Ma trận
Trong toán học, một ma trận là bảng chữ nhật chứa dữ liệu (thường là số thực hoặc
số phức, nhưng có thể là bất kỳ dữ liệu gì) theo hàng và cột.
Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương trình tuyến
tính và biến đổi tuyến tính.
Trong lý thuyết đồ thị, ma trận thường dùng để biểu diễn đồ thị (ví dụ: ma trận kề),
lưu trữ trọng số cho đồ thị có trọng số...
Trong lập trình, ma trận thường được lưu trữ bằng các mảng hai chiều.
Ma trận thông dụng nhất là ma trận hai chiều. Tổng quát hóa của khái niệm ma trận
hai chiều là ma trận khối. Trong lập trình, ma trận khối được lưu trữ bằng các mảng
nhiều chiều.
Mô tả
Các dòng ngang của ma trận gọi là hàng và các cột thẳng đứng là cột. Hình dạng ma
trận được đặc trưng bởi số hàng và số cột (kích thước ma trận). k phần tử. Ma trận
thường được viết thành bảng kẹp giữa 2 dấu ngoặc vuông "[" và "]" (hoặc, hiếm hơn,
dấu ngoặc "(" và ")"). Thí dụ:
Các loại ma trận đặc biệt
Ma trận tam giác
Ma trận tam giác là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía trên (hoặc tất cả
các phần tử nằm dưới) đường chéo chính đều bằng 0. Như vậy ta có ai,j=0 với mọi ij.
Ma trận chéo
Ma trận chéo là ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử không nằm trên đường
chéo chính bằng 0, nghĩa là ai,j=0 với mọi i ≠ j.
Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị trên một vành nào đó, là ma trận vuông, có các phần tử nằm trên một
đường chéo mang giá trị là đơn vị nhân của vành đó (nếu là vành số thông thường thì là
số 1), tất cả các phần tử còn lại mang giá trị trung hòa (nếu là vành số thông thường
thì là số 0).
Thí dụ:
Ma trận không
Ma trận không là ma trận có các phân tử đều bằng không.
Các phép toán đại số trên ma trận
Phép cộng ma trận
Có thể cộng hai hoặc nhiều ma trận có cùng kích thước m x n. Cho các ma trận cấp m
x n A và B, tổng A + B là ma trận cùng cấp m x n nhận được do cộng các phần tử
tương ứng (nghiã là
). Chẳng hạn:
Phép nhân ma trận với một số
Cho ma trận A và số c, tích cA được tính bằng cách nhân tất cả các phần tử của A với
số c (nghĩa là ). Chẳng hạn:
Phép nhân ma trận
Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận bên trái bằng số
dòng của ma trận bên phải. Nếu ma trận A có kích thước m x n và ma trận B có kích
thước n x p, thì ma trận tích AB có kích thước m xp có phần tử đứng ở hàng thứ i, cột
thứ j xác định bởi:
với mọi cặp (i,j)=1..m; j =1..p.
Chẳng hạn:
Phép nhân ma trận có các tính chất sau:
• (AB)C = A(BC) với mọi ma trận cấp k xm A, ma trận m x n B và ma trận n xp C
("kết hợp").
• (A + B)C = AC + BC với mọi ma trận cấp m xn các ma trận A và B và ma trận
cấp n x k C ("phân phối bên phải").
• C(A + B) = CA + CB ("phân phối bên trái").
Cần chú ý rằng phép nhân ma trận không giao hoán.
Ma Trận Ngịch Đảo
Trong đại số tuyến tính, một ma trận khả nghịch hay ma trận không suy biến là
một ma trận vuông và có ma trận nghịch đảo trong phép nhân ma trận.
Ma trận đơn vị
• Ma trân đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất
cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác
bằng không.
• Tính chất của ma trận đơn vị: với mọi ma trân vuông cùng cấp AE=EA=A.
Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch
đảo của nó
• Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên vành V nếu tồn tại ma trận
A' cùng cấp n sao cho A A' = A' A = E. Khi đó A' được gọi là ma trận nghịch
đảo của ma trận A, kí hiệu là A−1.
Các tính chất
1. Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A
là phần tử khả nghịch trong vành V.
2. Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức
của nó khác 0.
3. Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch.
4. Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và (AB) − 1 = B − 1A − 1.
5. Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp n tạo thành một nhóm với
phép nhân ma trận.
Tìm ma trận nghịch đảo
Định thức con và phần bù đại số
• Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử aij. Định thức của ma trận cấp n-1 suy
ra từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A
ứng với phần tử aij, ký hiệu là Mij.
• Định thức con Mij với dấu bằng (-1)i+j được gọi là phần bù đại số của phần tử
aij, kí hiệu là Aij.
