + 4x + 1 9x2 + x + 1 − 4x2 + 2x + 1
1/ lm
i 2/ lm
i
x→+∞
4x2 + 1 + 2 − x x→−∞ x+1
4/ lm ( 2x − 1− 4x2 − 4x − 1)
x2 + 2x + 3
3/ lm
i i
x→−∞ 3 x→+∞
x − x+ 2
3
5/ lm
i
2
−
4
x→1 1− x 1 − x3
6/ lm
i
x→+∞
( x+ x+ x − x )
7/ lm ( x + 3 3x2 − x3 )
i 8/ lm
i ( x3 + 3x2 − x2 − 2x ) .
x→−∞ x→+∞
HD: Xem lại cách làm ở ví dụ 6.
Đ/S: 1/ 5 2/ −1
3/ −1 4/ 0
1
5/ −1 6/
2
7/ 1 8/ 2
Bài 7: Tính giới hạn sau theo a.
( 2 − 3x + 2)x − a
x
1/ lm+
i
x→a x2 − 5x + 4
x2 − 2( + 1) + 2a + 1 x2 − a2
a x
2/ lm
i
x→a+ x − 5x + 4x
3 2
HD:
1/ Ta có
( 2 − 3x + 2)x − a
x ( − 2) x − a)
x (
I= lm+
i = lm+
i
x→a x − 5x + 4
2 x→a x− 4
+/ Trường hợp 1: a = 4
⇒ I= lm+ ( − 2)= 2.
i x
x→4
+/ Trường hợp 2: a ≠ 4 .
⇒ I= 0.
2 khia=4
+/ Vậy I= .
0 khia ≠ 4
2/ Ta có: a > 0.
x2 − 2( + 1) + 2a + 1 x2 − a2
a x
J= lm
i
x→a+ x − 5x + 4x
3 2
( − 1) x − 2a − 1) x − a) x + a)
x ( ( (
= lm+
i
x→a x( − 1) x − 4)
x (
+/ Trường hợp 1: a = 1
( − 1) x − 3) x + 4)
x ( (
⇒ I= lm+
i = 0.
x→1 x( − 4)
x
+/ Trường hợp 2: a = 4
( − 1) x − 9) x + 4) 10
x ( (
⇒ I= lm
i =− ⋅
x→ 4 x( − 1)
x 3
a ≠ 1
+/ Trường hợp 3: ⇒ I= 0 .
a ≠ 4
10
− khia = 4
Vậy I= 3
0 khia ≠ 4 .
B.Bài tập trắc nghiệm.
x2 − 1
Bài 1). Giới hạn l→1
im bằng :
x x− 1
1
A). 3. B). 2. C). 1. D). .
2
x3 + 3x − 4
Bài 2). Giới hạn l→1
im bằng :
x x2 − 1
A). 3. B). 1. C). 6. D). 2,5.
2 − 2x − 1. 5x + 3 3
Bài 3). Giới hạn l→1
im bằng :
x x− 1
19 29 19 29
A). B). C). − D). −
12 12 12 12
x − 3x + 2
3
Bài 4). Giới hạn l→1
im bằng :
x x2 + 2x − 3
3 1
A). . B). 1 C). 0. D). .
4 2
x2 − 4
Bài 5). Giới hạn l→2 2
im bằng :
x 2x − 5x + 2
8 4
A). . B). 2. C). . D). 4.
3 3
3
x −1
Bài 6). Giới hạn l→1
im bằng :
x
3x + 1 − 2
9 4 2 4
A). B). C). D).
4 9 3 3
x+ 1 − 2
Bài 7). Giới hạn l→3
im bằng :
x
x+ 6 − 3
2 3
A). 2. B). 3. C). . D). .
3 2
x+ 3 − 2
Bài 8). Giới hạn l→1
im bằng :
x x + x− 2
2
1 1 1 1
A). − . B). . C). . D). .
4 3 16 12
2x + 2 − 3 7x + 1
Bài 9). Giới hạn l→1
im bằng :
x x− 1
13 1 1 1
A). . B). − . C). . D). .
12 12 3 6
x3 − 4. x + 2
Bài 10). Giới hạn l→2
im bằng :
x x− 2
A). 3. B). 11. C). 14. D). 13.
x− 2
Bài 11). Giới hạn l→2
im bằng :
x
x+ 2 − 2
A). 8. B). 4. C). 0. D). 2.
x +83
Bài 12). Giới hạn x→−2
lm
i bằng :
x+ 2
A). 12. B). 6. C). 4. D). 8.
4x + 5 + 3x + 1 − 5
Bài 13). Giới hạn l→1
im bằng :
x x− 1
13 17 7 1
A). B). C). D). −
6 12 12 12
x + 2x − 8
2
Bài 14). Giới hạn l→2
im bằng :
x x2 − x − 2
4
A). - 2. B). 2. C). . D). 4.
3
1 + 2x − 3 1 + 3x
Bài 15). Giới hạn l→0
im bằng :
x x2
1 3 1
A). +∞ . B). . C). . D). .
12 2 2
3
3x + 2 − x + 2
Bài 16). Giới hạn l→2
im bằng :
x x2 − x − 2
1 7 1
A). B). C). 0. D).
12 12 6
Đáp án:
Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài 5 Bài 6 Bài 7 Bài 8
B B D C C B D D
Bài 9 Bài 10 Bài 11 Bài 12 Bài 13 Bài 14 Bài 15 Bài 16
B B B A B B D C
