Bài giảng Vật Lý Đại cương A2 - Học viện công nghệ Bưu Chính Viễn Thông
Giáo trình Vật lí đại cương A2 của Học viện Bưu chính Viễn thông, dành cho đào tạo từ xa. Dao động điện từ là sự biến thiên tuần hoàn theo thời gian của các đại lượng điện và từ, cụ thể như điện tích q trên các bản tụ điện, cường độ dòng điện i trong một mạch điện xoay chiều,
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
===== =====
SÁCH BÀI GIẢNG
VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A2
(Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa)
Lưu hành nội bộ
HÀ NỘI - 2005
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
BÀI GIẢNG
VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A2
Biên soạn : TS. VÕ THỊ THANH HÀ
ThS. HOÀNG THỊ LAN HƯƠNG
Hiệu đính: TS. LÊ THỊ MINH THANH
Lời nói đầu
LỜI NÓI ĐẦU
Tập VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A2) này là tập hai của bộ sách hướng dẫn học tập môn
Vật lí đại cương cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa của Học viện Công nghệ Bưu chính
Viễn thông, đã được biên soạn theo chương trình cải cách giáo dục do Bộ Giáo dục và Đào
tạo thông qua (1990).
Bộ sách gồm hai tập:
Tập I: VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A1) bao gồm các phần CƠ, NHIỆT, ĐIỆN, TỪ do
Ts. Vũ Văn Nhơn, Ts. Võ Đinh Châu và Ks. Bùi Xuân Hải biên soạn.
Tập II: VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A2) bao gồm các phần QUANG HỌC, THUYẾT
TƯƠNG ĐỐI HẸP, CƠ HỌC LƯỢNG TỬ VÀ VẬT LÍ NGUYÊN TỬ do Ts. Võ Thị
Thanh Hà và ThS. Hoàng Thị Lan Hương biên soạn.
Tập sách Vật lí đại cương A2 gồm 8 chương:
- Chương I: Dao động điện từ
- Chương II: Giao thoa ánh sáng
- Chương III: Nhiễu xạ ánh sáng
- Chương IV: Phân cực ánh sáng
- Chương V: Thuyết tương đối hẹp
- Chương VI: Quang học lượng tử
- Chương VII: Cơ học lượng tử
- Chương VIII: Vật lí nguyên tử.
Trong mỗi chương đều có:
1. Mục đích, yêu cầu giúp sinh viên nắm được trọng tâm của chương.
2. Tóm tắt nội dung giúp sinh viên nắm bắt được vấn đề đặt ra, hướng giải quyết và
những kết quả chính cần nắm vững.
3. Câu hỏi lí thuyết giúp sinh viên tự kiểm tra phần đọc và hiểu của mình.
4. Bài tập giúp sinh viên tự kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức lí thuyết để giải
quyết những bài toán cụ thể.
Phân công biên soạn tập VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A2) như sau:
Võ Thị Thanh Hà biên soạn lí thuyết các chương II, III, IV, V, VI, VII, VIII.
Hoàng Thị Lan Hương biên soạn lí thuyết chương I và bài tập của tất cả các
chương. 1
3
Lời nói đầu
Tập VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A2) này mới in lần đầu, nên không tránh khỏi những
thiếu sót. Chúng tôi xin chân thành cám ơn sự đóng góp quí báu của bạn đọc cho quyển
sách này.
Hà Nội, ngày 1 tháng 11 năm 2005
NHÓM TÁC GIẢ
4
Chương 1: Dao động điện từ
CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ
Dao động điện từ là sự biến thiên tuần hoàn theo thời gian của các đại lượng điện và
từ, cụ thể như điện tích q trên các bản tụ điện, cường độ dòng điện i trong một mạch điện
xoay chiều, hiệu điện thế giữa hai đầu một cuộn dây hay sự biến thiên tuần hoàn của điện
trường, từ trường trong không gian v.v... Tuỳ theo cấu tạo của mạch điện, dao động điện
từ trong mạch chia ra: dao động điện từ điều hoà, dao động điện từ tắt dần và dao động
điện từ cưỡng bức.
I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU
1. Nắm được dao động điện từ điều hoà, dao dộng điện từ tắt dần, dao động điện từ
cưỡng bức, hiện tượng cộng hưởng.
2. Nắm được phương pháp tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương và cùng tần số,
hai dao động điều hoà cùng tần số và có phương vuông góc.