Ví dụ: Cho ma trận
.
Khi đó
Tương tự A12=0; A13=0; A21=-3 ;A22=3 ;A23=0;A31=-1 ;A32=-1;A33=2;
Công thức tính ma trận nghịch đảo
Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính
bằng công thức:
Ví dụ
Trong ví dụ trên, ta có
=
Các bước tìm ma trận nghịch đảo
• Bước 1: Tính định thức của ma trận A
Nếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo A − 1
Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận nghịch đảo A − 1, chuyển sang bước 2
• Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A' của A.
• Bước 3: Lập ma trận liên hợp của A được định nghĩa như sau
A * = (A'ij)nm
với A' = (A'ij) là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A'.
• Bước 4: Tính ma trận
Ví dụ
Cho . Tính A − 1, nếu có.
Đáp án
Ma trận liên hợp: .
Ma trận nghịch đảo:
Hệ Phương Trình Tuyến Tính
Trong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trình đại số
tuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp n phương trình
tuyến tính với k biến số:
Hệ phương trình trên có thể được viết theo dạng phương trình ma trận:
Ax=b
Với A là ma trận chứa các hệ số ai,j (ai,j là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của A); x là
vector chứa các biến xj; b là vector chứa các hằng số bi. Tức là:
Nếu các biến số của hệ phương trình tuyến tính nằm trong các trường đại số vô hạn
(ví dụ số thực hay số phức), thì chỉ có ba trường hợp xảy ra:
• hệ không có nghiệm (vô nghiệm)
• hệ có duy nhất một nghiệm
• hệ có vô số nghiệm
Hệ phương trình tuyến tính có thể thấy trong nhiều ứng dụng trong khoa học.
Điều kiện có nghiệm trong trường
hợp tổng quát
Trong trường hợp tổng quát, ta xét các ma trận hệ số A và ma trận hệ số bổ sung thêm
cột các số hạng ở vế phải A' .
;
Khi đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng của hai ma trận này bằng nhau.
ran(A) = ran(A') = r.
Chi tiết hơn ta có:
1. Nếu r = ran(A) < ran(A') thì hệ vô nghiệm
2. Nếu ran(A) = ran(A') = r hệ có nghiệm và
1. Nếu ran(A) = ran(A') = r = k hệ có nghiệm duy nhất
2. Nếu ran(A) = ran(A') = r < k hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào k-r ẩn
tự do.
(không xảy ra trường hợp r = ran(A) > ran(A') hay r = ran(A) > n)
• Ví dụ:
o Hệ
có nghiệm duy nhất ;
•
o Hệ
có vô số nghiệm phụ thuộc một ẩn tự do z:
•
o Hệ
vô nghiệm.
Các trường hợp đặc biêt
• Nếu k bằng n, và ma trận A là khả nghịch (hay định thức của ma trận A khác
không) thì hệ có nghiệm duy nhất:
x = A-1 b
với A-1 là ma trận nghịch đảo của A.
• Nếu b=0 (mọi bi bằng 0), hệ được gọi là hệ thuần nhất. Tập tất cả các
nghiệm của một hệ phương trình thuần nhất lập thành một không gian vecter
con của , nó được gọi là hạt nhân của ma trận A, viết là Ker(A).(Cũng là
hạt nhân của phép biến đổi tuyến tính xác định bởi ma trận A). Nếu hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất có k=n và ma trận A khả nghịch thì nó có nghiệm
duy nhất là nghiệm không.
Các phương pháp giải
Phép khử Gauss
Trong đại số tuyến tính, phép khử Gauss là một thuật toán có thể được sử dụng để
tìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, tìm rank của một ma trận, để tính ma
trận nghịch đảo của một ma trận vuông khả nghịch. Phép khử Gauss được đặt theo tên
của nhà toán học Đức là Carl Friedrich Gauss.
Các thao tác cơ bản trên hàng được sử dụng trong suốt thuật toán. Thuật toán có 2
phần, mỗi phần đều xem xét các hàng của ma trận theo thứ tự. Phần đầu biến ma trận
về dạng hàng bậc thang trong khi phần thứ 2 biến ma trận về dạng hàng bậc thang tối
giản. Phần đầu là đủ cho nhiều áp dụng.
Một thuật toán khác liên quan là phép khử Gauss–Jordan, đưa ma trận về dạng hàng
bậc thang tối giản trong 1 lần duyệt
Ví dụ
Giả sử mục đích là tìm và miêu tả nghiệm (nếu có) của hệ phương trình tuyến tính
sau:
Thuật toán là như sau: khử x trong tất cả các phương trình bên dưới L1, sau đó khủ y
trong tất cả các phương trình bên dưới L2. Việc này sẽ làm hệ trở thành dạng tam giác.