II. NỘI DUNG:
§1. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ ĐIỀU HOÀ
1. Mạch dao động điện từ LC
Xét một mạch điện gồm một tụ điện có điện dung C, một cuộn dây có hệ số tự
cảm L. Bỏ qua điện trở trong mạch. Trước hết, tụ điện C được bộ nguồn tích điện đến
điện tích Q0, hiệu điện thế U0. Sau đó, ta bỏ bộ nguồn đi và đóng khoá của mạch dao
động. Trong mạch có biến thiên tuần hoàn theo thời gian của cường độ dòng điện i, điện
tích q trên bản tụ điện, hiệu điện thế giữa hai bản tụ, năng lượng điện trường của tụ
điện, năng lượng từ trường của ống dây ...
Các dao động điện từ này có dạng hình sin
với tần số ω 0 và biên độ dao động không đổi.
Do đó, các dao động này được gọi là các dao
động điện từ điều hoà. Mặt khác trong mạch chỉ
có mặt các yếu tố riêng của mạch như tụ điện C
và cuộn cảm L, nên các dao động điện từ này
được gọi là các dao động điện từ riêng. Hình 1-1. Mạch dao động điện từ
riêng
5
Chương 1: Dao động điện từ
Ta xét chi tiết hơn quá trình dao động của mạch trong một chu kỳ T. Tại thời điểm
t = 0, điện tích của tụ là Q 0 , hiệu điện thế giữa hai bản là U 0 = Q 0 / C , năng lượng
điện trường của tụ điện có giá trị cực đại bằng:
Q 02
E e(max ) = (1-1)
2C
Cho tụ phóng điện qua cuộn cảm L. Dòng điện do tụ phóng ra tăng đột ngột từ
không, dòng điện biến đổi này làm cho từ thông gửi qua cuộn cảm L tăng dần. Trong
cuộn cảm L có một dòng điện tự cảm ngược chiều với dòng điện do tụ C phóng ra, nên
dòng điện tổng hợp trong mạch tăng dần, điện tích trên hai bản tụ giảm dần. Lúc này
năng lượng điện trường của tụ điện Ee= q 2 / 2C giảm dần, còn năng lượng từ trường
trong lòng ống dây Em = Li 2 / 2 tăng dần. Như vậy, có sự chuyển hoá dần từ năng
lượng điện trường sang năng lượng từ trường.
Hình 1-2. Quá trình tạo thành dao động điện từ riêng
Khi tụ C phóng hết điện tích, năng lượng điện trường Ee = 0, dòng điện trong
mạch đạt giá trị cực đại I0, năng lượng từ trường trong ống dây đạt giá trị cực đại
E m(max ) = LI 02 / 2 , đó là thời điểm t = T/4. Sau đó dòng điện do tụ phóng ra bắt đầu
giảm và trong cuộn dây lại xuất hiện một dòng điện tự cảm cùng chiều với dòng điện do
tụ phóng ra . Vì vậy dòng điện trong mạch giảm dần từ giá trị I0 về không, quá trình này
xảy ra trong khoảng từ t = T/4 đến t = T/2. Trong quá trình biến đổi này cuộn L đóng
vai trò của nguồn nạp điện cho tụ C nhưng theo chiều ngược lại, điện tích của tụ lại tăng
dần từ giá trị không đến giá trị cực đại Q0. Về mặt năng lượng thì năng lượng điện
trường tăng dần, còn năng lượng từ trường giảm dần. Như vậy có sự chuyển hoá từ
năng lượng từ trường thành năng lượng điện trường, giai đoạn này kết thúc tại thời điểm
t = T/2, lúc này cuộn cảm đã giải phóng hết năng lượng và điện tích trên hai bản tụ lại
đạt giá trị cực đại Q0 nhưng đổi dấu ở hai bản, năng lượng điện trường lại đạt giá trị cực
đại E e(max ) = Q 02 / 2C . Tới đây, kết thúc quá trình dao động trong một nửa chu kỳ đầu.
Tụ C phóng điện vào cuộn cảm theo chiều ngược với nửa chu kỳ đầu, cuộn cảm lại
6
Chương 1: Dao động điện từ
được tích năng lượng rồi lại giải phóng năng lượng, tụ C lại được tích điện và đến cuối
chu kỳ (t = T) tụ C được tích điện với dấu điện tích trên các bản như tại thời điểm ban
đầu, mạch dao động điện từ trở lại trạng thái dao động ban đầu. Một dao động điện từ
toàn phần đã được hoàn thành. Dưới đây ta thiết lập phương trình mô tả dao động điện
từ trên.
2. Phương trình dao động điện từ điều hoà
Vì không có sự mất mát năng lượng trong mạch, nên năng lượng điện từ của mạch
không đổi:
E e + E m = E = const (1-2)
q2 Li 2
Thay E e = và E m = vào (1-2), ta được:
2C 2
q 2 Li 2
+ = const (1-3)
2C 2
Lấy đạo hàm cả hai vế của (1-3) theo thời gian rồi thay dq / dt = i , ta thu được:
q Ldi
+ =0 (1-4)
C dt
Lấy đạo hàm cả hai vế của (1-4) theo thời gian rồi thay dq/dt =i, ta được:
d 2i 1
+ i=0 (1-5)
dt 2 LC
1
Đặt = ω02 , ta được:
LC
d 2i
+ ω02 i = 0 (1-6)
2
dt
Đó là phương trình vi phân cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi. Nghiệm tổng quát
của (1-6) có dạng:
i = I 0 cos(ω0 t + ϕ) (1-7)
trong đó I0 là biên độ của cường độ dòng điện, ϕ là pha ban đầu của dao động, ω0 là tần
số góc riêng của dao động:
1
ω0 = (1-8)
LC
7
Chương 1: Dao động điện từ
Từ đó tìm được chu kỳ dao động riêng
T0 của dao động điện từ điều hoà:
2π
T0 = = 2π LC (1-9)
ω0
Cuối cùng ta nhận xét rằng điện tích
của tụ điện, hiệu điện thế giữa hai bản
tụ…. cũng biến thiên với thời gian theo
những phương trình có dạng tương tự Hình 1-3. Đường biểu diễn dao động
như (1-7).
điều hoà
§2. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ TẮT DẦN
1. Mạch dao động điện từ RLC
Trong mạch dao động bây giờ có thêm một điện
trở R tượng trưng cho điện trở của toàn mạch (hình
1-4). Ta cũng tiến hành nạp điện cho tụ C, sau đó cho tụ
điện phóng điện qua điện trở R và ống dây L. Tương tự
như đã trình bày ở bài dao động điện từ điều hoà, ở đây
cũng xuất hiện các quá trình chuyển hoá giữa năng
lượng điện trường của tụ điện và năng lượng từ trường
của ống dây. Nhưng do có sự toả nhiệt trên điện trở R,
nên các dao động của các đại lượng như i, q, u,... không Hình 1-4. Mạch dao động điện
từ tắt dần
còn dạng hình sin nữa, các biên độ của chúng không
còn là các đại lượng không đổi như trong trường hợp
dao động điện từ điều hoà, mà giảm dần theo thời gian. Do đó, loại dao động này được
gọi là dao động điện từ tắt dần. Mạch dao động RLC trên được gọi là mạch dao động
điện từ tắt dần.
2. Phương trình dao động điện từ tắt dần
Do trong mạch có điện trở R, nên trong thời gian dt phần năng lượng toả nhiệt
trên điện trở Ri2dt bằng độ giảm năng lượng điện từ -dE của mạch. Theo định luật bảo
toàn và chuyển hoá năng lượng, ta có:
− dE = Ri 2 dt (1-10)
q 2 Li 2
Thay E = + vào (1-10), ta có:
2C 2
8
Chương 1: Dao động điện từ
⎛ q 2 Li 2 ⎞
− d⎜ + ⎟ = Ri 2 dt (1-11)
⎜ 2C 2 ⎟
⎝ ⎠
Chia cả hai vế của phương trình (1-11) cho dt, sau đó lấy đạo hàm theo thời gian và
thay dq/dt = i, ta thu được:
q di
+ L = − Ri (1-12)
C dt
Lấy đạo hàm cả hai vế của (1-12) theo thời gian và thay dq/dt = i, ta thu được:
d 2i R di 1
+ + i=0 (1-13)
dt 2 L dt LC
R 1
Đặt = 2β , = ω02 , ta thu được phương trình:
L LC
d 2i di
+ 2β + ω02 i = 0 (1-14)
2 dt
dt
Đó là phương trình vi phân cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi. Với điều kiện hệ số
2
1 ⎛ R ⎞
tắt đủ nhỏ sao cho ω0 > β hay >⎜ ⎟ thì nghiệm tổng quát của phương trình
LC ⎝ 2L ⎠
(1-14) có dạng:
i = I 0 e −βt cos(ωt + ϕ) (1-15)
trong đó I0, ϕ là hằng số tích phân phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, còn ω là tần số góc
của dao động điên từ tắt dần và có giá trị:
2
1 ⎛R ⎞
ω= −⎜ ⎟ < ω0 (1-16)
LC ⎝ 2L ⎠
Chu kỳ của dao động điện từ tắt dần:
2π 2π 2π
T= = = (1-17)
ω 2
ω02 −β 2
1 ⎛R ⎞
−⎜ ⎟
LC ⎝ 2L ⎠
Như vậy, chu kỳ dao động tắt dần lớn hơn chu kỳ dao động riêng trong mạch.