Sau đó, sử dụng phép thay thế ngược, các ẩn số có thể được giải.
Trong ví dụ, ta khử x từ L2 bằng cộng vào L2, và sau đó khử x từ L3 bằng cộng L1
vào L3. Công thức hóa:
Kết quả là:
Bây giờ ta khử y từ L3 bằng cách cộng − 4L2 vào L3:
Kết quả là:
Kết quả này là một hệ phương trình tuyến tính dưới dạng tam giác, do đó phần 1 của
thuật toán là xong.
Phần thứ 2, thay thế ngược, là giải cho các ẩn số trong thứ tự ngược lại. Do đó, chúng
ta có thể dễ dàng thấy rằng
Sau đó, thế z vào L2, giải dễ dàng để có
Kế tiếp, z và y có thể được thế vào L1, có thể được giải để có
Do vậy, hệ phương trình đã được giải.
Thuật toán này dùng được trên mọi hệ phương trình tuyến tính. Có thể là hệ không
thể được đưa về dạng tam giác, tuy nhiên vẫn có ít nhất một lời giải có giá trị: ví dụ,
nếu y không có trong L2 và L3 sau bước thứ 1 ở trên, thuật toán sẽ không thể đưa hệ về
dạng tam giác. Tuy nhiên, nó vẫn đưa hệ về dạng bậc thang. Trong trường hợp này,
hệ không có nghiệm duy nhất, và sẽ có vô số nghiệm, vì nó có ít nhất một biến tự do.
Trong thực tế, người ta thường không sử dụng hệ phương trình không mà sử dụng ma
trận mở rộng (dễ dàng giải trên máy tính). Sau đây là thuật toán của phép khử Gauss
áp dụng trên ma trận mở rộng của hệ bên trên, bắt đầu với:
mà, cuối cùng của phần 1 của thuật toán ta sẽ có:
Đó là dạng bậc thang.
Cuối cùng của thuật toán, ta có được
Đó là dạng bậc thang tối giản.
Phân tích thuật toán
Phép khử Gauss trên một ma trận n × n cần khoảng 2n3 / 3 phép tính toán. Do đó nó có
độ phức tạp là .
Thuật toán này có thể được sử dụng trên máy tính với hàng ngàn hệ phương trình và
ẩn số. Tuy nhiên, phương pháp này không thích hợp với hệ có hàng triệu phương trình.
Những hệ lớn như vậy thường được giải bằng các phương pháp lặp lại (iterative
method). Có những phương pháp đặc biệt nếu như hệ số theo một khuôn mẫu nào đó.
Phép khử Gauss có thể được tiến hành trên bất cứ trường nào.
Phép khử Gauss là ổn định về phương pháp số cho các ma trận diagonally dominant
hay positive-definite. Cho ma trận tổng quát, phép khử Gauss là ổn định nếu như sử
dụng partial pivoting.[1]
Định Thức
Định thức, trong đại số tuyến tính, là một hàm cho mỗi ma trận vuông A, tương ứng
với số vô hướng, ký hiệu là det(A). Ý nghĩa hình học của định thức là tỷ lệ xích cho
thể tích khi A được coi là một biến đổi tuyến tính. Định thức được sử dụng để giải
(và biện luận) các hệ phương trình đại số tuyến tính.
Định thức chỉ được xác định trong các ma trận vuông. Nếu định thức của một ma trận
bằng 0, ma trận này được gọi là ma trận suy biến, nếu định thức bằng 1, ma trận này
được gọi là ma trận đơn môđula.
Định thức và hệ phương trình đại số
tuyến tính
Khái niệm định thức xuất hiện đầu tiên gắn với việc giải hệ phương trình đại số
tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn. Hệ này có một nghiệm duy nhất khi và chỉ
khi định thức của ma trận tương ứng với hệ phương trình này khác 0.
Ví dụ hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn:
có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận vuông:
định thức của nó là:
det(A)=ad-bc .
Nếu det(A) khác 0, hệ có nghiệm duy nhất
.
Nếu det(A) = 0 hệ có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào.
Nếu e = f = 0, hệ trên là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nó luôn có ít nhất
một nghiệm tầm thường là x = 0 và y = 0. Khi đó hệ có nghiệm không tầm thường khi
và chỉ khi định thức của hệ bằng không.
Định thức của ma trận vuông cấp n
Cho ma trận vuông cấp n:
Định nghĩa định thức
Định nghĩa của định thức trong đại số tuyến tính liên quan đến khái niệm dấu của
hoán vị.
Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n! (n giai thừa) số hạng, mỗi
số hạng là tích của n phần tử lấy trên các hàng và các cột khác nhau của ma trận A,
mỗi tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số
hàng và chỉ số cột của các phần tử trong tích. Gọi Sn là nhóm các hoán vị của n phần
tử 1,2,...,n ta có:(Công thức Leibniz)
Áp dụng với các ma trận vuông cấp 1,2,3 ta có:
=a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
Các ứng dụng
Các định thức đựoc dùng để kiểm tra các ma trận có ma trận nghịch đảo không (các ma
trận khả nghịch và chỉ chúng là các ma trận có định thức khác 0) và để biểu diễn
nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính qua định lý Cramer. chúng được dùng để
tìm các vector riêng của ma trận A qua đa thức đặc trưng
Trong đó, I là ma trận đơn vị (identity matrix) có cùng kích thước với A.
Người ta còn xem định thức như là hàm xác định trên lên các bộ n vector trong không
gian , toạ độ của n véc tơ này tạo thành n cột (hoặc n dòng) của một ma trận
vuông. Khi đó, dấu của định thức của một cơ sở có thể được dùng để định nghĩa khái
niệm hướng của các cơ sở trong không gian Euclide. Nếu định thức của một cơ sở là
dương thì ta nói các vector này tạo thành một cơ sở thuận chiều, và nếu định thức của
chúng là âm thì nó tạo thành cơ sở ngược chiều.
Các định thức còn được dùng để tính thể tích trong giải tích vector: Giá trị tuyệt đối
của định thức của các vector trên trường số thực thì bằng với thể tích của hình hộp
tạo ra bởi các vectors đó. Như là một hệ quả, nếu một ánh xạ tuyến tính
được đặc trưng bởi ma trận A, và S là tập con đo được bất kì của ,
thì thể tích của f(S) được cho bởi .
Một cách tổng quát hơn, nếu ánh xạ tuyến tính đặc trưng bởi một ma
trận Am x n, và S là tập con bất kì đo được nào của , thì thể tích n-chiều của f(S)
được tính bởi . Bằng cách tính thể tích của tứ diện có
4 đỉnh, chúng có thể được dùng để nhận diện (xác định) các đường ghềnh
Thể tích của tứ diện bất kì, cho bởi các đỉnh a, b, c, và d, là (1/6)·|det(a−b, b−c, c−d)|.
Ví dụ
Tìm định thức của ma trận:
Cách 1: Sử dụng công thức Leibniz
Cách 2: Sử dụng công thức Laplace để khai triển định thức theo một hàng hoặc một
cột. Cách tốt nhất là chọn hàng, hoặc cột nào có nhiều phần tử bằng 0, vì như vậy, giá
trị định thức của phần tử đó sẽ bằng 0 ( ) vì thế ta
sẽ khai triển theo cột thứ 2.
Cách 3: Sử dụng phép khử Gauss, bằng việc áp dụng các tính chất của định thức, biến
đổi các cột, hoặc hàng thành dạng đơn giản, như chứa phần tử bằng 0, sau đó tính
định thức theo hàng, cột đó.
và định thức sẽ được tính nhanh khi khai triển theo cột đầu tiên:
Các tính chất và phép biến đổi trên các
hàng và các cột của định thức
Cho ma trận A vuông cấp n:
1. Định thức của A bằng không nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:
1. A có tất cả các phần tử trên một hàng (hoặc một cột) bằng 0 ;
2. A có một hàng (hoặc một cột) tỷ lệ;
3. Tổng quát: A có một hàng (hoặc một cột) là tổ hợp tuyến tính của các
hàng (hoặc các cột) khác.
2. Trên các hàng và các cột của A có thể thực hiện các phép biến đổi sau:
1. Đổi chỗ hai hàng (hoặc một cột) khác nhau thì định thức đổi dấu;
2. Nếu nhân một hằng số a vào ba hàng (hoặc ba cột) của A thì định thức
của ma trận cuối sẽ là a.det(A) ;
3. Nếu nhân một số a ≠0 vào một hàng (hoặc một cột) của A, và cộng
hàng (hoặc cột) này vào một hàng khác (hoặc một cột) thì giá trị của
định thức sẽ không đổi .
Định thức và các phép toán trên ma
trận
• với mọi ma trận khả tích
n-n A và B.
Từ đó và
với mọi ma trận n-n A và mọi số r.
• Ma trận A trên một trường là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khác 0,
trong trường hợp này ta có:
• Ma trận vuông A và ma trận chuyển vị AT của nó có định thức bằng nhau:
.
đđđ
Copyright by webtailieu.net