Đại lượng I 0 e −βt là biên độ của dao động tắt dần. Nó giảm dần với thời gian theo qui
luật hàm mũ. Tính chất tắt dần của dao động điện từ được đặc trưng bằng một đại lượng
gọi là lượng giảm lôga, ký hiệu bằng chữ δ : lượng giảm lôga có giá trị bằng lôga tự
nhiên của tỷ số giữa hai trị số liên tiếp của biên độ dao động cách nhau một khoảng thời
gian bằng một chu kỳ dao động T. Theo định nghĩa ta có:
9
Chương 1: Dao động điện từ
I 0 e −βt
δ = ln = βT (1-18)
I 0 e −β(t +T )
trong đó β = R / 2L , rõ ràng là nếu R càng
lớn thì β càng lớn và dao động tắt càng
nhanh. Điều đó phù hợp với thực tế.
Chú ý: trong mạch dao động RLC ghép nối
tiếp, ta chỉ có hiện tượng dao động điện từ
khi:
2
1 ⎛ R ⎞ L
>⎜ ⎟ hay R < 2
LC ⎝ 2L ⎠ C
L
Trị số R 0 = 2 được gọi là điện trở tới
C Hình 1-5. Đường biểu diễn dao động
hạn của mạch. Nếu R ≥ R0 trong mạch điện từ tắt dần
không có dao động.
§3. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ CƯỠNG BỨC
1.Hiện tượng:
Để duy trì dao động điện từ trong mạch dao
động RLC, người ta phải cung cấp năng lượng cho
mạch điện để bù lại phần năng lượng đã bị tổn hao
trên điện trở R. Muốn vậy, cần mắc thêm vào mạch
một nguồn điện xoay chiều có suất điện động biến
thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số góc Ω và
biên độ E0: E= E0sinΩt Hình 1-6. Mạch dao động điện
từ cưỡng bức
Lúc đầu dao động trong mạch là chồng chất của
hai dao động: dao động tắt dần với tần số góc ω và dao động cưỡng bức với tần số góc
Ω. Giai đoạn quá độ này xảy ra rất ngắn, sau đó dao động tắt dần không còn nữa và
trong mạch chỉ còn dao động điện từ không tắt có tần số góc bằng tần số góc Ω của
nguồn điện. Đó là dao động điện từ cưỡng bức.
2. Phương trình dao động điện từ cưỡng bức
Trong thời gian dt, nguồn điện cung cấp cho mạch một năng lượng bằng Eidt.
Phần năng lượng này dùng để bù đắp vào phần năng lượng toả nhiệt Joule - Lenx và
10
Chương 1: Dao động điện từ
tăng năng lượng điện từ trong mạch. Theo định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng,
ta có : dE + Ri 2dt = Eidt (1-19)
⎛ q 2 Li2 ⎞
d⎜ + ⎟ + Ri 2dt = Eidt (1-20)
⎜ 2C 2 ⎟
⎝ ⎠
Thực hiện phép lấy vi phân và thay E= E0sinΩt ta được:
di q
+ Ri + = E0 sin Ωt
L (1-21)
dt C
Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian của (1-21), thay dq/dt = i, ta đươc:
d 2i di i
L +R + = E0 Ω cos Ωt (1-22)
dt 2 dt C
R 1
đặt = 2β , = ω02 , ta thu được phương trình:
L LC
d 2i di E Ω
+ 2β + ω02 i = 0 cos Ωt (1-23)
dt 2 dt L
Phương trình vi phân (1-23) có nghiệm là tổng của hai nghiệm:
- Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất. Đó chính là nghiệm của
phương trình dao động điện từ tắt dần.
- Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Nghiệm này biểu diễn một
dao động điện từ không tắt do tác dụng của nguồn điện. Nghiệm này có dạng:
i = I 0 cos(Ωt + Φ ) (1-24)
trong đó Ω là tần số góc của nguồn điện kích thích, I0 là biên độ, Φ là pha ban đầu của
dao động, được xác định bằng:
1
ΩL −
I0 =
E0
, cot gΦ = − ΩC
2 R
⎛ 1 ⎞
R 2 + ⎜ ΩL − ⎟
⎝ ΩC ⎠
2
⎛ 1 ⎞
Đặt Z = R 2 + ⎜ ΩL − ⎟ và gọi là tổng trở
⎝ ΩC ⎠
1 Hình 1-7. Đường biểu diễn dao
của mạch dao động, Z L = ΩL và Z C = lần động điện từ cưỡng bức
ΩC
lượt là cảm kháng và dung kháng của mạch dao
động.
11
Chương 1: Dao động điện từ
3. Hiện tượng cộng hưởng
Công thức trên chứng tỏ biên độ I0 của dòng điện cưỡng bức phụ thuộc vào giá trị
tần số góc của nguồn xoay chiều kích thích. Đặc biệt với một điện trở R nhất định, biên
độ I0 đạt giá trị cực đại khi tần số góc Ω có giá trị sao cho tổng trở Z của mạch dao động
cực tiểu, giá trị đó của Ω phải thoả mãn điều kiện:
1 1
ΩL − = 0 hay Ω = (1-25)
ΩC LC
ta thấy giá trị này của Ω đúng bằng tần số góc của mạch dao động riêng:
Ω ch = ω0 (1-26)
Hiện tượng biên độ dòng điện của mạch dao
động điện từ cưỡng bức đạt giá trị cực đại
được gọi là hiện tượng cộng hưởng điện. Vậy
hiện tượng cộng hưởng điện xảy ra khi tần số
góc của nguồn xoay chiều kích thích có giá trị
bằng tần số góc riêng của mạch dao động.
Giá trị Ωch của nguồn xoay chiều kích
thích được gọi là tần số cộng hưởng. Đường
Hình1-8. Đường biểu diễn cộng
biểu diễn (1-8) cho ta thấy rõ sự biến thiên của
hưởng điện
biên độ dòng điện I0 của mạch dao động cưỡng
bức theo tần số góc Ω của nguồn xoay chiều kích thích.
Trong thực tế, muốn xảy ra cộng hưởng điện, ta dùng hai phương pháp sau:
- Hoặc thay đổi tần số góc Ω của nguồn kích thích sao cho nó bằng tần số góc
riêng ω0 của mạch dao động.
- Hoặc thay đổi hệ số tự cảm L và điện dung C của mạch dao động sao cho tần
số góc riêng ω0 đúng bằng tần số góc Ω của nguồn kích thích.
Hiện tượng cộng hưởng điện được ứng dụng rất rộng rãi trong kỹ thuật vô tuyến
điện, thí dụ trong việc thu sóng điện từ ( mạch chọn sóng).
§4. SỰ TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
1.Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương và cùng tần số
Giả sử có một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương
và cùng tần số:
x1 = A1 cos(ω0 t + ϕ1 ) (1-27)
x 2 = A 2 cos(ω0 t + ϕ 2 ) (1-28)
12
Chương 1: Dao động điện từ
Hai dao động này cùng phương Ox và cùng tần số góc ω0, nhưng khác biên độ và pha
ban đầu. Dao động tổng hợp của chất điểm bằng tổng của hai dao động thành phần
x = x1 + x2 = A cos(ω0t + ϕ ) (1-29)
Có thể tìm dạng của x bằng phương pháp cộng lượng giác. Nhưng để thuận tiện, ta dùng
phương pháp giản đồ Fresnel.
r r
Vẽ hai véc tơ OM1, OM 2 cùng đặt tại điểm O, có độ lớn bằng biên độ A1, A2 của
hai dao động . Ở thời điểm t = 0, chúng hợp với trục Ox các góc ϕ1 và ϕ2 là pha ban đầu.
r r
Khi đó tổng hợp của OM1, OM 2 là một véc tơ
r r r
OM = OM1 + OM 2 (1-30)
r
véc tơ OM trùng với đường chéo của hình bình hành OM1MM2, có độ lớn bằng A và
hợp với trục Ox một góc ϕ và được xác định bởi hệ thức:
A1 sin ϕ1 + A 2 sin ϕ 2
A = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) , tgϕ = (1.31)
A1 cos ϕ1 + A 2 cos ϕ 2
Hình 1-9. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số.
r r
Hai véc tơ OM1 và OM 2 quay xung quanh điểm O theo chiều dương với cùng vận
tốc góc không đổi bằng tần số góc ω0 . Ở thời điểm t, hai véc tơ này sẽ hợp với trục Ox
các góc (ω0t + ϕ1) và (ω0t + ϕ2) đúng bằng pha dao động x1 và x2. Hình chiếu trên
r r
phương Ox của hai véc tơ OM1 và OM 2 có giá trị bằng:
r
hc ox OM1 = A1 cos(ω0 t + ϕ1 ) = x1 (1-32)
r
hc ox OM 2 = A 2 cos(ω0 t + ϕ 2 ) = x 2 (1-33)
13
Chương 1: Dao động điện từ
r r
Vì hai véc tơ OM1 và OM 2 quay theo chiều dương với cùng vận tốc góc ω0 , nên hình
bình hành OM1MM2 giữ nguyên dạng khi nó quay quanh điểm O. Do đó, ở thời điểm t,
r
véc tơ tổng hợp OM vẫn có độ lớn bằng A và hợp với trục Ox một góc (ω0t + ϕ). Hình
r
chiếu trên phương Ox của véc tơ tổng hợp OM có trị số bằng:
r
hc ox OM = A cos(ω0 t + ϕ) = x (1-34)
Mặt khác theo định lý về hình chiếu, ta có:
r r r
hc ox OM = hc ox OM1 + hc ox OM 2 (1-35)
Như vậy, tổng hợp hai dao động điều hoà x1 và x2 cùng phương, cùng tần số góc
cũng là một dao động điều hoà x có cùng phương và cùng tần số góc ω0 với các dao
động thành phần, còn biên độ A và pha ban đầu ϕ của nó được xác định bởi (1-31) . Hệ
thức (1-31) cho thấy biên độ A của dao động tổng hợp x phụ thuộc vào hiệu pha
(ϕ1 − ϕ 2 ) của hai dao động thành phần x1 và x2:
- Nếu (ϕ2 − ϕ1) = 2kπ , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì cos(ϕ2 − ϕ1 ) = 1 và biên độ A
đạt cực đại:
A = A1 + A 2 = A max (1-36)
Trong trường hợp này, hai dao động x1 và x2 cùng phương, cùng chiều và được gọi là
hai dao động cùng pha.
- Nếu (ϕ2 − ϕ1) = (2k + 1)π , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì cos(ϕ2 − ϕ1 ) = −1 và
biên độ A đạt cực tiểu:
A = A1 − A 2 = A min (1-37)
Trong trường hợp này, hai dao động x1và x2 cùng phương ngược chiều và gọi là hai dao
động ngược pha.
2. Tổng hợp hai dao động điều hoà có phương vuông góc và cùng tần số góc
Giả sử một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hoà x và y có phương
vuông góc và cùng tần số góc ω 0 :
x
x = A1 cos(ω0 t + ϕ1 ) → = cos ω0 t cos ϕ1 − sin ω0 t sin ϕ1 (1.38)
A1
y
y = A 2 cos(ω0 t + ϕ 2 ) → = cos ω0 t cos ϕ 2 − sin ω0 t sin ϕ 2 (1-39)
A2
14
Chương 1: Dao động điện từ
Lần lượt nhân (1-38) và (1-39) với cos ϕ 2 và − cos ϕ1 ,
rồi cộng vế với vế:
x y
cos ϕ 2 − cos ϕ1 = sin ω0 t sin (ϕ 2 − ϕ1 ) (1-40)
A1 A2
Tương tự, lần lượt nhân (1-38) và (1-39) với sin ϕ 2 và
− sin ϕ1 , rồi cộng vế với vế:
x y
sin ϕ 2 − sin ϕ1 = cos ω0 t sin (ϕ 2 − ϕ1 ) (1-41)
A1 A2
Hình 1-10. Hai dao động điều
hoà vuông góc
Bình phương hai vế (1-40) , (1-41) rồi cộng vế với vế:
x2 y2 2 xy
+ − cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) (1-42)
A12 A 22 A1A 2
Phương trình (1-42) chứng tỏ quĩ đạo chuyển động tổng hợp của hai dao động điều hoà
có phương vuông góc và có cùng tần số góc là một đường elip. Dạng của elip này phụ
thuộc vào giá trị của hiệu pha (ϕ 2 − ϕ1 ) của hai dao động thành phần x và y.
- Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2kπ , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì (1-42) trở thành:
x2 y2 2xy x y
+ − = 0 hay − =0 (1-43)
A12 A 22 A1 A 2 A1 A 2
Phương trình (1-43) chứng tỏ chất
điểm dao động theo đường thẳng nằm
trong cung phần tư I và III, đi qua vị
trí cân bằng bền của chất điểm tại gốc
O và trùng với đường chéo của hình
chữ nhật có hai cạnh bằng 2A1 và
Hình 1-11. Quĩ đạo của chất điểm 2A 2 .
khi φ2 – φ1 =2kπ
- Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = (2k + 1)π , với k = 0, ± 1, ± 2,± 3,... , thì (1-42) trở thành:
x2 y2 2xy x y
+ + = 0 hay + =0 (1-44)
A12 A 22 A1 A 2 A1 A 2
15
Chương 1: Dao động điện từ
Phương trình (1-44) chứng tỏ chất
điểm dao động theo đường thẳng nằm
trong cung phần tư II và IV, đi qua vị
trí cân bằng bền của chất điểm tại gốc
O và trùng với đường chéo của hình
chữ nhật có hai cạnh bằng 2A1 và
2A 2 .
Hình 1-12. Quĩ đạo của chất điểm
khi φ2 – φ1 =(2k+1)π
π
- Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = (2k + 1) , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì (1-42) trở thành:
2
x2 y2
+ =1 (1-45)
A12 A 22
Hình 1-13: Quĩ đạo của chất điểm khi Quĩ đạo của chất điểm khi
φ2-φ1=(2k+1)π/2 φ2-φ1=(2k+1)π/2 và A1=A2
Phương trình (1-45) chứng tỏ chất điểm dao động trên một quĩ đạo êlip dạng chính tắc
có hai bán trục là A1 và A 2 . Đặc biệt nếu A1 = A 2 = A thì (1-45) trở thành:
x 2 + y2 = A2 (1-46)
Trong trường hợp này, quĩ đạo của chất điểm là đường tròn có tâm tại gốc toạ O và bán
kính bằng A.
- Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) có các giá trị khác với các giá trị nêu trên thì chất điểm sẽ
chuyển động trên những quĩ đạo êlip xiên.
16
Chương 1: Dao động điện từ
φ2– φ1 = 0 0 < φ2 - φ1 < π/2 φ2 – φ1=π/2
π/2 < φ2 – φ1 < π φ2 – φ1 = π π < φ2 - φ1 Chương 1: Dao động điện từ
2. Dao động điện từ tắt dần: Trong mạch dao động LC có thêm điện trở R, do đó có sự
hao tốn năng lượng do toả nhiệt Joule – Lenx, biên độ dao động trong trường hợp này
giảm theo qui luật hàm mũ, chu kỳ dao động T lớn hơn chu kỳ dao động riêng T0.
3. Dao động điện từ cưỡng bức: Trong mạch dao động RLC mắc thêm một nguồn điện
kích thích có tần số Ω để cung cấp tuần hoàn phần năng lượng bị mất do toả nhiệt. Dao
động điện từ sẽ được duy trì với tần số góc Ω của nguồn kích thích. Một hiện tượng
quan trọng trong trường hợp này là khi tần số góc Ω của nguồn kích thích bằng tần số
góc riêng ω0 của mạch dao động thì có hiện tượng cộng hưởng xảy ra. Khi đó, biên độ
của dòng điện sẽ cực đại. Tần số Ω đó được gọi là tần số cộng hưởng Ωch = ω0. Hiện
tượng cộng hưởng có rất nhiều ứng dụng trong khoa học kỹ thuật, nhất là trong ngành
vô tuyến điện.
4. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số
Giả sử có một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương
và cùng tần số:
x1 = A1 cos(ω0 t + ϕ1 )
x 2 = A 2 cos(ω0 t + ϕ 2 )
Dao động tổng hợp có dạng: x = x1 + x 2 = A cos(ω0 t + ϕ)
A1 sin ϕ1 + A 2 sin ϕ 2
Trong đó: A = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) , tgϕ =
A1 cos ϕ1 + A 2 cos ϕ 2
- Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2kπ , với k = 0, ± 1,± 2,± 3,... , thì A = A1 + A 2 = A max
- Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = (2k + 1)π , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì A = A1 − A 2 = A min
5. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng tần số có phương vuông góc:
Giả sử một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hoà x và y có phương
vuông góc và cùng tần số góc ω 0 :
x = A1 cos(ω0 t + ϕ1 )
y = A 2 cos(ω0 t + ϕ 2 )
Phương trình quĩ đạo chuyển động tổng hợp của chất điểm:
x2 y2 2 xy
+ − cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 )
A12 A 22 A1A 2
- Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2kπ , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì phương trình quĩ đạo
chuyển động tổng hợp của chất điểm:
18
Chương 1: Dao động điện từ
x2 y2 2 xy x y
+ − = 0 hay − =0
A12 A 22 A1 A 2 A1 A 2
- Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = (2k + 1)π , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì phương trình quĩ
đạo chuyển động tổng hợp của chất điểm:
x2 y2 2 xy x y
+ + = 0 hay + =0
A12 A 22 A1 A 2 A1 A 2
π
- Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = (2k + 1), với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì phương trình quĩ
2
đạo chuyển động tổng hợp của chất điểm:
x2 y2
+ =1
A12 A 22
IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT
1.Thiết lập phương trình dao động điện từ điều hoà riêng không tắt cho dòng điện:
i = I 0 cos(ω0 t + ϕ) .
2. Viết biểu thức tần số và chu kỳ của dao động riêng không tắt.
3. Mô tả mạch dao động điện từ tắt dần. Thiết lập biểu thức của dòng điện trong mạch
dao động điện từ tắt dần.
4. Viết biểu thức tần số và chu kỳ của mạch dao động điện từ tắt dần. So sánh chu kỳ
dao động tắt dần với chu kỳ dao động riêng.
5. Mô tả mạch dao động điện từ cưỡng bức. Thiết lập biểu thức của dòng điện trong
mạch dao động điện từ cưỡng bức. Nêu ý nghĩa của các đại lượng có trong biểu thức.
6. Hiện tượng cộng hưởng là gì? Khi nào xảy ra hiện tượng cộng hưởng?
7. Viết phương trình dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng
tần số. Khi nào thì biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị cực đại và cực tiểu?
8. Viết phương trình dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng tần số có
phương vuông góc với nhau. Với điều kiện nào thì dao động tổng hợp có dạng đường
thẳng, elip vuông, đường tròn?
V. BÀI TẬP
Thí dụ 1: Một mạch dao động điện từ điều hoà gồm một cuộn dây thuần cảm có hệ số
tự cảm L = 5.10-2H và một tụ điện có điện dung C = 2.10-6F, tụ được tích điện tới hiệu
điện thế cực đại U0= 120V. Tính:
19
Chương 1: Dao động điện từ
1. Tần số dao động của mạch.
2. Năng lượng điện từ của mạch.
3. Dòng điện cực đại trong mạch.
Bài giải
1. Tần số dao động của mạch:
1 1 1
f = = = = 500 Hz
T 2π LC 2.3,14. 5.10 − 2.2.10 − 6
1 1
2. Năng lượng dao động của mạch: E = CU 02 = 2.10 − 6.(120) 2 = 0,014J
2 2
3. Dòng điện cực đại trong mạch:
1 2 1 2 CU 02 2.10 −6.(120) 2
E = CU 0 = LI0 ⇒ I 0 = = = 0,76A
2 2 L 5.10 −2
Thí dụ 2: Một mạch dao động điện từ gồm một tụ điện có điện dung C = 7μF, cuộn dây
có hệ số tự cảm L = 0,23H và điện trở R = 40Ω. Ban đầu điện tích trên hai bản tụ Q0 =
5,6.10-4C. Tìm:
1. Chu kỳ dao động điện từ trong mạch.
2. Lượng giảm lôga của mạch dao động điện từ tương ứng.
3. Phương trình biến thiên theo thời gian của cường độ dòng điện trong mạch
và hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện.
Bài giải
1.Vì điện trở R = 40Ω ≠ 0 nên dao động điện từ trong mạch là dao động điện từ tắt dần.
Phương trình dao động của điện tích trên hai bản tụ: q = Q 0 e −βt cos(ωt + ϕ)
Khi t = 0 thì q = Q 0 cos ϕ , nhưng theo giả thiết q = Q 0 nên φ = 0 → phương trình dao
động của điện tích trên hai bản tụ: q = Q 0 e −βt cos ωt
Chu kỳ dao động của mạch:
2π 2.3,14
T= = = 8.10 − 3 s
2 2
1 ⎛ R ⎞ 1 ⎛ 40 ⎞
−⎜ ⎟ −⎜ ⎟
LC ⎝ 2L ⎠ − 6 ⎝ 2.0,23 ⎠
0,23.7.10
2. Lượng giảm lôga của dao động điện từ trong mạch:
RT 40.8.10 −3
δ = βT = = = 0,7
2L 2.0,23
20
